Методичка по решению задач, страница 7

Закон Ома для замкнутой цепи дает:45E = I ( R + r1 + r2 ) ,где учтено, что сопротивления r1 и r2 соединены последовательно. Поэтому сила тока в цепи равна:I=E.R + r1 + r2Используя численные условия задачи, получаем I=0.5 А.Ответ: I=0.5 А.Задача 3. Определить силу тока I3 в резисторе сопротивлением R3 в схеме, показанной на рисунке, и напряжение U3 наконцах резистора, если E1=4 В, E2=3 В, R1=2 Ом, R2=6 Ом, R3=1Ом.

Внутренними сопротивлениями источников тока пренебречь.Решение:Токи, текущие через резисторы, и их направления указанына рисунке. Силы токов в разветвленной цепи определяют с помощью законов Кирхгофа.R1E1R3АI1R2I3E2I2ВПервый закон Кирхгофа для узла А гласит: алгебраическаясумма токов в узле равна нулю. Считая токи текущие к узлу положительными, а токи вытекающие из узла отрицательными, получим:I1 - I2 +I3 = 0 .Применение второго закона Кирхгофа требует предварительного выбора произвольного замкнутого контура в цепи и выбора направления обхода этого контура.

Если направление ЭДС вконтуре совпадает с направлением обхода, то ЭДС берется сознаком плюс, а если нет, то со знаком минус. Если направление46тока через некоторый резистор совпадает с направлением обхода,то падение напряжения на нем (произведение силы тока на сопротивление) берется со знаком плюс, а если нет, то со знакомминус. С учетом указанного правила знаков, второй закон Кирхгофа формулируется так: алгебраическая сумма падений напряжения в произвольном замкнутом контуре цепи равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре.

Применениевторого закона Кирхгофа для контура АE1В дает:I1R1 + I 2 R2 = E1 ,а для контура АE2В имеем:I 3 R3 + I 2 R2 = E2 .Полученные уравнения представляют собой систему трехуравнений с тремя неизвестными токами I1 , I2 и I3. Решая этусистему, найдем все три неизвестные величины токов. В частности:I3 =E2 R1 + E2 R2 − E1R2.R1R2 + R1R3 + R2 R3Напряжение на концах резистора равно U3=I3R3 . Подстановка численных значений задачи дает следующий результат:I3=0 и U3=0.Ответ: I3=0 А и U3 =0 В.Задача 4. ЭДС батареи аккумуляторов E=12 В, сила тока Iкороткого замыкания равна 5 А. Какую наибольшую мощностьPmax можно получить во внешней цепи, соединенной с такой батареей?Решение:Сила тока в замкнутой цепи, содержащей батарею аккумуляторов с ЭДС E, внутренним сопротивлением r и внешним сопротивлением R определяется законом Ома:I=E.R+r(1)Поэтому, мощность P, выделяемая на внешнем сопротивлении, равна:47P = I 2R =E 2R.( R + r )2(2)Рассматривая полученное выражение для P как функцию R,найдем, при каком внешнем сопротивлении достигается максимальное значение мощности.

Для этого необходимо продифференцировать функцию P(R) по R и найти, при каких значениях Rэта производная обращается в нуль. Выполнив дифференцирование, приходим к уравнениюE 2( r − R )=0 ,( R + r )3из которого получаем, что максимальная мощность выделяется тогда, когда внешнее сопротивление R равно внутреннему r.Подставляя в выражение (2) для мощности P значение R=r, получаем, что максимальная мощность определяется соотношением:PmaxE2=.4r(3)Внутреннее сопротивление батареи r найдем из условия короткого замыкания. При коротком замыкании внешнее сопротивление цепи R=0 и, следовательно, из формулы (1) находим внутреннее сопротивление батареи:Er=,I кзгде Iкз - ток короткого замыкания.

Подставляя полученноевыражение для внутреннего сопротивления в формулу (3), приходим к искомому выражению для максимальной мощности:EIPmax = кз .4Вт.Используя численные значения задачи, получаем Pmax=15Ответ: Pmax=15 Вт.Задача 5. Определить среднюю скорость v упорядоченногодвижения электронов в медном проводнике при силе тока I=10 Аи сечении S проводника, равном 1 мм2. Принять, что на каждыйатом меди приходится два электрона проводимости.48Решение:Плотность тока j в проводнике по определению равна:j=I.SС другой стороны, соотношение для расчета плотности токаможет быть получено через среднюю скорость носителей зарядав проводнике (электронов) v и концентрацию носителей (числоносителей в единице объема проводника) n с помощью выражения:j = env ,где e - элементарный заряд (e= 1.6⋅10-19 Кл).

Приравниваяправые части полученных формул, получаем выражение длясредней скорости:v=I.enSКонцентрацию электронов n найдем из следующих соображений. Сначала из таблицы Менделеева находим молярную массу меди: M=64⋅10-3 кг/кмоль . В одном моле любого вещества содержится NA = 6⋅1023 атомов (число Авогадро). Объем одного моля меди равен V=M/ρ , где ρ - плотность меди (ρ=8,93⋅103 кг/м3).Поэтому, число атомов меди в единице объема n0 будет равно:n0 =N A N Aρ=.VMТак как на каждый атом меди приходится два электронапроводимости, то концентрация электронов проводимости будетn=2n0.

В итоге, средняя скорость электронов равна:v=M I.2eρN A SПодставляя в эту формулу численные значения задачи,окончательно получим v=3,7⋅10-6 м/с.Ответ: v=3,7 мкм/с.Задачи для самостоятельного решения.Задача 6. Определить плотность тока j в железном проводнике (удельное сопротивление железа ρ =98 нОм⋅м) длиной l=1049м, если провод находится под напряжением U=6 В.

(Ответ: j= 6,1МА/м2.)Задача 7. Внутреннее сопротивление r батареи аккумуляторов равно 3 Ом. Сколько процентов от точного значения ЭДС составляет погрешность, если, измеряя разность потенциалов назажимах батареи вольтметром с сопротивлением RВ=200 Ом,принять ее равной ЭДС?(Ответ: 1,48%.)Задача 8. К источнику тока с ЭДС E=1,5 В присоединиликатушку с сопротивлением R=0,1 Ом. Амперметр показал силутока, равную I1=0,5 А. Когда к источнику тока присоединили последовательно еще один источник тока с такой же ЭДС, то силатока в той же катушке оказалась равной 0,4 А.

Определить внутренние сопротивления r1 и r2 первого и второго источников тока.(Ответ: r1=2,9 Ом, r2=4,5 Ом.)Задача 9. Три источника тока с ЭДС E1=11 В, E2=4 В и E3=6В и три реостата с сопротивлениями R1=5 Ом, R2=10 Ом и R3=2Ом соединены, как показано на рисунке.E1R1E2R2E3R3Определить силы токов I в реостатах. Внутреннее сопротивление источника тока пренебрежимо мало. (Ответ: I1=0,8 А,I2=0,3 А, I3=0,5 А.)Задача 10. К батарее аккумуляторов, ЭДС E которой равна2 В и внутреннее сопротивление r=0,5 Ом, присоединен проводник. Определить: 1) сопротивление R проводника, при котороммощность, выделяемая в нем, максимальна; 2) мощность P, которая при этом выделяется в проводнике.

(Ответ: R=0,5 Ом, P=2Вт.)Задача 11. ЭДС E батареи равна 20 В. Сопротивление Rвнешеней цепи равно 2 Ом, сила тока I=4 А. Найти КПД батареи.50При каком значении внешнего сопротивления R0 КПД будет равен 99% ? (Ответ: КПД=0,4, R0=297 Ом.)Задача 12. Сила тока в проводнике сопротивлением r=100Ом равномерно нарастает от I0=0 до Imax=10 А в течение времениt=30 с.

Определить количество теплоты Q, выделившееся за этовремя в проводнике. (Ответ: Q=100 кДж.)Задача 13. Сила тока в проводнике сопротивлением R=12Ом равномерно убывает от I0=5 А до I=0 в течение времени t=10с. Какое количество теплоты Q выделяется в этом проводнике зауказанный промежуток времени? (Ответ: Q=1 кДж.)Задача 14. По проводнику сопротивлением R=3 Ом течетток, сила которого линейно возрастает. Количество теплоты Q,выделившееся в проводнике за время t=8 с, равно 200 Дж.

Определить количество электричества q, протекшее за это время попроводнику. В начальный момент времени сила тока в проводнике равна нулю. (Ответ: q=20 Кл.)Задача 15. Сила тока в металлическом проводнике равна 0,8А, сечение S проводника 4 мм2. Принимая, что в каждом кубическом сантиметре металла содержится n=2,5×1022 свободных электронов, определить среднюю скорость v их упорядоченного движения. (Ответ: v=0,05 мм/с.)РАЗДЕЛ IV.ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫТема 6. Магнитное поле проводников с током. Закон Ампера.Примеры решения задач.Задача 1. Определить магнитную индукцию B поля, создаваемого отрезком бесконечно длинного прямого провода длинойl=40 см, в точке, удаленной от концов отрезка на расстояния l1=50см и l2=30 см.

Сила тока I, текущего по проводу, равна 50 А.Решение:Геометрия задачи показана на рисунке. Согласно законуБио-Савара-Лапласа, индукция магнитного поля dB, создаваемого отрезком провода с током I длиной dl в точке, находящейся на51расстоянии r от середины отрезка dl, определяется выражением:dB =μμ 0Idlr ] ,[4πr3где dl - вектор, равный по модулю длине отрезка dl и совпадающий по направлению с током, r - радиус-вектор, проведенныйот середины элемента проводника к точке, в которой определяется магнитная индукция, μ − магнитная проницаемость,μ0 − магнитная постоянная.Для модуля вектора магнитной индукции имеем выражение:dB =μμ 0 I sinαdl ,4π r 2(1)где α - угол между векторами dl и r. Из условия задачи следует,что провод находится в немагнитной среде (в воздухе) и, следовательно, μ=1.Пусть элемент проводника dl виден из точки А под угломdα, а расстояние от точки А до провода равно r0.

Из рисунка следует, чтоdl = rrdα, r= 0 .sinαsin αПодставляя эти выражения в формулу (1), получим:dB =μ 0 I sinα dα.4 πr052Чтобы определить магнитную индукцию поля, создаваемогоотрезком проводника, проинтегрируем полученное выражение поуглу в пределах от α1 до α2 .μ 0 I sin αμ0I αdα =B = ∫∫ sinα dα .4 πr0 α4 πr0αα2211Взяв интеграл, получаем:B=μ0 I(cos α 1 − cosα 2 ) .4πr0(2)Из условия задачи следует, что l12 = l 2 + l22 (2500=1600+900),то есть α2=900, cosα2=0, r0= l2=30 см, cos α1 = 4/5.Подставляя численные значения, получим B=13,3 мкТл.Ответ: B=13,3 мкТл.Задача 2.