Методичка по решению задач, страница 8

Бесконечно длинный тонкий проводник изогнутпо дуге окружности на 1800 (см. рисунок). Радиус изгиба R=10см. По проводнику течет ток I=50 А. Определить индукцию магнитного поля, создаваемого этим током, в точке «О».Решение:Разделим проводник на три части: два прямолинейных проIводника 1 и 2, уходящих од1ним концом в бесконечность,и дугу полуокружности 3 ра3Rдиуса R. На основе принципаOсуперпозиции магнитных по2лей вектор магнитной индукции в точке «О» будет равенвекторной сумме магнитных полей, создаваемых этими отрезками проводника:B = B1 + B2 +B3 .Используя правило буравчика, найдем, что вектор магнитной индукции, создаваемый каждым из выделенных участковпроводника, направлен перпендикулярно к плоскости чертежа нанас.

В связи с этим, мы можем заменить векторную сумму алгебраической:B = B1 + B2 + B3 .53Магнитная индукция поля в центре кругового витка равна:B=μ0I/2R.Так как участок проводника 3 является дугой полуокружности, то создаваемое им в точке «О» поле будет в два раза меньшеполя в центре кругового витка, т.е. B3=μ0I/4R .Ток, протекающий по каждому элементу проводника 2, приводит к возникновению в точке «О» магнитного поля. Из рисункаследует, что для каждого элемента проводника 2 найдется элемент проводника 1, создающий в точке «О» такое же значениеиндукции магнитного поля. Это означает, что значения магнитной индукции в точке «О», создаваемые участками проводника 1и 2, равны между собой, то есть B1 = B2.Для нахождения величины B1 воспользуемся формулой (2)из предыдущей задачи:BBBBB =μ0I(cos α 1 − cosα 2 ) .4 πr0В нашем случае r0=R, α1=0, α2=π/2 и B1=μ0I/4πR.В результате получаем:BB = B1 + B2 + B3 = 2B1 + B3 = μ0I/2π R + μ0I/4RBили: B =μ0I( 2 + π) .4 πRПодставляя численные значения, получаем B=257 мкТл.Ответ: B=257 мкТл.Задача 3.

Проводник длиной l=0,2 м и массой 5 г расположен горизонтально в однородном магнитном поле, вектор индукции которого перпендикулярен полю. Индукция поля равна B=0,4Тл. Какой ток нужно пропустить по проводнику, чтобы он свободно висел в поле?Решение:На проводник действуют две силы: сила тяжести P, направленная вниз, и сила Ампера F, которая должна быть направленавверх. Чтобы проводник находился в равновесии, должно выполняться условие: P=F.

Сила тяжести равна P=mg, где m - масса54проводника, g - ускорение свободного падения. Сила Ампера,действующая на проводник с током, равна F=IBlsinα, где α - уголмежду направлением тока и направлением вектора магнитнойиндукции. Из условия задачи следует, что α=900 и sinα=1.

Следовательно, mg=IBl, откуда I=mg/Bl, I=0,005⋅9,8/(0,4⋅0,2)=0,6 А.Ответ: I=0,6 А.Задача 4. Напряженность H магнитного поля в центре кругового витка равна 200 А/м. Магнитный момент pm витка равен 1А/м2. Вычислить силу тока I в витке и радиус R витка.Решение:Магнитная индукция B и напряженность магнитного поляH связаны соотношением B=μμ0Η. В центре кругового виткаμμ 0 II, и, соответственно, H( 0) =, откуда I=2RH. Мо2R2RB( 0) =дуль магнитного моментанаходим по формуле pm=I⋅S, где S площадь витка.

Подставляя в это выражение значения I и S, получаем: pm=I⋅πR2=2πHR3, откуда сразу следует, что R =I = 2H3pm.2 πH3pm2 πHиПодставляя численные значения, получим, чтоR=9,27 см, I=37 А.Ответ: R=9,27 см, I=37 А.Задача 5. На прямой проводник длины L=0,5 м, расположенный перпендикулярно к линиям индукции магнитного поля,действует сила F=0,15 Н. Найти ток I, протекающий в проводнике, если магнитная индукция равна B=20 мТл.Решение:Силу, действующую на прямой длинный проводник с током,находящийся в магнитном поле с индукцией B, можно вычислитьпо формуле F=IBLsinα, где α − угол между направлением вектора магнитной индукции и направлением тока в проводнике.

Изусловия задачи следует, что α=900, следовательно, sinα=1 иF=IBL. Откуда получаем I=F/BL.. Подставляя численные значе-55ния, находим:I=0.15= 15A .20 ⋅ 10 −30.5Ответ: I=15 A.Задачи для самостоятельного решения.Задача 6. Найти силу взаимодействия между двумя параллельными проводами длиной l=1 м, находящимися на расстоянииd=50 см друг от друга, если по ним протекают в противоположных направлениях равные токи I1=I2=500 А.

(Ответ: F = 0,1 Н.)Задача 7. По трем параллельным прямым проводам, находящимся на расстоянии a=10 см друг от друга, текут одинаковыетоки силой I=100 А. В двух проводах направления токов совпадают. Вычислить силу F, действующую на отрезок каждого провода длиной l=1 м.(Ответ: F1=F2=20 мН, F3=34,6 мН.)Задача 8. Из проволоки длиной l=20 см сделаны квадратныйи круговой контуры. Найти вращающие моменты сил M1 и M2,действующих на каждый контур, помещенный в однородное магнитное поле с индукцией B=0,1 Тл. По контурам течет ток силой2 А.

Плоскость каждого контура составляет угол α=450 с направлением поля. (Ответ: M1=3,53⋅10-4 н⋅м, M2 =4,5⋅10-4 н⋅м.Задача 9. При какой силе тока I, текущего по тонкому проволочному кольцу радиусом R=0,2 м, магнитная индукция B вточке, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние r=0,3м, станет равной 20 мкТл?(Ответ: I=21,5 А.)Задача 10. Прямой проводник АС длиной 20 см и массой 5 гподвешен горизонтально (см.рисунок) на двух легких нитяхОА и ОС в однородном магнитном поле, вектор индукции которого направлен перпендикулярно проводнику.

Индукцияполя равна 0,049 Тл. Какой ве-56личины ток нужно пропустить по проводнику, чтобы одна из нитей разорвалась? Каждая нить выдерживает нагрузку не более0,039 Н. (Ответ: I>3 А.)Задача 11.Два взаимно перпендикулярных длинныхпровода, по которым текут равные токи силой I=10 А, находятсяна расстоянии 2 см друг от друга, какпоказано на рисунке. Найти величинувектора индукции магнитного поля B вточке «О», находящейся на равном расстоянии от каждого из проводов. (Ответ: B=0,28 мТл.)Задача 12. По тонкому проволочному кольцу течет ток.

Не изменяя силы тока в проводнике, ему придалиформу квадрата. Во сколько раз изменилась магнитная индукцияв центре контура? (Ответ: в 1,15 раза.)Задача 13. Длинный тонкий проводник с током I=100 Aизогнут по дуге на 90 градусов,Iкак показано на рисунке. Радиус кривизны в месте изгиба раRвен R=10 см. Определить инOдукцию магнитного поля в точке «O», создаваемую этим током.

(Ответ: B=353 мкТл.)Задача 14. По прямому бесконечно длинному проводникутечет ток силой I=50 А. Определить магнитную индукцию B вточке, удаленной на расстояние R=5 см от проводника. (Ответ:B=200 мкТл.)Задача 15. Определить магнитную индукцию в центре петли радиуса R=10 см, образованнойбесконечным тонким проводником стоком.

Форма петли изображена нарисунке. Ток в проводе I=100 А. (Ответ: B=428 мкТл.)57Тема 7. Закон полного тока. Работа по перемещениюпроводника с током в магнитном поле.Примеры решения задач.Задача 1. Вычислить циркуляцию вектора индукции вдольконтура, охватывающего токи I1=10 A и I2=15 A, текущие в одном направлении, и ток I3=20 A, текущий в противоположномнаправлении.Решение:Согласно закону полного тока, циркуляция вектора магнитной индукции по замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов Ii, охватываемых контуром, то есть:∫ B dllLn= μ0 ∑ I ii=1По условию задачи один из токов имеет направление, противоположное двум другим.

В соответствии с этим можно записать:∫ B dll= μ 0 ( I 1 + I 2 - I 3 ) = 4 π ⋅ 10 -7 ⋅( 10 + 15 - 20) = 6,28 мкТл⋅м.LОтвет: ∫ B l dl = 6,28 мкТл⋅м.LЗадача 2. Какую работу надо затратить на перемещениепроводника длиной l=0,4 м с током 21 А в однородном магнитном поле с индукцией 1,2 Тл на расстояние d=0,25 м? Проводникдвижется перпендикулярно к силовым линиям поля.Решение:Площадь, пересекаемая проводником при его движенииперпендикулярно силовым линиям магнитного поля, будет равнаS=l⋅d. Магнитный поток через поверхность, пересекаемую проводником, будет равен ΔΦ=B⋅S.

Тогда работа по перемещениюпроводникастокомвмагнитномполеравнаA=IΔΦ=IBld=21⋅1,2⋅0,4⋅0,25=2,52 Дж.Ответ: A=2,52 Дж.58Задача 3. Квадратная рамка со стороной a=2 см, по которойпротекает ток силой I=8 А, находится в неоднородном магнитномполе, изменяющемся в пространстве по закону Bz=kx, где k=2Тл/м, Bу=Bx=0. Плоскость рамки перпендикулярна линиям индукции поля. Одна из сторон рамки совпадает с осью y, вторая с осью x, вершина рамки находится в начале координат. Какуюработу нужно совершить, чтобы медленно повернуть рамку вокруг оси y таким образом, чтобы силовые линии поля лежали вплоскости рамки?Решение:При медленном повороте рамки в магнитном поле индукционными токами можно пренебречь и считать ток в контуре неизменным.

Работа по перемещению рамки с током в магнитном поле может быть найдена из соотношения A=IΔΦ, гдеΔΦ − изменение магнитного потока. Так как по условию задачи вконечном положении плоскость рамки параллельна силовым линиям поля, то магнитный поток в конечном положении рамки равен нулю. Следовательно, изменение магнитного потока будетравно его первоначальному значению, при котором ориентациярамки перпендикулярна силовым линиям поля, то есть ΔΦ=Φ0 .Для вычисления магнитного потока Φ0 разделим плоскостьрамки на узкие полоски ширинойxdx, параллельные оси y (см.