Методичка по решению задач, страница 6

(Ответ: С=33.4 пФ.)Задача 10. На пластинах плоского конденсатора равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью σ = .2 ìêÊë2 . Расстояìние d между пластинами равно 1мм. На сколько изменится разность потенциалов на его обкладках при увеличении расстоянияd между пластинами до 3мм? (Ответ: Δφ=45В.)Задача 11. К воздушному конденсатору, заряженному до38разности потенциалов U=600 В и отключенному от источниканапряжения, присоединили параллельно второй незаряженныйконденсатор таких же размеров и формы, но с диэлектриком изфарфора.

Определить диэлектрическую проницаемость ε фарфора, если после присоединения второго конденсатора разность потенциалов уменьшилась до U1=100 В.(Ответ: ε=5.0.)Задача 12. Два конденсатора электроемкостями C1=3 мкф иC2=6 мкф соединены между собой и присоединены к батарее сЭДС E=120 В. Определить заряды Q1 и Q2 конденсаторов и разности потенциалов U1 и U2 между их обкладками, если конденсаторы соединены : 1) параллельно; 2) последовательно. (Ответ: 1)Q1=360 мкКл, Q2=720 мкКл, U1=U2=120 В; 2) Q1=Q2=240 мкКл,U1=80 В, U2=40 В.)Задача 13. Конденсатор электроемкостью C1=0.2 мкФ былзаряжен до разности потенциалов U1=320 В.

После того, как егосоединили параллельно со вторым конденсатором, заряженнымдо разности потенциалов U2=450 В, напряжение U на нем изменилось до 400 В. Вычислить емкость C2 второго конденсатора.(Ответ: C2=0.32 мкФ.)Задача 14. Три одинаковых плоских конденсатора соединены последовательно. Электроемкость C такой батареи конденсаторов равна 89 пФ. Площадь S каждой пластины равна 100 см2 .Диэлектрик - стекло с диэлектрической проницаемостью ε=7.0.Какова толщина d стекла? (Ответ: d=2.32 мм.)Задача 15. Конденсаторы электроемкостями C1=10 нФ,C2=40 нФ, C3=20 нФ и C4=30 нФ соединены так, как это показанона рисунке.C1C3C2C4Определить электроемкость C батареи.

(Ответ: C=20 пФ.)39Тема 4. Диэлектрики в электрическом поле. Энергияэлектрического поля.Примеры решения задач.Задача 1. Вычислить электрический момент p диполя, еслиего заряд Q=10 нКл, плечо l =0,5 см.Решение:Вектором электрического момента диполя p называетсяпроизведение заряда |Q| (взятого по модулю) на плечо l. Вектор lнаправлен от отрицательного заряда диполя к его положительному заряду. Поэтому, длина вектора дипольного момента p равнапроизведению Ql.

Подставляя численные значения Q=10-8 Кл иl=5.10-3 м , получаем p=5⋅10-8 Кл⋅м.Ответ: p=50 нКл⋅м.Задача 2. Определить напряженность Е и потенциал ϕ поля,создаваемого диполем с электрическим моментом р=4 пКл м нарасстоянии r=10 см. от центра диполя, в направлении, составляющем угол α=600 c вектором электрического момента.Решение:Напряженность поля диполя определяется выражением:E=p4πε 0εr31 + 3 cos2 α ,а потенциал электрического поля в этой же точке пространства равен:ϕ=p4πε 0εr 2cos α .Используя численные значения задачи, получаем E= 47,6В/м и ϕ=1,8 В.Ответ: E=47,6 В/м, ϕ=1,8 В.Задача 3.

Расстояние d между пластинами плоского конденсатора равно 2 мм, разность потенциалов U=1.8 кВ. Диэлектрик стекло с диэлектрической проницаемостью ε=7.0. Определить ди-40электрическую восприимчивость χ стекла и поверхностнуюплотность σ’ связанных (поляризационных) зарядов на поверхности стекла.Решение:Диэлектрическая проницаемость ε связана с диэлектрической восприимчивостью χ соотношением:ε = 1+χ.Поэтому χ=6,0. Поверхностная плотность σ’ связанных зарядов на границе стекла равна нормальной (перпендикулярной кповерхности диэлектрика) компоненте вектора поляризации P,который, в свою очередь, определяется через вектор напряженности электрического поля в диэлектрике E с помощью соотношения:P = χε0E ,где ε0 - электрическая постоянная.

Напряженность же электрического поля внутри конденсатора равна:E=U.εdВ нашем случае длина нормальной компоненты вектора поляризации равна длине всего вектора P, так как последний перпендикулярен к границе раздела. Поэтому, выражение для поверхностной плотности связанного заряда имеет вид:σ′ = P =( ε − 1)ε 0U.εdИспользуя численные значения задачи, получаем σ’=47,7мкКл/м2 .Ответ: χ=6,0 и σ’=47,7 мкКл/м2 .Задача 4.

Расстояние d между пластинами плоского конденсатора равно 0,2 см, разность потенциалов U=6 кВ. Заряд Q каждой пластины равен 10 нКл. Вычислить энергию W поля конденсатора и силу F взаимного притяжения пластин.Решение:Энергия заряженного конденсатора определяется по любойиз следующих трех формул:41W=CU 2 Q 2 QU.==22C2Для нашей задачи последнее соотношение сразу определяетэнергию поля конденсатора W=3⋅10-5 Дж. С другой стороны, используя выражение для емкости плоского конденсатора:C=εε0 Sd,где S - площадь пластин, получаем энергию поля конденсатора в виде:Q 2dW=.2εε 0 S(1)Если расстояние между пластинами будет переменной величиной, которую мы обозначим через x, то последняя формулаопределяет зависимость энергии электрического поля внутриконденсатора от расстояния x между его пластинами:W( x ) =Q2 x.2εε 0 SУчитывая известную из механики связь между энергией W исилой взаимодействия пластин F:F=−получаем:F=−dW,dxQ22εε 0 S.Выражая неизвестную площадь пластин конденсатора изформулы (1), приходим к простому соотношению:F=−W.dЗнак минус в этой формуле указывает на то, что сила взаимодействия пластин препятствует увеличению энергии поля конденсатора, то есть это сила притяжения.

Используя численныезначения задачи и вычисленную величину энергии W , получаемF =15 мН .Ответ: W=3⋅10-5 Дж, F =15 мН.42Задача 5. Найти энергию W уединенной сферы радиусомR=4 см, заряженной до потенциала ϕ=500 В.Решение:Энергия заряженного уединенного проводника определяется выражением:Cϕ 2,W=2где ϕ - потенциал проводника, C - электрическая емкостьпроводника.

В нашем случае емкость сферы равна:C = 4πε0 Rи, поэтому,W = 2πε 0 Rϕ 2 .Используя численные значения задачи, получаем W=0.55мкДж.Ответ: W=0.55мкДж.Задачи для самостоятельного решения.Задача 6. Расстояние l между зарядами Q = ±3.2 нКл диполяравно 12 см. Найти напряженность E поля, созданного диполем вточке, удаленной на r=8 см как от первого, так и от второго заряда. (Ответ: E=6.75 кВ/м.)Задача 7. Эбонитовая плоскопараллельная пластина помещена в однородное электрическое поле напряженностью Ео=2МВ/м. Грани пластины перпендикулярны линиям напряженностиполя.

Определить поверхностную плотность σ’ связанных зарядов на гранях пластины.(Ответ: σ’= ±11.8 мкКл/м2.)Задача 8. Металлический шар радиусом 5 см окружен равномерно слоем фарфора толщиной d=2 см. Определить поверхностные плотности σ1’ и σ2’ связанных зарядов, соответственно, навнутренней и внешней поверхностях диэлектрика. Заряд Q шараравен 10 нКл.(Ответ: σ1’= -0.255 мкКл/м2 и σ2’=0.130 мкКл/м2.)Задача 9. Определить, при какой напряженности Е среднего43макроскопического поля в диэлектрике (ε=3) его поляризованность Р достигнет значения, равного 200 мкКл/м2.

(Ответ: Е=11.3МВ/м.)Задача 10. Определить поляризованность Р стекла, помещенного во внешнее электрическое поле напряженностью Ео=5МВ/м. (Ответ: Р=37.9мкКл/м2).Задача 11. Диэлектрик поместили в электрическое поле напряженностью Ео=20 кВ/м. Чему равна поляризованность Р диэлектрика, если напряженность Е среднего макроскопическогополя в диэлектрике оказалась равной 4 кВ/м ? (Ответ: Р=142нКл/м2.)Задача 12.

Конденсатору электроемкость С которого равна10 пФ, сообщен заряд Q=1 нКл. Определить энергию W конденсатора. (Ответ: W=0,05 мкДж.)Задача 13. Какое количество теплоты Q выделится при разряде плоского конденсатора, если разность потенциалов U междупластинами равна 15 кВ, расстояние d=1 мм, диэлектрик - слюдас диэлектрической проницаемостью ε =7.0 и площадь S каждойпластины равна 300 см2 ?(Ответ: Q=0.209 Дж.)Задача 14. Сила F притяжения между пластинами плоскоговоздушного конденсатора равна 50 мН. Площадь S каждой пластины равна 200 см2.

Найти плотность энергии w поля конденсатора. (Ответ: w=2.5Дж/м3.)Задача 15. Конденсаторы электроемкостями C1=1 мкФ,C2=2 мкФ, C3=3 мкФ включены в цепь с напряжением U=1.1 кВ.Определить энергию каждого конденсатора в случаях: 1) последовательного их включения; 2) параллельного включения. (Ответ: 1) 0.18 Дж, 0.09 Дж, 0.06 Дж; 2) 0.605 Дж, 1.21 Дж, 1.82 Дж.)Тема 5. Постоянный электрический токПримеры решения задач.Задача 1.

Сила тока в проводнике равномерно нарастает отI0=0 А до I=3 А в течение времени t=10 с. Определить заряд Q,прошедший в проводнике.44Решение:Условие равномерного возрастания тока приводит к линейной зависимости тока I от времени, а именно I=at+b, где a и b неизвестные константы. Учитывая, что в начальный момент времени t=0 ток был равен нулю, получаем b=0. При t=10 с ток впроводнике равен I=3 А. Это условие приводит к соотношению3=10a, откуда a=0,3. Таким образом, зависимость тока от времени имеет вид I=0.3t.

По определению силы тока:dQ= I,dtоткуда dQ=Idt. Интегрируя последнее равенство с учетомполученной зависимости тока от времени, находим:Q=0.3t 2+C,2где C - неизвестная константа интегрирования. Она определяется из начальных условий: в момент времени t=0 еще никакого заряда через проводник не протекло и, поэтому, в этот моментвремени Q=0. Этому условию удовлетворяет константа C равнаянулю. Следовательно, зависимость заряда от времени определяется соотношением:Q=0.3t 22.Подставляя сюда значение t=10 с, находим заряд, протекший по проводнику за указанное время, Q=15 Кл.Ответ: Q=15 Кл.Задача 2.

Две батареи (E1=1.2 В, r1=0.1 Ом и E2=0.9 В,r2=0.3 Ом) соединены одноименными полюсами. СопротивлениеR соединительных проводов равно 0.2 Ом. Определить силу токаI в цепи.Решение:Электродвижущие силы (ЭДС) батарей направлены в противоположные стороны, поэтому итоговая ЭДС в рассматриваемой цепи будет равна E = E1 - E2 .