Методичка по решению задач, страница 10

Следовательно, второй закон Ньютона можно записать в виде: mpv2/R.=evB. Тогда, для радиуса дуги окружности, описываемой протоном, получаем выражение R=mpv/eB. Напомним, что так как магнитное поле не совершает работы, то величина модуля скорости протона не изменяется при пролете области с магнитным полем.

Из рисунка видно, что:sinα=d/R= dBe.2m pUСледовательно, для искомого угла α окончательно получаем:α=arcsin(dB(e/2mpU)1/2)=300.Ответ: α=300.Задача 5. Перпендикулярно магнитному полю с индукциейB=0,1 Тл приложено электрическое поле напряженностью E=100кВ/м. Перпендикулярно обоим полям движется, не отклоняясь отпрямолинейной траектории, заряженная частица.

Вычислить скорость v частицы.Решение:Взаимная ориентация векBторов магнитного B и электрического E полей, а также вектораEскорости частицы v показана нарисунке. При движении в обласvFэлFлти полей частицы, имеющей67электрический заряд q, на нее действуют две силы: сила ЛоренцаFл со стороны магнитного поля и сила Кулона Fэл. со стороныэлектростатического поля. Из условия задачи следует, что ускорение частицы равно нулю. Это означает, что сумма всех сил,действующих на частицу, также равна нулю: Fл+Fэл=0. В явномвиде это уравнение имеет вид:q[v,B] + qE = 0.После проектирования на направление электрического поляуравнение запишется как -vB+E=0. Отсюда для искомой скорости частицы получаем следующее простое выражение: v=E/B=1Мм/с.Ответ: v=1 Мм/с.Задачи для самостоятельного решения.Задача 6.

Электрон с начальной скоростью v0=3 Мм/с влетел в однородное электрическое поле напряженностью Е=150В/м. Вектор начальной скорости электрона перпендикулярен линиям напряженности электрического поля. Найти: 1) силу F, действующую на электрон; 2) ускорение а, приобретаемое электроном; 3) скорость электрона через время t=0,1 мкс. (Ответ:F=2,4⋅10−17 Н; a=2,63⋅1013 м/с2; v=3,99 Мм/с.)Задача 7.

Электрон влетел в пространство между пластинами плоского конденсатора со скоростью v0=10 Мм/с, направленной параллельно пластинам. На сколько приблизится электрон кположительно заряженной пластине за время движения внутриконденсатора (поле считать однородным ), если расстояние dмежду пластинами равно 16 мм, разность потенциалов U=30 В идлина l пластин равна 6 см?(Ответ: 5,94 мм.)Задача 8. Электрон влетел в плоский конденсатор, имеяскорость v0=10 Мм/с, направленную параллельно пластинам.

Вмомент вылета из конденсатора направление скорости электронасоставило угол α=35° с первоначальным направлением скорости.Определить разность потенциалов U между пластинами (поле68считать однородным), если длина l пластин равна 10 см и расстояние d между пластинами равно 2 см. (Ответ: U=79,6 В.)Задача 9. Определить силу Лоренца F, действующую наэлектрон, влетевший со скоростью v=4 Мм/с в однородное магнитное поле под углом α=30° к линиям индукции. Магнитная индукция B поля равна 0,2 Тл. (Ответ: F=64 фН.)Задача 10. Вычислить радиус R дуги окружности, которуюописывает протон в магнитном поле с индукцией B=15 мТл, еслискорость v протона равна 2 Мм/с. (Ответ: R=1,39 м )Задача 11.

В однородном магнитном поле с индукцией B=2Тл движется протон. Траектория его движения представляет собой винтовую линию с радиусом R=10 cм и шагом h=60 cм. Определить кинетическую энергию W протона. (Ответ: W=586,2фДж.)Задача 12. Протон, пройдя ускоряющую разность потенциалов U=800 В, влетает в однородные, скрещенные под прямымуглом магнитное (B=50 мТл ) и электрическое поля. Определитьнапряженность Е электрического поля, если протон движется вскрещенных полях прямолинейно.

(Ответ: E=19,58 кВ/м.)Задача 13. Протон и электрон, двигаясь с одинаковой скоростью, попадают в однородное магнитное поле. Во сколько разрадиус кривизны траектории протона R1 больше радиуса кривизны траектории электрона R2? (Ответ: R1/R2=mp/me=1836.)Задача 14. Протон и электрон, ускоренные одинаковойразностью потенциалов, влетают в однородное магнитное поле.Во сколько раз радиус кривизны траектории протона R1 большерадиуса кривизны траектории электрона R2 ? (Ответ: R1/R2=(mp/me )1/2 =42,8.)Задача 15.

Магнитное поле напряженностью H=8⋅103 А/м иэлектрическое поле напряженностью E=10 В/см направленыодинаково. Электрон влетает в такое электромагнитное поле соскоростью v=105 м/с. Найти нормальное an, тангенциальное at иполное a ускорения электрона. Задачу решить для случаев: 1)скорость электрона направлена параллельно силовым линиям; 2)скорость электрона направлена перпендикулярно силовым линиям полей. (Ответ: 1) a=at =eE/me =1,76⋅1014 м/с2 ; 2) a=an= e/me (69(vB)2 + E2 )1/2 =2,5⋅1014 м/с2.)Тема 9.

Электромагнитная индукция.Примеры решения задач.Задача 1. Прямой провод длиной l=40 см движется в однородном магнитном поле со скоростью v=5 м/с перпендикулярнолиниям индукции. Разность потенциалов между концами проводаU=0,6 В. Вычислить индукцию магнитного поля B.Решение:Разность потенциалов между концами провода, возникающая при его движении в магнитном поле, может быть определенапо соотношению:dΦ,U =−dtгде Φ - магнитный поток через площадку, описываемую проводником в магнитном поле. Поскольку проводник расположен перпендикулярнолиниям магнитной индукции и движется перпендикулярно им, изменение магнитного потока может быть определено как:dΦ = BdS = Bldx .Тогда искомая разность потенциалов может быть определена как:dΦdxU== Bl= Blv .dtОткуда:dtB=Ulv.Ответ: B=0,3 Тл.Задача 2.

В однородном магнитном поле с индукцией B=1Тл находится прямой провод длиной l=20 см, концы которогозамкнуты вне поля. Сопротивление R всей цепи равно 0,1 Ом.Найти силу F, которую нужно приложить к проводу, чтобы перемещать его перпендикулярно линиям индукции со скоростьюv=2,5 м/с.Решение:70Выберем систему координат как показано на рисунке.

Соyгласно закону электромагнитнойlBиндукции, для ЭДС индукцииFАFимеем выражение Ei=-dΦ/dt, гдеvизменение магнитного потока dΦIопределяетсявыражением0dx xdΦ=BdS=Bldx=Blvdt. Тогда, дляЭДС индукции получаем Ei=-Blv. Из закона Ома для замкнутойцепи находим текущий по проводу ток I=Ei/R=-Blv/R. (знак минус означает, что ток течет против положительного направленияоси y). При движении проводника с током на него действует силаАмпера dFA=I[dl,B]. Отсюда следует, что dFA=iIBdl. Тогда, интегрируя по длине провода, получаем FA= -iIBl. Условие равномерного движения провода имеет вид F+FA=0.

Отсюда для искомой силы получаем выражение F=iIBl. Следовательно, величина силы рассчитывается по формуле: F=Ibl=v(lB)2/R=1 Н.Ответ: F=1 Н.Задача 3. Рамка площадью S=200 см2 равномерно вращается с частотой n=10 с-1 относительно оси, лежащей в плоскостирамки и перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поляВ=0,2 Тл.

Каково среднее значение ЭДС индукции <Ei> за время, в течение которого магнитный поток, пронизывающий рамку, изменяется от нуля до максимального значения.Решение:Пусть рамка вращается отBносительно оси О-О, а магнитноеOполе B пронизывает рамку и направлено сверху вниз, как показано на рисунке.

Согласно законуэлектромагнитной индукции, ЭДСOSиндукции дается выражением:αEi= -dΦ/dt,71где Φ=BS=BScosα ,(α - угол между направлением магнитного поля B и направлением вектора S, перпендикулярного к плоскости рамки). Тогда,для ЭДС индукции получаем формулу Ei=BSsinα⋅dα/dt. Отсюдавытекает, что Edt=BSsinα⋅dα. Интегрируя это уравнение, находим:T /400π /2∫ Ei dt = BS ∫ sin αdα .С учетом полученного соотношения, для среднего значенияЭДС индукции имеем окончательное выражение:1 T /44BS 0<Ei>=∫ Ei dt = T ∫ sin αdα = -4nBS= -0,16 В.T/4 0π /2Здесь знак минус определяет направление индукционноготока.Ответ: <Ei>=0.16 В.Задача 4. С помощью реостата равномерно увеличиваютсилу тока в катушке на ΔI =0,1 А в 1 с.

Индуктивность L катушкиравна 0,01 Гн. Найти среднее значение ЭДС самоиндукции <Esi>.РешениеСреднее значение ЭДС самоиндукции определяется выражением:1t<Esi> = ∫ Esi dt .t0ЭДС самоиндукции связана с током, протекающим через катушку, выражением:Esi = - LdI.dtИз этого выражения следует, что Esidt=-LdI. Интегрируя этосоотношение, для среднего значения ЭДС самоиндукции получаем выражение:L ΔILΔI<Esi>= - ∫ dI = −= -1 мВ.t 0t72Ответ: <Esi>=-1 мВ.Задача 5.

Вычислить взаимную индуктивность длинногопрямого провода и прямоугольной рамки со сторонами a и b.Рамка и провод лежат в одной плоскости, причем ближайшая кпроводу сторона рамки длиной b параллельна проводу и отстоитот него на расстояние l.Решение:Пусть рамка и провод распоYaложены в плоскости x-y, как показано на рисунке. ПронизывающийIbрамку поток магнитного поля Φ,созданного протекающим по прямому проводу током I, связан сlxOтоком выражением Φ=L12I, гдеL12- коэффициент взаимной индуктивности рамки и прямого провода. Следовательно, L12=Φ/I.Найдем поток Φ, пронизывающий рамку.

Поток через участокрамки шириной dx по определению равен dΦ=BdS=Bbdx, гдеB(x)=μ0 2 I- индукция магнитного поля, созданного прямым то4π xком I, на расстоянии x от провода. После интегрирования по всейширине рамки получаем выражение для полного потока черезрамку:l+al+adx μ0 Ibaμ0ln(1 + )Φ = ∫ Bbdx = 2 Ib ∫=4π2πxlllСледовательно, искомый коэффициент взаимной индуктивности рамки и провода выражается формулой:L12=aμ0 bln(1 + ) .2πlЗадачи для самостоятельного решения.Задача 6.

В однородном магнитном поле с индукциейВ=0,4 Тл в плоскости, перпендикулярной линиям индукции поля,вращается стержень длиной l=10 см. Ось вращения проходит че-73рез один из концов стержня. Определить разность потенциалов Uна концах стержня при частоте вращения n=16 с-1. (Ответ: U=201 мВ.)Задача 7. В однородном магнитном поле с индукциейВ=0,35 Тл равномерно с частотой n=480 мин-1 вращается рамка,содержащая N=500 витков площадью S=50 см2.

Ось вращениялежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции.Определить максимальную ЭДС индукции Ei max , возникающуюв рамке. (Ответ: Ei max=44 В.)Задача 8. Рамка площадью S=100 см2 содержит N=103 витков провода сопротивлением R1=12 Ом. К концам обмотки подключено внешнее сопротивление R2=20 Ом. Рамка равномерновращается в однородном магнитном поле (B=0,1 Тл) с частотойn=8 c-1. Определить максимальную мощность Pmax переменноготока в цепи. (Ответ: Pmax=79Вт)Задача 9.

Проволочный виток радиуса r=4 см с сопротивлением R=0,01 Ом находится в однородном магнитном поле с индукциейB=0,04 Тл. Плоскость рамки составляет угол α=300 слиниями индукции поля. Какое количество электричества Q протечет по витку, если магнитное поле исчезнет ? (Ответ: Q=10мКл.)Задача 10. В проволочное кольцо, присоединенное к баллистическому гальванометру, вставили прямой магнит. По цепипротекло количество электричества Q=10 мкКл. Определить магнитный поток Φ, пересеченный кольцом, если сопротивление Rцепи гальванометра равно 30 Ом.