Методичка по решению задач, страница 9

рисунок). Площадь каждой полоски буdxyдет равна ds=a⋅dx. Магнитный потокчерез одну из таких полосок, находящуюся на расстоянии x от оси y,будет равенdΦ= Bz(x) ds=kxa dx.Интегрируя, находим полный поток магнитной индукциичерез площадь рамки:BBBaΦ 0 = ∫ kxa dx =0ka 32.Окончательно имеем :A = I⋅ ΔΦ = I Φ0 = Ika3/2.59Подставляя численные значения, получим A=64 мкДж.Ответ: A=64 мкДж.Задача 4. Два прямолинейных длинных параллельных проводника находятся на расстоянии d1=10 см друг от друга. Попроводникам в одном направлении текут токи I1=30 А и I2=20 А.Какую работу A1 нужно совершить (на единицу длины проводников), чтобы раздвинуть эти проводники до расстояния d2=20 см?Решение:Каждый из проводников находится в магнитном поле, создаваемом другим проводником.

Работа A, которую нужно совершить, чтобы переместить проводник с током I1 и длиной l параллельно самому себе в плоскости, проходящей через оба проводника, будет равна: A=I1⋅ΔΦ, где ΔΦ - пересекаемый этим проводом магнитный поток.Заметим, что движение этого провода происходит в магнитном поле, создаваемом током I2. Значение магнитной индукция B,создаваемой длинным прямым проводом, определяется выражением: B( x ) =μ0I, где x - расстоя2 πxd1d2dние от провода до точки наблюдения.Для определения величиныI1I2ΔΦ воспользуемся рисунком и рассмотрим слой толщиной dx и длиной l, находящийся на расстоянии xот провода с током I2.

Магнитныйпоток dΦ, пронизывающий этот слой, будет равен: dΦ=Β(x)ds, гдеds=ldx - площадь слоя. Подставляя сюда выражение для магнитной индукции Β(x), получаем:dΦ =дим:μ0I 2ldx .2 πxИнтегрируя это соотношение в пределах от d1 до d2, нахоΔΦ =μ 0I 2lμ 0 I 2 l d2dx=ln .∫2πd1d 2 πxd2160Так как по условию задачи требуется определить работу A1по перемещению единицы длины проводника A1=A/l, то для работы A1 получаем выражение:A1 =μ 0 I 1 I 2 d2ln .2πd1Подставляя числовые значения, находим A1=83 мкДж/м.Ответ: A1=83 мкДж/м.Задача 5. Круглый плоский виток радиусом R=10 см, по которому течет ток I=100А, находится в однородном магнитномполе с индукцией B=0,2 Тл.

Плоскость витка составляет уголα=300 с направлением магнитного поля. Определить работу A.,которую необходимо затратить, чтобы удалить виток за пределыполя.Решение:Положение витка в области магнитного поля изображено нарисунке. Работа по перемещению проводника с током I в магнитгденомполеопределяетсявыражениемA=I⋅ΔΦ,ΔΦ − пересекаемый проводом магнитный поток.Так как виток удаляется за пределы поля,то ΔΦ=Φ0 где Φ0 - магнитный поток, прониBnзывающий виток до начала движения.

По усαловию задачи плоскость рамки составляетугол α с направлением поля; следовательно,угол между нормалью к рамке и направлением линий индукциисоставляет β=π/2−α. Магнитный поток равен: Ф=BS⋅cosβ, гдеS=πr2 - площадь витка. Окончательно получаем, что:А=IBπr2cos(π/2-α)=IBπr2sinα.Подставляя численные значения, найдем A=314 мДж.Ответ: A=314 мДж.Задачи для самостоятельного решения.Задача 6. Два параллельных провода длиной 1 м каждыйрасположены на расстоянии 2 см друг от друга.

По проводам те-61кут токи I1=I2 =100 А. Направление токов совпадают. Какую работу A нужно совершить, чтобы раздвинуть провода на расстояние 10 см? (Ответ: A=3,2 мДж.)Задача 7. Два прямолинейных длинных параллельных проводника находятся на некотором расстоянии друг от друга. Попроводникам текут одинаковые токи в одном направлении. Найтитоки I1 и I2, текущие по каждому проводнику, если известно, чтодля того, чтобы раздвинуть эти проводники на вдвое большеерасстояние, пришлось совершить работу (на единицу длины проводника) Al =55 мкДж/м. (Ответ: I1=I2=20 А.)Задача 8. Круговой контур помещен в однородное магнитное поле так, что плоскость контура перпендикулярна к направлению магнитного поля.

Напряженность магнитного поля H=150кА/м. По контуру течет ток I=2 A. Радиус контура R=2 см. Какуюработу A надо совершить, чтобы повернуть контур на уголϕ=900 вокруг оси, совпадающей с диаметром контура? (Ответ:A=0.5 мДж.)Задача 9. Квадратная рамка с током I=0,9 А расположена водной плоскости с длинным прямым проводником, по которомутечет ток I0=5 А. Сторона рамки a=8 см.

Проходящая через середины противоположных сторон ось рамки параллельна проводу иотстоит от него на расстояние, которое в n=1,5 раза больше стороны рамки. Найти силу Ампера F, действующую на рамку, и работу A, которую нужно совершить при медленном повороте рамки вокруг ее оси на 1800. (Ответ: F=0,45 мкН, A=0,1 мкДж.)Задача 10.

В однородном магнитном поле с индукциейB=0,5 Тл равномерно движется проводник длиной l=10 см. Попроводнику течет ток I=2 A. Скорость движения проводникаравна v=20 см/с и направлена перпендикулярно к направлениюмагнитного поля. Найти работу A перемещения проводника завремя t=10 c и мощность P, затраченную на это перемещение.(Ответ: A=0,2 Дж, P=20 мВт.)Задача 11. По сечению проводника равномерно распределенток плотностью j=2 MA/м2. Найти циркуляцию вектора напряженности магнитного поля вдоль окружности радиусом R=5 мм,проходящей внутри проводника и ориентированной так, что ее62плоскость составляет угол α=300 c вектором плотности тока. (Ответ: ∫ H l dl = 78,6A. )Задача 12.

В однородном магнитном поле с индукциейB=0,01 Тл находится прямой провод длиной l=8 см, расположенный перпендикулярно линиям индукции. По проводу течет токI=2 А. Под действием сил поля провод переместился на расстояние S=5 см. Найти работу A сил поля.(Ответ: A=80 мкДж.)Задача 13. Виток радиусом 2 см находится в однородноммагнитном поле с индукцией 0,2 Тл. Плоскость витка перпендикулярна линиям индукции поля. Какую работу нужно совершить,чтобы повернуть виток вокруг диаметра на 900, если ток в виткеравен 8 А? (Ответ: A=2 10-3 Дж.)Задача 14. По кольцу, сделанному из тонкого гибкого провода радиусом R=10 см, течет ток I=100 А. Перпендикулярноплоскости кольца возбуждено магнитное поле с индукцией B=0,1Тл, по направлению совпадающее с направлением B1 собственного магнитного поля кольца.

Определить работу A внешних сил,которые, действуя на провод, деформировали его и придали емуформу квадрата. Сила тока при этом поддерживалась неизменной. Работой против упругих сил пренебречь. (Ответ: A=67,5мДж.)Задача 15. По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной a, равной 10 см, течет ток I=20 А, сила которого поддерживается неизменной. Плоскость квадрата составляет угол α=200 слиниями индукции однородного магнитного поля (B=0,1 Тл).Вычислить работу A, которую нужно совершить для того, чтобыудалить провод за пределы поля.

(Ответ: A=6,84 мДж.)BТема 8. Движение заряженных частиц в электрическом имагнитном полях.Примеры решения задач.Задача 1. Электрон влетел в плоский конденсатор, находясьна одинаковом расстоянии от каждой пластины и имея скоростьv0=10 Мм/с, направленную параллельно пластинам. Расстояние63между пластинами равно d=10 см. Какую наименьшую разностьпотенциалов U нужно приложить к пластинам, чтобы электрон невылетел из конденсатора?Решение:По условию задачи скоyрость электрона много меньше−l+скорости света v0<<c. Поэтомуv0движение электрона рассматриваем как нерелятивистское. Выберем систему координат как-d/20d/2 xпоказано на рисунке. Движениеэлектрона представляет собойсуперпозициюравномерногодвижения с постоянной скоростью v0 вдоль оси y и равноускоренного движения вдоль оси x под действием электростатического поля.

Время пролета электрона между пластинами конденсатора вдоль оси y равно t=l/v0, где l - длина пластин. В положительном направлении оси x на электрон действует силаF=eE=eU/d, которая сообщает ему ускорение a=F/m=eU/md.Здесь e и m обозначают, соответственно, заряд и массу электрона.Чтобы попасть на край пластины конденсатора, электрон за время t должен сместиться вдоль оси x на расстояние d/2.

Согласнозакону равноускоренного движения d/2=at2/2. Подставляя сюдавыражения для t и a, получаем следующее соотношение:d=eUl 2mdv 02.Тогда, для искомой минимальной разности потенциалов получаем формулу:U=Ответ: U=22,7 В.md 2 v 02el2=22,7 ВЗадача 2. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U=600 В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией B=0,3 Тл и начал двигаться по окружности. Вычислить64ее радиус R.Решение:Чтобы частица двигалась по окружности, на нее должна действовать центростремительная сила, роль которой в данной задаче играет сила Лоренца. Следовательно, второй закон Ньютона, описывающий движение частицы, следует записать в виде:mp v 2R= evB.(1)Отсюда для радиуса окружности получаем выражение R=mPv/eB.Чтобы найти входящую в последнее выражение скорость, учтем,что магнитное поле не совершает работы над двигающейся в немзаряженной частицей.

Поэтому, кинетическая энергия, полученная протоном при прохождении ускоряющей разности потенциалов U, будет сохраняться и при дальнейшем его движении в магнитном поле. Закон сохранения энергии записывается в виде:eU = mpv2/2.Следовательно, mPv=(2mpeU)1/2. Подставляя это соотношение вформулу (1), получаем окончательное выражение для радиуса искомой окружности:R=1 2mpU= 11,8 мм.BeОтвет: R=11,8 мм.Задача 3. Электрон движется в однородном магнитном полес индукцией B=9 мТл по винтовой линии, радиус которой равенR=1 см и шаг h=7,8 см. Определить период T обращения электрона и его скорость v.Решение:BТраектория движения электронаRсхематически показана на рисунке.

Она представляет собойhрезультат двух движений: вращения по окружности под действием силы Лоренца в плоскости,65перпендикулярной магнитному полю, и равномерного движениявдоль направления поля. Второй закон Ньютона, описывающийвращательное движение электрона, записывается в виде:me v ⊥2ev ⊥ B =.RОтсюда получаем выражение для компоненты скорости вращения электрона по окружности v⊥ =eBR . Следовательно, периодmeобращения электрона по окружности можно найти по формуле:T=2πRm= 2π e = .v⊥eBСкорость движения электрона вдоль магнитного поля находимкак:v|| =hheB=.T 2πmeС учетом полученных выражений, для полной скорости получаемследующую формулу:v=eh2222v ⊥ + v|| ==.B R +me4π 2После подстановки числовых значений в выражения для T и v,находим: T=3,97 нс и v=25,2 Мм/с.Ответ: T=3,97 нс, v=25,2 Мм/с.Задача 4. Протон, ускоренный разностью потенциаловU=500 кВ, пролетает поперечное однородное магнитное поле синдукцией B=0,51 Тл. Толщина области с полем d=10 см. Найтиугол α отклонения протона отпервоначального направлениядвижения.Решение:Пусть область магнитного поляимеет толщину d вдоль оси x искорость протона v при входе вобласть поля также направленавдоль оси x, как показано на ри-66сунке.

Траектория движения протона в области магнитного поляпредставляет собой дугу окружности, вследствие чего векторскорости протона на выходе из поля отклонится на угол α от первоначального направления. При пролете частицей с зарядом e ускоряющей разности потенциалов U, над ней была совершена работа eU. Эта работа пошла на сообщение частице кинетическойэнергии. Следовательно, из закона сохранения энергии следует,что eU=mpv2/2. Отсюда для модуля скорости протона получаемвыражение v=(2eU/mp)1/2. При движении частицы в области смагнитным полем на нее действует сила Лоренца Fл, которая играет роль центростремительной силы.