Методичка по решению задач, страница 3

Собственные колебания контура. Формула Томсона. Реактивное сопротивление в цепи переменного тока. Затухающие колебания.Уравнение для затухающих колебаний. Э.д.с. в колебательномконтуре. Уравнение вынужденных колебаний. Явление резонанса.УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА. Основные экспериментальные соотношения, используемые при написании уравнений Максвелла. Уравнение Максвелла для стационарных полей.

Обобщение закона электромагнитной индукции Фарадея. Ток смещения.Система уравнений Максвелла в интегральной форме для произвольных полей.ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ. Волновое уравнение.Плоская электромагнитная волна. Скорость распространенияэлектромагнитных волн.

Энергия и импульс электромагнитногополя. Вектор Умова-Пойнтинга. Экспериментальное исследование электромагнитных волн. Шкала электромагнитных волн.ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ВЕЛИЧИН. Международная система единиц (СИ).Определение единицы силы тока в СИ. Электродинамические постоянные.17РАЗДЕЛ III.

ЭЛЕКТРОСТАТИКА. ПОСТОЯННЫЙЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОКТема 1. Электростатическое поле в вакууме. Напряженность поля.Теорема Гаусса.Примеры решения задачЗадача 1. Три одинаковых положительных зарядаQ1=Q2=Q3=1 нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой отрицательный заряд Q4 нужно поместить вцентре треугольника, чтобы сила притяжения с его стороныуравновесила силы взаимного отталкивания зарядов, находящихся в вершинах?Решение:Схема расположения зарядов показана на рисунке. Все тризаряда, расположенных в вершинах треугольника, находятся водинаковых условиях.

Поэтому для решения задачи достаточно выяснить, какой зарядQ4 следует поместить в центретреугольника, чтобы один изтрех положительных зарядов,например Q1, находился в равновесии. В соответствии спринципом суперпозиции, на заряд Q1 действует каждый заряднезависимо от остальных. Поэтому заряд Q1 будет находиться вравновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю:(1)F2+F3+F4=F+F4=0,где F2, F3, F4 - силы, с которыми действуют на заряд Q1 заряды Q2, Q3, и Q4; F - равнодействующая сил F2 и F3 .Так как силы F и F4 направлены по одной прямой, то векторное равенство (1) можно заменить скалярной суммой:F - F4 = 0 или F4 = F .18Выразим в последнем равенстве F через F2 и F3. Учитывая,чтоF2 =F3, получим F=2F2cos(α/2). Так как2сos (α/2)=(1/2)(1+сosα), то имеем:F4 = F22 (1 + cosα ) .Применяя закон Кулона, согласно которомуF4 =Q1Q44πε0 r12F2 =Q1Q24πε0 r 2,, и имея в виду, что Q2=Q3=Q1, найдем:Q1Q4Q122(1 + cosα ) .=4πε0r12 4πε0r 2(2)Отсюда получаем выражение для величины заряда Q4:Q1r12 2 (1 + cosα )Q4 =r2.Из геометрических построений в равностороннем треугольrнике следует, что cosα=1/2, r1 = .

С учетом этого, формула (2)3примет следующий видQ4=Q1 / 3 . Подставив сюда значениеQ4=0,58 нКл.Ответ: Q4=0,58 нКл.Q1, получаем, чтоЗадача 2. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами Q1=30 нКл и Q2= -10 нКл. Расстояние d между зарядамиравно 20 см. Определить напряженность электрического поля вточке, находящейся на расстоянии r1=15 см от первого и на расстоянии r2=10 см от второго зарядов.Решение:Согласно принципу суперпозиции электрических полей, каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Поэтому напряженность E электрическогополя в искомой точке может быть найдена как векторная сумманапряженностей E1 и E2 полей, создаваемых каждым зарядом вотдельности: E=E1+E2, как показано на рисунке.19Напряженности электрических полей, создаваемых в вакууме первым и вторым зарядами,равны:E1 =Q1Q2E2 =;4π ε0 r4πε0r2221(1)Вектор E1 направлен посиловой линии от заряда Q1,так как заряд Q1>0; вектор E2 направлен также вдоль силовойлинии, но к заряду Q2, так как Q2<0.

Модуль вектора E найдемпо теореме косинусов:E= E12 + E22 + 2 E1 E2 cosα ,(2)где угол α может быть найден из треугольника со сторонами r1, r2 и d:d 2 − r12 − r22cosα =2 r1r2.Подставляя выражения для E1 и E2 из формул (1) в равенство (2), получаем:E=14πε0Q12 Q22Q1Q24 +4 + 2 2 2 cos αr1r2r1 r2=16.7 кВ/м.Ответ: E=16,7 кВ/м.Задача 3. Тонкий стержень длиной L=30 см несет равномерно распределенный по длине заряд с линейной плотностьюτ=1 мкКл/м. На расстоянии r0=20 см от стержня находится зарядQ1=10 нКл, равноудаленный от концов стержня. Определить силу F взаимодействия точечного заряда с заряженным стержнем.Решение:Закон Кулона позволяет вычислить силу взаимодействиядвух точечных зарядов.

По условию задачи, один из зарядов неявляется точечным, а представляет собой заряд, равномерно распределенный по длине стержня.20Однако, если выделить на стержне бесконечно малый участок длиной dl, как показано нарисунке, то находящийся нанем заряд dQ=τdl можно рассматривать как точечный. Тогда, по закону Кулона, силувзаимодействия между зарядами Q1 и dQ можно записать ввиде:Q1τdl(1)dF= 4πε r 2 ,0где r - расстояние от выделенного участка стержня до заряда Q1.rrdα, где r0 - расстояИз рисунка следует, что r= 0 и dl=cosαcosαние от заряда Q1 до стержня. Подставив выражения для r и dl вформулу (1), получим:Q1τdF= 4πε r dα .(2)0 0Следует иметь в виду, что dF это вектор, поэтому, преждечеминтегрировать, разложим его на две составляющие: dF1, перпендикулярную стержню,и dF2, параллельную стержню.

Из рисунка также видно, чтоdF1=dF⋅cosα и dF2=dF⋅sinα. Подставляя значение dF из выражения (2) в эти формулы, найдем:Q τ cosαQ τ sin α1dα .dF1= 4πε r dα и dF2= 14πε 0 r00 0Интегрируя эти выражения в пределах от -β до +β (см. рисунок), получим:Q1τ sinβF1= 2πε r ;00F2=0.Интегрирование второго выражения дает нуль в силу симметрии расположения заряда Q1 относительно стержня.Таким образом, сила, действующая на заряд Q1, равна:21Q1τ sin βF=F1= 2πε r0 0.(3)Из рисунка следует, что:sinβ=l4 r02 + l 2.(4)Подставив равенство (4) в формулу (3), получим окончательно:F=Q1 ⋅ τ ⋅ l2πε 0 r0 4r02 + l 2= 0.54 мН.Ответ: F=0,54 мН.Задача 4.

Электрическое поле создано двумя параллельными бесконечными заряженными плоскостями с поверхностнымиплоскостями заряда σ1=0,4 мкКл/м2 и σ2=0,1 мкКл/м2. Определить напряженность электрического поля, созданного этими заряженными плоскостями.Решение:Согласно принципу суперпозиции, поля, создаваемые каждой заряженной плоскостью в отдельности, наIIIσ1σ2 III++кладываются друг на друE2E1га, причем каждая заряженная плоскость создаетэлектрическое поле незаE(II)E(III)E(I)висимо от присутствиядругой заряженной плоскости.

Напряженности однородных электрических полей, создаваемых первой и второй плоскостями, соответственно, равны:σσE1= 1 и E2= 2 .2ε02ε0Плоскости делят все пространство на три области: (I), (II) и(III), как показано на рисунке. Так как обе плоскости заряженыположительно, то в первой и третьей областях электрические силовые линии обоих полей направлены в одну сторону и, следо-22вательно, напряженности суммарных полей E(I) и E(III) в первой итретьей областях равны между собой и равны сумме напряженностей полей, создаваемых первой и второй плоскостями:E(I) = E(III) = E1+E2 илиE(I) = E(III) =σ1 + σ 22ε 0= 28,3 кВ/м.Во второй области (между плоскостями) электрические силовые линии полей направлены в противоположные стороны и,следовательно, напряженность поля E(II) равна разности напряженностей полей, создаваемых первой и второй плоскостями:σ −σE(II) =⏐E1 - E2⏐ или E(II) = 1 2 =17 кВ/м.2ε 0На рисунке указаны направления электрических полей E1,E2, и E, создаваемых, соответственно, первой плоскостью, второйплоскостью и двумя плоскостями вместе.Ответ: E(I) = E(III) =28,3 кВ/м; E(II) =17 кВ/м.Задача 5.

Две концентрические проводящие сферы радиусами R1=6.см и R2=10 см несут, соответственно, заряды Q1=1 нКли Q2= -0,5 нКл. Найти напряженность поля в точках, отстоящихот центра сфер на расстояниях r1=5 см, r2=9 см и r3 =15 см. Построить график зависимости напряженности поля от расстоянияE(r).Решение:Геометрия задачи показана на рисунке. Точки, в которыхтребуется найти напряженности электрического поля, лежат втрех областях: область I (r<R1), область II (R1<r<R2) и область III(r>R2).1. Для определения напряженности E1 в области I проведемсферическую поверхность S1 радиусом r1 и воспользуемся теоремойОстроградского-Гаусса. Так каквнутри области I зарядов нет, то,согласно указанной теореме, получим равенство:23∫ E dS = 0 ,(1)nSгде En - нормальная составляющая напряженности электрического поля.

Из соображений симметрии следует, что нормальная составляющая En должна быть равна самой напряженности ипостоянна для всех точек сферы, т. е. En=E1=const. Поэтому, еёможно вынести за знак интеграла. Равенство (1) примет видE1 ∫ dS = 0 . Так как площадь сферы не равна нулю, то E1=0. НапряSженность поля будет равна нулю во всех точках, удовлетворяющих условию r<R1 .2.