2016 Конспект (3 поток) (avasite) (Лекции), страница 6

Математика в России:

До 2-й четверти 19-го века, на Руси с образованием было очень плохо.

При Александре I начали понимать, что России нужны высшие учебные заведения.

Петербуржский университет, который образовался в 1725 году (было 3 факультета (минимум) и иногда было по 1 студенту на факультет), реально появился в 19-м веке.

1802 г. – университет в Тарту, 1803 г. – Вильнюс, 1804 г. Казань, Варшава, Одесса, Киев, … К 1817 году было 11 университетов.

1804 г. –приняли новый устав, что помимо 3-х основных факультетов (медицина, философия и ???), должен быть 4-й – физико-математический.

Математика в мире:

В этот период наибольший расцвет математики был во Франции (Луи Коши, Фурье, Пуассон, Лаплас, …)

Лаплас: «читайте Эйлера – учителя всех нас»

Французы придерживались феноменологической теории (т.е. их не сильно интересовала природа явления, но им хотелось описать поведения этого явление) (Вопросы движения жидкости, планет, …)

Было двое русских, которые учились во Франции (Буняковский и Остроградский)

Кант: «каждая наука ценна на столько, сколько в ней математики»

1. Математики

1. Декарт, Рене (1596 – 1650 гг.)

Рене Декарт (1596 – 1650 гг.)

Качества:

• Философ (материалист, сущность всего в мире - трёхмерность), физик, математик, астроном, физиолог.

Математика:

• 1637 год – первая работа, являвшаяся классической и называлась «Геометрия» (тогда геометрией всё ещё называли всю математику)

• Основная идея: введение переменной величины и использование прямолинейных, декартовых координат

  • Декартова система:

    • не было отрицательной оси

    • ось «y» отсутствовала, т.к. в каждой точке можно отмерить перпендикулярную прямую

    • о пространственных координатах речи не было

  • Переменная величина это:

    • либо, привязывают координату точки к той кривой, по которой эта точка перемещается

    • либо, каждой точке на координатном отрезке соответствует некоторое значение переменной величины

• После этого Декарт начал писать уравнения кривых на плоскости (конические сечения – уравнения 2-й степени)

• Классификация прямых по Декарту:

  • НЕ по степеням уравнений (так начал делать только Леонард Эйлер – что было значительно позже)

Только те кривые, которые можно нарисовать с помощью циркуля и линейки, такие кривые он называл допустимыми. Лейбниц потом такие кривые называл трансцендентными.

Либо те кривые, которые можно было нарисовать конечным количеством таких движений (циркуль и линейка). В итоге Декарт классифицировал кривые по количеству звеньев шарнирного механизма, по которому можно было нарисовать конкретную кривую.

• Нет достаточного проникновения в геометрию алгебраического аппарата.

• Ограничивался только алгебраическими кривыми.

• Декарт занимался общей теорией решения уравнений.

  • Высказал гипотезу: уравнение n-й степени имеет n корней. (тогда это было гениально, ведь с отрицательными числами было туго, а комплексных не было вообще)

• Есть новые обозначения, знаки «+», “-”, знаки бесконечности, неизвестные – x y z, известные a, b, c.

1. Ферма (1601 - 1665 гг.)

Биография:

По образованию – юрист, советник парламента, математика – его хобби. Информацией обменивался через письма, интересовался Архимедом, Аполлонием, коническими сечениями, решениями уравнений.

Математика:

• Показал, что решения уравнений первой степени – прямые.

• Есть у фермы понятие «замены переменных » - т.е. сдвиг и поворот координатной плоскости, что позволяет привести уравнение к каноническому виду.

• Анализ бесконечно-малых величин.

  • Есть вопросы с решением уравнений старших степеней (теорема Ферма): x^n+y^n=z^n – не имеет решения в натуральных числах при n > 2.

  • Уайлс в 1995 году наконец доказал теорему Ферма (базируется на результатах, полученных в Японии).

  • Малая теорема Ферма: если a и p простые числа то (a^(p-1)=1) mod p

1. Кеплер (1571 – 1630 гг.)

Известно письмо Шиккарда-Кеплера:

Вильгельм Шиккард – по существу первый создатель калькулятора.

Кеплер советовал Шиккарду забить на математику и заниматься настоящим делом.

Кеплер писал: некий шотландский барон Джон Неппер (начало 17-го века) любое действие умножения и деления сводит к сложению и вычитанию.

Законы Кеплера:

1. Планеты движутся по эллипсу, в одном из фокусов которого – солнце

2. Радиус-вектор, соединяющий планету и солнце заметает равные площади за равное время

3. a^3 / T^2 = const для всех планет (a – большая полуось эллипса)

Математика:

• Кеплер изучал движения планет (эллипсы)

• Кеплер изучал тела вращения (рассмотрел 92 вида, и каждому дал своё название)

  • Выпустил трактат «Новая стереометрия винных бочек, особенно австрийских, как наиболее всего подходящих для …» - книга о вычислении объёмов бочек. В основу он положил метод Архимеда – метод исчерпывания.

  • Для подсчёта объёма тора он рассматривал объём цилиндра, с таким же цилиндром, но с высотой равной длине окружности, которая идёт посередине тора.

  • Площадь круга – вычисляется через площади прямолинейных треугольников (торт нарезали).

Один Шотландец написал Кеплеру книгу «В защиту Архимеда», в которой сказал, что Архимед делал это лучше и обоснованнее.

1. Ковальери (1598 – 1647 гг.)

Кавальери - ученик Галилея (1598-1647год)

Математика:

• Создал «метод неделимых ».

Этот метод он использовал как для подсчёта объёма, так и площадей, и, как и Декарт, считал, что фигуры состоят из элементов на 1 размер меньше.

По существу, он считал определённый интеграл.

• Не совсем ясно, что он считал «неделимым».

Блез Паскаль в качестве неделимых использовал кусочки (например, трапеции для определённого интеграла под графиком) (что лучше, чем у Кавальери).

1. Барроу (1630 – 1677 гг.)

Математика:

• Сформулировал правило о взаимной обратности интегрирования и дифференцирования.

• Он это выражал через термины касательных функций, точки перегиба, …

1. Ньютон, Исаак (1642 – 1727 гг.)

Биография:

Родился в семье фермера, рано проявил свои математические способности. Поступил в Кембриджский университет (Тринити колледж) (1665 году окончил Кембридж в степени бакалавра).

Во время эпидемия чумы покинул колледж и 3 года занимался наукой где-то у себя дома. За эти 3 года достиг очень много.

Многие вещи в математике он открывал (например, понятие производной (он называл это «флюксия»))

А публиковал это лет через 20, не считая это особо необходимым.

В то время уже существовала книга «О натурфилософии».

1668 год – Ньютон становится магистром и в следующем году Барроу – заведующий кафедрой передаёт свою кафедру Ньютону, которой тот заведовал очень долго.

Становится членом Лондонского королевского общества, потом в 1703 становится президентом королевского общества.

Потом назначается на должность «смотритель монетного двора» (он привёл в порядок финансы Великобритании)

Становится почётным членом Парижской академии («каста неприкасаемых»). Получил почётное дворянское звание (для учёного это было редкостью) и поэтому был похоронен в Вестминстерском аббатстве.

Законы математики, которые он формулировал он оформлял, как законы, которые уже есть в нашем мироздании, их нужно извлечь, сформулировать и пользовать.

Были у Лейбница результаты, похожие на Ньютона (до сих пор люди дерутся, кто из них был в чём первый).

Качества:

• Практик. Для Ньютона математика — это инструмент для получения астрономических, физических, механических, … результатов.

Математика, наука:

• Открыл закон всемирного тяготения.

• Выписал формулу Ньютона-Лейбница (взятие определённого интеграла через неопределённый), занимался оптикой (дифракция, дисперсия, …)

• У Лейбница был «дифференциал», а у Ньютона было понятие «флюксия » (аналог производной).

• Свои открытия Ньютон начал с оптики. Существует 2 теории (корпускулярная и волновая). Ньютон придерживался корпускулярной теории, и спорил об этом с Гюйгенсом.

Первым длину световой волны вычислил именно Ньютон.

• 3 основных закона механики: закон инерции, закон пропорциональности силы и движения, закон действия и противодействия. Показал, что из этого следуют законы Кеплера.

• Изучал законы земной и небесной механики.

• Дифференциальное и интегральное исчисление Ньютона.

Понятие скорости, ускорения, … - теория флюксии (от лат. флюента (течь, течение)). Флюента – это «зависимая переменная», которая зависит от равномерно меняющейся величины (например, времени). Скорость течения флюент – «флюксия». Флюксии он обозначал с точками над переменной (как сейчас в физике обозначают производные по времени)

Момент – бесконечно малые изменения флюент. Символ момента времени обозначается буквой O. – хотя чётких определений этих 2-х величин у него нет.

Так у него Oy с точкой по существу означало производная “dy”.

Если же задана флюксия – y, то можно вычислить квадратуру (вычислить флюенту по флюксии), и для обозначения он использовал пустой квадрат (по сути – это определённый интеграл).

2 взаимно обратные задачи:

• Найти скорость в каждый момент времени по заданному пути.

• Найти по заданной скорости, пройденный путь.

Беркли писал «кто может переварить 2-ю или 3-ю флюксию, не должен придираться к чему-либо в богословии».

Ньютон дифференцировал не выражения, а соотношения

<тут должен быть пример дифференцирования, как это делал Ньютон - ???>

• также есть работы по алгебре, интерполированию, метод касательных, …, итерационные формулы

• Ньютон также разлагал функции в степенные ряды и работал со степенными рядами.

• Но Ньютон не доказывал корректности своих математических вычислений, потому что они были не строгими.

• Бином Ньютона.

  • Как Ньютон выводил интерполяционную формулу: (в 1711 году)

  • <тут тоже должен быть вывод от Ньютона - ???>

Уже потом Тейлор распространил эту формулу на бесконечное число слагаемых и получилась формула Тейлора.

• Никакого аппарата эпсилон и дельта – нету. Никакой строгости нету, но интуиция у него к математике – фантастическая. Аналогично будет только с Леонардо Эйлером – у него много результатов, и без намёка на доказательство у некоторых, но нигде не ошибся.

1. Лейбниц (1646 – 1716 гг.)

Биография:

С ним связана вычислительная машина, которую он усовершенствовал.

Вёл дружбу и переписку с Петром I. Пётр первый назначил Лейбница тайным советником.

В целом Лейбниц принёс много пользы России. (и сам был этому рад)

Ньютон и Лейбниц переписывались и дважды встречались в Европе и общались, но т.к. вся Европа носила Ньютона на руках, и когда умер Лейбниц – единственный кто за ним шёл – это был его друг, несмотря на то, что Лейбниц открыл Берлинскую академию и тоже сделал многое. Несмотря на это они сопоставимы по вкладу в наш мир.

1646 год – Лейбниц родился в городе Лейбциг в семье профессора этики.

Отец в 6 лет умер – уже владел греческим и латынью (читал <???>)

Интересовался философией и логикой, потом писал работы.

В 18 лет – магистерская диссертация, которая была представлена на докторскую диссертацию.

Стал признанными философом.