2016 Конспект (3 поток) (avasite) (Лекции), страница 9

До самой смерти был не признан.

Родился в семье пастора.

Абель зарабатывал репетиторством, ему прислали из университета приглашение, но пока оно шло – он умер.

Математика:

• Исследовал аналитические функции, специальные функции (есть его именем названные абелевы интегралы (интегралы от эллиптических и гиперэллиптических функций))

• Абеля волновал вопрос о разрешимости уравнений высоких степеней.

Сначала он пытался доказать этот постулат, но не смог, и поэтому решил доказать противное и таки смог!

Доказал, что «никакое самое общее радикальное выражение не может быть универсальным выражением для корней уравнения степени больше либо равном 5» . Есть некоторые уравнения (частные случаи) (циклические уравнения), где уравнения – есть.

А вот на вопрос: «можно ли взглянув на уравнения понять, разрешимо оно или нет» - Абель ответа не дал. На этот вопрос уже отвечал Галуа

1. Галуа (1811 – 1832 гг.)

Галуа умер на дуэли в возрасте 20 лет.

Его отец был чиновником, потом стал мэром города. И город назван в честь его отца.

Пошёл в политехническую школу. Дважды Галуа пытался поступить в школу, и дважды проваливался на экзаменах. Современники пишут, что это было связано с непростым характером. Ему казалось, что ему было очень просто и поэтому он отвечал не так, как от него ожидали.

Писал статьи и отправлял в парижскую академию наук. Один раз попал к Фурье. С Пуассоном один раз пообщался, но что-то они там тоже друг друга недопоняли.

За свою жизнь он дважды посидел в тюрьме, и там писал свои математические работы.

После того, как Галуа отсидел и вышел на свободу, то поссорился со своим другом, и по формальным источникам – козни политических врагов привели к дуэли, но скорее всего драка за девушку.

Математика:

• Он ввёл понятие группы (близкое к тому, что сейчас понимается под группой).

• Обобщение многих проблем, которые касались не только алгебры, но и дифференциальных уравнений.

• Разрешимость уравнений высоких степеней. Для каждого алгебраического уравнения можно было создать группу Галуа, и если группа Галуа была разрешимой, то и уравнение тоже было разрешимо. – этим он окончательно решил вопрос о том, что есть неразрешимые и разрешимые уравнения.

1. Период современной математики (середина 19 века - …)

Современную математику отличает понятие строгости.

(например, у Эйлера не было строгости в его доказательствах)

1. Математики

1. Коши, Огюстен Луи (1789 – 1857 гг.)

Качества:

• Много уделял строгости доказательств.

Биография:

Коши был «современным математиком» - много уделял строгости доказательств.

Очень разносторонний.

Огюстен Луи Коши перестроил всю математику, перестроив на основе пределов. (остаточные члены, сходимость, непрерывность – всё «по Коши»)

Математика:

• Исследовал сходимость и числовых последовательностей, и рядов, …

• Сходимость рядов он обязательно исследовал с оценкой остаточного члена – первым оценил остаточный член при разложении в ряд Фурье.

• Исследовал абсолютную сходимость рядов и их свойства (если ряд есть произведение 2-х абсолютно сходящихся рядов, то сумма произведений тоже абсолютно сходящийся ряд, и его сумма есть произведение сумм исходных)

• Исследовал признаки сходимости числовых рядов. До него существовал признак Даламбера, и интегральный признак.

• Критерий Коши сходимости функциональных рядов, придумал не Коши, но формулировка очень похожа на то, что Коши формулировал. Коши утверждал, что сходящийся ряд непрерывных функций есть непрерывная функция, но он ОШИБСЯ. Поправил его Абель. В след за Коши появилось много признаков сходимости (Абель, Лобачевского, Куммера, Рааба)

• Разложение функций на степенные ряды.

• Коши утверждал, что, если область сходимости степенного ряда ограничена, то (область <= 1 / (верхний предел расстояния)) внутри области ряд сходится, снаружи расходится, а на границе – неизвестно.

• Теорема о среднем. (f(x)-f(x+dx)) = f`(x+\teta*dx) * dx

• Задача Коши. (доказывалось через ломанные Эйлера) (там использовались координаты, аппроксимирующие что-то там <???>)

• Коши ввёл понятие вычета.

• Разложение комплексного переменного в степенной ряд.

1. Больцано (1781 – 1848 гг.)

Биография:

Больцано – Чех, был богословом в Праге, пока не выгнали по политическим причинам.

После того, как его выгнали – он поселился в маленькой деревне, где он и занялся математикой, и труды его были не очень популярны.

Эйлер тоже занимался богословием (написал работу о том, что нету противоречия между наукой и богословием)

Математика:

• В 1817 году доказал, что если множество рациональных числе ограничено сверху или снизу, то это множество имеет точную верхнюю или нижнюю грань.

Вейерштрасс тоже сформулировал эту теорему, но на 40 лет позже.

• Сформулировал критерий сходимости последовательности числовых рядов.

• Дал строгое определение непрерывности функций (через теорию множеств).

• Теорема Больцано-Вейерштрасса. Доказал, что непрерывная функция может принимать все промежуточные значения.

• Привёл пример непрерывной функции, не дифференцируемой ни в одной точке.

Ампер утверждал, что любая непрерывная функция может иметь лишь конечное число особенностей (то, где она не дифференцируемая). Больцано первым привёл пример непрерывной функции, которая не имеет производной ни в одной точке (Вейерштрасс сделал это лишь через 45 лет) (функции у них были разные).

1. Вейерштрасс (1815 – 1891 гг.)

Биография:

Родился в берлине.

До 40 лет он преподавал учителем в школе, сам учился в обычной школе и не особо здорово.

В высшее учебное заведение поступил в 21 (Лейбниц в 20 лет докторскую защитил)

Математика:

• Использовал верхние и нижние грани, предельные точки.

• Построил функцию непрерывную на отрезке, но не имеющей производную.

• Доказал возможность разложения непрерывной функции в равномерно сходящийся ряд многочленов.

• Инструмент эпсилон-дельта – это идея Вейерштрасса (Коши это излагал лишь словесно).

1. ЧЕБЫШЁВ (1821 – 1894 гг.)

Биография:

Родился в калужской области в семье богатого землевладельца. Первоначальное образование получил дома.

Поступил в МГУ на физико-математическое отделение философского факультета.

Получил серебряную медаль за работу по нахождению корней n-й степени. (1840 год) (работа написана в 1838 году). Это работа в области приближённых вычислений (работа была написана ещё на 2-м курсе) (по сути он развивал метод Ньютона)

В 1841 году окончил университет и через некоторое время переезжает в петербуржский университет.

1849 год – диссертация на тему «Теория сравнений».

Был разработан устав университета (который был сильно порезан Александром 3-м (устав стал жёстче)).

С подачи Чебышева появились технические вузы (Бауманка, …) в стране (в период нехватки инженеров): была разработана соответствующая программа.

Решал различные задачи, связанные с артиллерией.

1878 год – изобретение машины, имитирующей движение животного при ходьбе.

Разработал модель инвалидной коляски.

1894 год – умер за письменным столом, работая над очередной теоремой.

У Чебышева было 2 ученика: Марков Андрей Андреевич (старший) (1856 - 1922) и Ляпунов (1857 - 1918)

Математика:

• Один из основателей теории вероятности (закон больших чисел, центральная предельная теорема)

• Механика, численные методы

• Теория чисел:

  • Между n и 2n-2 находится хотя бы одно простое число.

  • Гипотеза о распределении простых чисел.

• Теория вероятности:

Один из первых, кто формализовал данную область математики, часто использовал понятие случайной величины, сформулировал центральную предельную теорему, которая была им сформулирована в некоторой постановке, а потом уточнена его учеником Марком.

• Метод моментов – тоже заслуга Чебышёва.

• Численные методы:

Многочлены Чебышёва. Многочлены, наилучшим образом, приближающий ноль на отрезке [-1, 1]. (нужны для снижения степени многочленов)

Многочлен в общем виде выглядит как:

Tn = cos(n*arccos (x)) T0 = 1 T1 = x T2 = cos (2 arccos x) = 2 cos2(arccos x) – 1 = 2*x2-1 T3 = 4x3 – 3x = x (2 (2x2 -1) - 1) Рекуррентная формула: Tn(x) = 2x*Tn-1(x) – Tn-2(x)

• Чебышёв первооткрыватель по приближению к вычислению очень многих функций

• Ввёл многочлен Чебышёва-Эрмита. (используется в теории чисел)

1. Марков (1856 – 1922 гг.)

Биография:

Марков отлучён от церкви по собственному прошению.

Умер от голода в петрограде в 1922 году.

Математика:

• Неравенство Маркова (теорвер)

• Цепи Маркова (теорвер и машинное обучение) – основная суть в описании стохастического процесса, в котором текущее состояние зависит только от предыдущего.

Сын Маркова разработал «Нормальный алгоритм Маркова » (НАМ).

1. Ляпунов (1857 – 1918 гг.)

Биография:

Закончил физмат петербургского университета, и занимался задачами, связанными с механикой.

Чебышёв многие задачи не решил, а только успел поставить постановки. Ляпунов решил много таких задач.

По состоянию здоровья (туберкулёз) в июне 1917 году уехал в Одессу. В конце 1918 года умирает его жена, и он пытается застрелиться, но не очень успешно и через несколько дней умирает в больнице.

Математика:

• В механике занимался фигурами равновесия.

• Одни из первых работ: «Равновесие твёрдых тел в жидкостях», «Потенциал гидростатического давления»

• Ввёл понятие устойчивости задачи. (устойчивость по Ляпунову)

• Ляпунов был одним из первых в кибернетике:

  • Занимался генетикой, а её в СССР называли "продажная девка капитализма"

  • Ляпунову помогали: Яблонский, Лупанов, Журавлёв, Ершов (первый академик в области программирования в нашей стране).

1. Ковалевская, Софья Васильевна (1850 – 1891 гг.)

В её время было очень предвзятое отношение к женщине-математику.

Училась в Кёнисберге, потом в Берлинском университете (у Вейерштрасса), а потом в Стокгольмском университете.

Умерла рано от воспаления лёгких.

Читала одновременно 12 различных лекционных курсов в Стокгольмском университете.

Математика:

• Теория вращения твёрдого тела (основной результат)

• Решила много задач о вращении твёрдого тела вокруг неподвижной точки

• Равновесие колец Сатурна (получила 2-е приближение при решении задачи)

• Получила премию парижской академии за работу о вращении твёрдого несимметричного волчка

• + работы в математической физике, диффурах и механике

• + работа с работами Пуан Каре, связанными с теорией кривых

1. Тихонов (1906 – 1993 гг.)

Доказательство существования и единственности уравнения теплопроводности

1. Программирование

1. Математики-программисты

1. Жаккард (1752 – 1834 гг.)

Создал компьютер – ткацкий станок. Программами являлись металлические карты.

1. Однер (1845 – 1905 гг.)

Колесо Однера с переменным числом зубцов (пришло на замену ступенчатому валику Лейбница)