2016 Конспект (3 поток) (avasite) (Лекции), страница 7

Увлекался деятельностью дипломатического рода

Серьёзная дипломатическая миссия в том числе встреча с Павлом I.

Пётр первый отправил учиться молодых зарубеж – толку не было => пригласить специалистов / ряд учеников учил профессор Вольф

Навигационная школа, Цифирные школы (по принуждению), Морская школа

Это затеяли Лейбниц и Вольф.

Интерес к математике не в первую очередь, по его совету Пётр 1 в 1725 открыл Академия наук.

Лейбниц искал всеобщую характеристику: инструмент с помощью которого можно изучать всё на свете. Ближе всего математическая логика, хорошо работала двоичная система счисления.

В любой дисциплине есть первичные понятия

Рано стал членом лондонского (в 27 лет) королевского общества, потом членом парижской академии, а потом основал берлинскую академию. Опубликовал первый мат. журнал.

В России не сильно стремились к обучению, дошло дело до того, что было всего 3 ученика.

Приходилось выписывать студентов из-за рубежа (8 студентов vs 17 профессоров). Чтобы профессорам было кому читать лекции, профессора читали их друг другу.

В гимназии обстояли дела чуть получше с желанием учиться.

Ньютон с Лейбницем поссорились из-за того, кто первым сделал то или иное открытие.

Для Ньютона математика – никогда не было самоцелью. Математика – была исключительно инструментом.

В то время как Лейбниц – был чистым математиком.

Понятие производной использовалось ньютоном раньше, в то время как само понятие Лейбниц придумал позже.

У Ньютона и у Лейбница – вся символика, доказательства, терминология – разные, так что ничего они друг у друга не воровали.

Математика:

• Лейбниц много уделял важности символике в математике. «Они должны способствовать искусству открытий»

• Слово «переменная » - было введено Лейбницем, «постоянная », «координата», «абсцисса», «функция», «дифференциальное уравнение/исчисление ».

• Предложил чёткое разложение в ряд числа пи: Пи/4 = 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + … (разложение арктангенса x)

• Признак сходимости знакочередующегося ряда – Лейбниц.

• Открыл взаимообратную связь между проведением касательных, и между квадратурами (т.е. интегрированием) – формула Ньютона-Лейбница (вычисление определённого интеграла).

• Дал формулу для многократного дифференцирования произведения, правило дифференцирования трансцендентных функций (он разлагал функции в ряды). Дал правило дифференцирования для рациональных дробей.

• Определили точки перегиба (d²y)

• Выявил уравнение цепной линии

• Опубликовал книгу «анализ бесконечно малых » - Лопиталь опубликовал записанные лекции за Лейбницем (1695 год)

• Рассматривал проблему с огибающим семейством кривых

• Правило Крамера придумал Лейбниц, понятие определителя матрицы тоже ввёл Лейбниц.

• Примерно в 25 лет, Лейбниц решил усовершенствовать машину паскаля.

• В машине паскаля постоянно приходилось вручную устанавливать второе слагаемое при умножении, но Лейбниц, хотел избавиться от этого недостатка, чтобы был «ступенчатый валик» (цилиндр), который бы делал это автоматически.

Было выпущено более 1000 арифмометров в Европе, построенных на этом принципе. В России тоже.

Недостойно одарённому человеку, тратить на вычисления, когда их можно доверить рабу, использующему вычислитель.

• «Полная энциклопедия всех математических дисциплин»

• «Курс математики в 5-ти томах»

Механический калькулятор:

Сложение делается как в машине Шиккарда. Умножение на цифру делается через многократное сложение. Умножение на число – через умножение на цифру и сдвиг каретки.

Для механизации операции умножения Лейбниц ввел в конструкцию вычислительной машины:

• механизм многократного ввода слагаемого (ступенчатый валик Лейбница);

• размещение механизма ввода на подвижной каретке

Механический калькулятор Лейбница активно выпускал Карл Томас, выпустил около 2000 штук.

1. Эйлер, Леонард (1707-1783 гг.)

Эйлер занимался теорией упругости, оптикой, теорией музыки, баллистикой, морской наукой, картографией, страховым делом, но больше всего любил физиологию и медицину.

Биография:

Очень выдающийся математик всех времён

Родился в семье пастора в Швейцарии в городе Базель, но большую часть жизни прожил и умер в России (похоронен в Питере).

В гимназии, где он учился – ему было нечего делать (был умён). И он пошёл в университет, где Бернулли вёл занятия, и Бернулли стал с ним индивидуально заниматься (видя талант и желание).

Эйлер увлекался не только математикой, но и миром вокруг, но в основном его интересовала физиология и медицина.

Эйлер послал свои рефераты в Париж - «об устройстве мачт на корабле» и в Базель – работа была философского характера (типо резюме), но его не приняли, поэтому после приглашения в Россию он и приехал, что случилось сразу после гибели Екатерины.

В России Эйлер занял кафедру физиологии (другие профессора куда-то уезжали). Но в 27-й год освободилась кафедра математики и с тех пор эту кафедру занял Леонард Эйлер (на кафедре математики он непрерывно проработал до 1740 года)

Ему, как и Пушкину, плохо подходил климат Петербурга (к тому же он уже лишился зрения на 1 глаз)

Поэтому он переехал в Берлин, где тоже пошёл в гору, но остался членом российской академии, и получал за это зарплату, а он в свою очередь посылал в Россию свои работы, закупал и присылал инструменты.

До 1766 года Эйлер пробыл в Берлине, и вернулся в Питер, но уже слепым, там не менее он активно диктовал своему сыну свои труды.

В Швейцарии уже собрали 72 тома собрания сочинений Эйлера и ещё не опубликовано пара тысяч писем Эйлера. Эйлер написал 886 работ. И каждая – оригинальна.

И не было ни одного раздела, где Эйлер бы не сделал чего-то важного.

В России, что в Германии ему доверяли, как безошибочно поднять тяжёлый колокол в церкви, или провести экзамен для машинных дел мастера, а в германии требовали помочь провести канал между реками.

Первое, что сделал Эйлер, попав в Россию – занялся картографией.

Поэтому в 1735 году он писал, что трудами Эйлера и трудами <Гейзиуса - ???>, российская картография, стала лучше германской.

Эйлер сделал за 3 дня работу, на которую другие учёные просили несколько месяцев, это и привело к слепоте на 1 глаз.

Иоганн Бернулли – первым стал учитывать сопротивление воздуха. Но там было очень сложно и никто до конца теорию не довёл, а вот Эйлер этим занялся.

Для судов нужно многое решить: навигация (навигация по звёздам, хроматические стёкла, …), также проблемы устройства самого корабля (манёвренность, остойчивость (устойчивость), быстроходность). Всем этим занимался Эйлер.

У него были серьёзные публикации, отправлял их зарубеж и даже получил премию из Англии за работу над морским делом.

Эйлер придумал, как настроить орган математическими методами, без какой-либо математики.

Эйлер опубликовал невероятное количество учебников по математике.

Эйлер вёл переписку с Ньютоном.

Говорят, что понять её могут только сами Ньютон и Эйлер, потому что они говорили полусловами (хорошо понимали друг друга).

Начали понимать необходимость аппарата интегрального и дифференциального исчисления (они пользовались терминологией «дифференциал» и «флюксии»)

Математика:

• Эйлер под словом «функция » понимал, как понятие, с которым можно было бы оперировать. (Декарт функцию понимал, как «соответствие»)

У Эйлера «функция переменного количества» – это «аналитическое выражение, составленная каким-либо образом из этого количества и числе, составленных из этих самых ???» Т.е. Эйлер по сравнению с Декартом сужает понятие функций.

Потом понятие функции будет расширено Лобачевским («любое соответствие, которое можно быть выражено, <так-то> и <так-то>, в том числе эта зависимость может существовать и оставаться неизменной»)

• Эйлер начал искать численные методы решения дифференциальных уравнений, даже первого порядка.

• Эйлер исследовал бета и альфа функции (см. матан 2-й курс, вывод разложения фурье)

• Эйлер ввёл понятие двойного интеграла. Позже Лагранж ввёл 3-ной интеграл.

• В том виде что мы пользуем, интеграл от a до b ввёл Фурье, но Эйлер писал похожим образом.

• ОДУ – обыкновенные дифференциальные уравнения.

  • У Эйлера есть классический метод решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

  • Часто такое делают с помощью подстановки Эйлера (y = e^(kx), где k – корень характеристического уравнения)

  • А если ещё и кратные корни, то тогда и x^2*e^(kx)

• Эйлер исследовал уравнения Риккати (что при 2-х частных решениях, решение можно свести к квадратурам)

• Эйлер решил навести порядок в теории дифференциальных уравнений и в книгах обобщил всё, что известно в науке к тому моменту, когда он о них писал. Кстати большинство известных методов, были открыты им самими.

• Эйлер понимал, то иногда даже простые диффуры невозможно решить аналитически.

Поэтому Эйлер предложил «метод ломаных Эйлера » - когда решение в каждой следующей точке находится через решение в предыдущей точке. Сейчас этот метод используется для доказательства существования и единственности решения диффура.

• Решал не только линейные, но и нелинейные уравнения, также показал, что нелинейное уравнение может быть сведено к уравнению линейному, хоть и большего порядка.

• Эйлер по существу открыл науку «вариационные исчисления ». Первым дал метод решения вариационных задач – «общее решение изопараметрической задачи, поставленной в самом широком смысле». Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума и минимума.

• Дифференциальная геометрия: геодезические линии, выпуклые многогранники (если имеется выпуклый многогранник и в непрерывном перемещении из него можно сделать выпуклый, то если сложить количество граней, рёбер и вершин, то рёбра + грани – вершины = 2)

• Эйлер придумывал численные формулы:

  • x^2 + x + 41 – от нуля до 40 будут получаться только простые числа

  • x^2 – 79x + 1601 – от нуля до 78 – всегда будут получаться только простые числа

  • Эйлер доказал, что такой общей формулы для выведения простых чисел быть не может

• Эйлер ввёл не только прямоугольные, но и косоугольные координаты.

Эйлер классифицировал кривые по порядку уравнений, описывающих эти кривые.

• Эйлер считал суммы рядов и придумывал формулы по улучшению сходимости рядов.

• Эйлер открыл ряд новых видов рядов (ряды Фурье). Ряды Фурье называются в честь Фурье, потому что он активно использовал их в исследовании уравнений теплопроводности. (аналогично – правила Лопиталя, придумал Бернули) (аналогично – условия Коши-Риммана придумал Эйлер-Даламбер)

Эйлер разложил тригонометрические функции в ряд Фурье.

• Доказал теорему Ферма для n = 4.

• Когда Эйлер выводил формулу Эйлера для комплексных чисел, он использовал формулу Муавра.

Англичанин Кондорсе сказал, что «Леонард Эйлер кончил вычислять и умер» (т.к. Эйлер умер за рабочим столом)

1. Лобачевский Николай Иванович (1792 – 1855 гг.)

Когда на науку поставили Сперанского – составили закон, что нельзя получить повышение по чину, если не получил определённого образования и не сдал экзамена на чин. И так уж получилось, что Лобачевский начал свою карьеру с того, что обучал детей на сдачу экзамена на чин.

Николай Иванович Лобачевский (то ли в декабре 1792-го, то ли в ноябре 1793-го) – 1855 год.

Биография:

Родился в нижнем Новгороде, потом учился в Казанской гимназии, а потом в Казанском университете.

Ему повезло, т.к. в университете как раз появились хорошие зарубежные специалисты (напр., Бартельс (он был хорошим преподавателем и знаком был с Гауссом по «детским играм»))

У студента Лобачевского был резвый характер, много раз его обвиняли в вольнодумстве, не богоугодном поведении, … а вот Бартельс его защищал, и не позволил выгнать.

Лобачевский уже в 1816 году стал профессором.