2016 Конспект (3 поток) (avasite) (1185939), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Потихоньку люди развивались, вели торговлю, строили дома, храмы, …

Чеканились деньги (медь с бронзой уступали место железу)

Строились корабли, которыми нужно уметь управлять.

Появлялись удобные алфавиты.

Появлялись ремесленники (профессионалы в своём деле), учёные люди (могли объяснить многое), …

В Европе начало развиваться промышленное производство (стекло, руды, порох, книгопечатание, создание часовых механизмов (сначала маятниковых, потом пружинных, часы с боем))

Духовные служители были обычно центром науки.

Люди начали интересоваться не только «как », но и «почему ».

Уровень определений того периода:

• Точка – то, что не имеет частей.

• Линия – длинна без ширины.

• Куб – 6-ти угольник, ограниченный равными квадратами.

Многие величины могли быть выражены лишь геометрически, например, геометрическое представление квадратных корней.

Пример использования математики на практике:

Ещё в 6-м веке до н.э. некий Эфполин должен прорыть тоннель на острове Самос через гору Кастро. Вход и выход должны были быть в определённых местах. (эту Историю описывал Герон, хотя жил он 700 лет позже)

Делалось это за счёт описанного многоугольника вокруг горы, из прямых параллельных и вертикальных горизонту.

После этого он суммировал все эти расстояния и вычислял сдвиг одной точки относительно другой, после этого он отмерял назад подобный треугольник, и копал после этого напрямую.

Тоннель - 1000 метров, ошибся на 1%. Тоннель до сих пор существует и там водят экскурсии.

1. Вопрос бесконечно малых и больших

Проблемы вычисления площадей, объёмов, длин, рано или поздно приводили к вопросам бесконечности (бесконечное суммирование бесконечно малых величин, бесконечное вычитание, …)

Возникали вопросы – существует ли бесконечность.

Понятия предела – не было.

Даже сейчас философы говорят о 2-х бесконечностях:

• Актуальная (задана и чувствуется)

• Потенциальная (та, которая строится)

Аристотель обсуждал их обоих и отрицал их обоих.

Есть ли мера, с помощью которой можно сравнить 2 различных геометрических объекта?

Но тут вдруг доказывается, что диагональ квадрата не соизмерима не с одной из его сторон. Оказалось, что возникло несоответствие понятия числа (то, что можно представить в виде целого или в худшем случае несократимой дроби) и окружающего мира, т.е. чисел оказалось меньше, чем множество геометрических представлений. Меру так и не смогли найти.

Предлагались различные выходы, например:

Протогор предложил оставить в математике только то, что можно померять (выкинуть понятие бесконечно малых, касательных, …)

1. Фалес Мелецкий (624 – 547 гг. до н.э.)

Фалес Мелецкий (624 – 547 гг. до н.э.) (это очень точные даты!) – был «учёным человеком» (многое мог объяснить)

Фалес был купцом (причём не только спекулянт), а также интересовался фактами и доказывал их.

Фалес – материалист, но не философ.

Что не очень удивляло современников, но это феноменально:

• Диаметр делит окружность пополам.

• В равностороннем треугольнике углы равны.

• Вертикальные углы равны.

• Равенство треугольников по стороне и 2-м углам.

• Теорема Фалеса. Параллельные прямые пересекаясь отсекают пропорциональные части.

Что удивляло современников:

• Он успешно предсказывал затмение солнца

• Он успешно мерял высоту пирамиды по отбрасываемой ею тени

• Он определял расстояние до корабля в море. (допустим берег ровный, допустим стали напротив корабля, отойдём в сторону на расстояние и поставим столбик, потом ещё отойдём и начнём двигаться перпендикулярно берегу, пока корабль не встал в створе с колышком)

1. Пифагор Самосский (580 гг. – 500 гг. до н.э.)

Основал первую школу. (носит религиозно-мистический характер)

«всё есть число и всё есть из числа» - Пифагор считал, что в основе всего лежит число. Пифагор был сторонник чистой математики (не пачкайте чистую математику её практическими приложениями) (Архимед таким не был).

Пифагор – философ

Математика. Числа:

• Некоторым отдельным числам придавался свой характер (тетрис – всё состоит из 4-х (и музыка, …))

• Сами числа – это не просто чётные и нечётные.

  • Совершенное число – число состоящие из суммы своих множителей (например, 6 = 1*2*3, 28, 496, …).

  • Дружественные числа – множители одного в сумме дают другое число (например, 220 -> 284, 284 -> 220)

• Треугольные числа 1+2+3+…+n = n*(n+1)/2

• Квадратные числа 1+3+5+…+(2n-1) = (2n-1 +1) * n/2 = n*n

• Теорема Пифагора (пифагорова тройка) x^2 + y^2 = x^2

Математика. Геометрия:

Геометрические методы должны быть основаны лишь на циркуле и линейке.

• Удвоение куба – построение ребра куба, площадь которого вдвое больше данного куба

(Первым – был Декарт, который высказал гипотезу, что задача не решаема, потом Ванцель в 18xx году доказал это (т.к. там было сложное тригонометрическое уравнение))

• Квадратура круга – как построить квадрат с той же площадью, что и круг. (Ванцель показал, что это невозможно)

• Трисекция угла - поделить произвольный угол на три равные части (Ванцель показал, что это невозможно).

• Построить квадрат равновеликий площади данного треугольника.

Из квадратуры круга вышел вопрос – как криволинейные фигуры приближать прямыми отрезками

1. Натурфилософские школы древней Греции

Милетская школа, пифагорейцы.

1. Демокрит (460 - 370 гг. до н.э.)

Философия:

• Предложил атомистическую теорию (считал, что любой объект можно разложить на мельчайшие части, тело на плоскости, плоскости на тончайшие прямые, прямые на точки, точки – являлись атомами, что делать с ними – не ясно).

• Занимался логикой, астрономией (каждый этим занимался), музыкой, космологией, оптикой, искусством, педагогикой. Демокрит пытался всё свести к математике.

Математика:

• Пытался вычислять площади различных фигур (ему помогал Евдокс). Пытался одним из первых положить в основу математики аксиоматику.

• Когда он начал говорить о построении бесконечно малых величин, и тут появился Зенон

Зенон говорил – что пытаться совместить бесконечно малые величины бесконечно большое число раз, приводит к противоречию (отсюда – апории Зенона).

• Пример апории Зенона: дихотомия (полёт стрелы) – из одной точки не попасть в другую, т.к. чтобы это сделать – нужно пройти половину, потом ещё половину, …

• Для каждой фигуры нужно было заново доказывать предел её площади.

1. Платон (400 гг. до н.э.)

Над входом в академию Платона висела надпись: «Не знающий геометрию да не войдёт сюда»

Понятие предельного перехода впервые появилось у Платона

1. Аристотель (350 гг. до н.э.)

Аристотель ученик Платона (его взгляды господствовали в течении 2000 лет)

• Пытался активно пользоваться понятием бесконечности, как актуальной, так и потенциальной.

• Много внимания уделял логике.

• Аристотель придерживался троичной логики.

• Ввёл понятия «аналогия», «индукция», «дедукция».

1. Математики-философы

1. Гиппократ Хиосский (5 век до н.э.)

Математика:

• первым построил луночки (??? что это?), площади которых равнялись площадям криволинейных фигур (например, треугольника)

• Первым начал строить стройную теорию математики, пытался сформулировать «начала математики». Но его работы до нас не дошли.

1. Евклид (300 гг. до н.э.)

Качества:

• Евклид не только собрал очень многое, но и многое придумал сам (например, НОД – наибольший общий делитель)

• Евклид был способен просто объяснять сложные вещи.

• Евклид - первый, кто предложил стройную систему (под названием «Начала») (система не сохранилась)

!!!??? <я много пропустить в начале новой лекции> !!!???

Евклид попытался построить стройную математическую систему, которая бы базировалась на некоторых незыблемых начальных сведениях, а всё остальное выводилось бы из этого, - система «Начала».

Вся система Начал строилась на 3-х книгах.

Книга 1 (первые 6 томов посвящены планиметрии: аксиомы, постулаты, определения и сами доказательства)

1. Действия над отрезками, углами, свойства прямоугольников, треугольников, параллелограммов, сравнение площадей, теорема Пифагора.

2. Основы геометрической алгебры

3. Свойства хорд, касательных, окружности, вписанных углов, центральных углов, …

4. Свойства правильных прямоугольников (как вписанных, так и описанных)

5. Построение правильных 3-х, 4-х, 5-ти, 6-ти и 15-ти угольников

Эта задача была очень сложная для людей многие сотни лет.

Общая теория отношений и величин. Доказываются свойства (в виде геометрической алгебры): если a/b = c/d, и b/k=d/l, то a/k=c/l

1. Теорема Фалеса. Если сторону угла рассечь параллельными прямыми, то отрезки пропорциональны.

Книга 2

7-9) Отношения площадей треугольников с общей высотой

О подобии фигур

A*x+-b/c*x*x = S – решается через геометрический метод

Теория чисел (7-9 глава).

Доказательство того, что простых чисел бесконечно много (умножить все простые числа и добавить единичку).

Совершенное число – число, у которых сумма его делителей равно самому числу.

Евклид доказывает, что если число S= сумма по K от 0 до n, где 2^k – простое, то S*2^n – совершенное. ??? формулировка с ошибкой

Доказывается лишь в одну сторону (в обратную до сих пор не доказано)

1. Доказывается 25 видов квадратных иррациональностей – что это ???

Лемма исчерпывания - ??????

Способы получения троек пифагоровых чисел.

1. построение правильных многогранников

тетраэдр, куб, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр и доказательство, что других нету

11-12) Стереометрия

Теоремы о многогранных углах

Отношение объёмов параллелограммов и призм.

Способ получения отношения объёмов призм, конусов, цилиндров.

Площади кругов относятся как квадратный диаметр (но нету никакого пи!)

Недостатки книги:

• Все доказательства – геометрические. Все величины представлены, как отрезки, что сильно усложняет доказательства, средства построения только циркуль и линейка, поэтому нету вычислительных методов, нету конических сечений, …

• Изложение идёт тяжелейшим геометрическим языком.

• Система доказательств:

  • При доказательстве утверждений в современном мире используются как анализ, так и синтез.

    • анализ – доказательство придумываем от задачи к чему-то очевидному

    • синтез – доказательство от каких-то странных очевидных мест, после чего идём шаг за шагом к условию

  • Евклид пользовал только синтез, отсутствовал анализ.

• Ни в одной из книг начал нету ничего о длине окружности, а значит и о числе пи.

Переводов Начал – крайне много – возможно 2-я по популярности книга после библии

В России первое издание Начал появилось в 1739 году.

Кардано говорил, что: «это на столько сложно, что это за пределами человеческих способностей и наверняка без божественного провидения было невозможно».

Аксиома Евклида – факт, который не требует доказательства. Отношение, которое вводит равенство и не равенство сравниваемых величин.

Примеры аксиом:

1. Если к равному добавить равное – получим равное, если отнять равное – получим равное.

2. Сообщающееся друг с другом – …

3. Целое – больше части.

4. Определение - …

Постулаты Евклида – говорят о возможности построений

1. Через 2 точки можно провести прямую,

2. Любой отрезок можно продолжить неограниченно.

3. Из всякого центра любым радиусом можно провести окружность

4. Все прямые углы равны

5. Если 2 прямые пересечь 3-й прямой и сумма 2-х внутренних односторонних углов меньше прямых углов, то эти прямые пересекутся там, где это имеет место

1. Архимед (287 – 212 гг. до н.э.)

Биография:

• Год рождения вычисляют по тому, что на момент смерти ему было около 75 лет.

• Родился в семье известного учёного – астронома Фидия

• Жизнь Архимеда – достаточно плохо известна. Существует много вариаций.

• Архимед родственник царя Гиерона (и даже дружили, в частности Архимед часто удивлял своими механическими приспособлениями).

• Обычно об Архимеде пишут, как о великом механике, физике, астрономе и меньше – о математике.

Качества:

• Архимед был прикладным математиком.

• Архимед гнался не за публикациями, а писал письма друзьям, которые могли его понять. (писал о самом разном)

• Для Архимеда была большая проблема счёта (в то время не было удобной системы счисления) (в лучшем случае была вавилонская система без нуля, у греков была алфавитная непозиционная система)

История защиты Серакузы:

Характеристики

Список файлов лекций