Лекции по линейной алгебре, страница 7

Теорема 5. Все подобные квадратные матрицы одной и той же размерности имеют одинаковый спектр.

Доказательство. Пусть матрицы и подобны. Тогда существует невырожденная матрица такая что Поэтому Используя теорему об определителе произведения матриц, отсюда получаем, что

Учитывая, что получаем отсюда равенство которое показывает, что характеристические уравнения матриц и совпадают, поэтому они имею одинаковый спектр. Теорема доказана.

Лекция 7. Евклидовы и метрические пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Существование ортонормированного базиса

В теории квадратичных форм важную роль играют евклидовы пространства и самосопряжённый оператор. Перейдем к описанию этих понятий.

1. Евклидовы и метрические пространства

Пусть линейное пространство над множеством действительных чисел

Определение 1. Пространство называется евклидовым пространством, если в нем для любой пары векторов и определено число называемое скалярным произведением и , удовлетворяющее следующим свойствам:

1. П.О. 2. С. 3. Л.

(здесь произвольные векторы, произвольные числа).

Например, обычное скалярное произведение в геометрическом пространстве трехмерных векторов удовлетворяют свойствам 1-3, поэтому - евклидово пространство. Очевидно, что пространство ( мерных векторов-столбцов) также является евклидовым пространством со скалярным произведением

также является евклидовым пространством. Обычно евклидовы пространства обозначают буквой и мы будем пользоваться этим обозначением.

Если линейное пространство над множеством комплексных чисел и если в нем введено скалярное произведение удовлетворяющее аксиоме 1 и аксиомам

то пространство называется унитарным пространством (здесь черта вверху означает комплексное сопряжение: ). Мы будем рассматривать в основном евклидовы пространства. Однако все приводимые ниже понятия и утверждения почти дословно переносятся и на унитарные пространства.

Определение 2. Два вектора называются ортогональными, если

Имеет место следующее утверждение: любая система попарно ортогональных векторов в линейно независима. Действительно, пусть . Умножая это равенство скалярно на будем иметь

Таким образом, равенство выполняется тогда и только тогда, когда все числа одновременно равны нулю. Это означает, что векторы линейно независимы.

Определение 3. Базис пространства называется ортонормированным, если

Например, базис в пространстве является ортонормированным.

Введем теперь в рассмотрение понятие метрического пространства.

Определение 4. Линейное пространство называется метрическим пространством, если в нем для любых векторов и определено число называемое расстоянием между и (или метрикой в ), обладающее следующими свойствами:

4. П.О. 5. С. 6. Т.

( произвольные векторы из пространства ).

Любое евклидово пространство является одновременно и метрическим пространством с метрикой (проверьте выполнение свойств 4-6). Заметим, что число называется длиной (или нормой) вектора Так что в евклидовом пространстве

В любом евклидовом пространстве имеет место неравенство Коши-Буняковского:

Отсюда следует, что имеет смысл называемое косинусом угла между векторами и

Теорема 1. В любом евклидовом пространстве размерности существует ортонормированный базис . Координаты вектора в этом базисе имеют вид

Доказательство первой части этой теоремы проводить не будем. Перейдем ко второй части. Имеем . Умножая скалярно это равенство на будем иметь

Теорема доказана.

Введем следующее важное понятие.

Определение 5. Оператор действующий в унитарном (в частности, в евклидовом) пространстве называется сопряженным к оператору если для всех

имеет место равенство Обозначение:

Теорема 2. В любом ортонормированном базисе унитарного пространства матрица оператора является сопряженной по отношению к матрице оператора т.е. если матрица оператора то матрицей оператора будет матрица

И, наконец, заметим, что квадратная матрица называется симметрической, т.е. Нетрудно показать, что все собственные значения симметрической матрицы действительны; при этом и отвечающие им собственные векторы также можно выбрать действительными.

2. Ортогональные матрицы и ортогональные преобразования

Матрица ( -й столбец) называется ортогональной, если ее столбцы образуют ортонормированную систему, т.е.

Например, матрица является ортогональной.

Теорема 3. Для того чтобы матрица была ортогональной, необходимо и достаточно, чтобы

Следствие 1. Ортогональная матрица обладает следующими свойствами:

1) 2) матрицы ортогональные. Произведение двух ортогональных матриц есть ортогональная матрица. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису является ортогональной матрицей.

Определение 6. Линейное преобразование (оператор) называется ортогональным, если в некотором ортонормированном базисе пространства его матрица является ортогональной.

Теорема 3. Имеют место следующие свойства ортогональных преобразований:

1. Преобразование ортогонально тогда и только тогда, когда оно ортонормированный базис переводит в ортонормированный.

2. Ортогональное преобразование не изменяет скалярного преобразования, т.е.

3. При ортогональном преобразовании не изменяется длина (норма) вектора, а так же угол между векторами, т.е.

4. Произведение двух ортогональных преобразований есть ортогональное преобразование.

2. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Квадратичной формой действительных переменных называется выражение вида

где числа (коэффициенты квадратичной формы). При этом матрица называется матрицей квадратичной формы (заметим, что она является симметрической: Используя эту матрицу, можно записать квадратичную форму кратко так: где вектор-столбец. Определитель матрицы и её ранг называются соответственно определителем и рангом квадратичной формы.

Посмотрим, как преобразуется квадратичная форма при линейном преобразовании. Пусть дана квадратичная форма . Сделаем в ней преобразование будем иметь

Если матрица является невырожденной, то матрицы и называются конгруэнтыми. Так же называются и соответствующие квадратичные квадратичные формы. Нетрудно показать, что определители конгруэнтных матриц имеют одинаковые знаки, а сами конгруэнтные матрицы имеют одинаковые ранги.

Теорема 4. Любую действительную квадратичную форму ортогональным линейным преобразованием можно привести к каноническому виду

При этом собственные значения матрицы столбцы матрицы являются собственными векторами матрицы соответствующими этим собственным значениям, причем они образуют ортонормированный базис в пространстве

Теорема 5. Любую действительную квадратичную форму можно линейным невырожденным преобразованием привести к нормальному виду⁵

где ранг квадратичной формы. При этом число положительных и число отрицательных

квадратов в (1) не зависит от выбора преобразования (закон инерции квадратичных форм).

Следствие 2. Любая действительная симметрическая матрица ортогонально-подобна диагональной матрице, т.е. где ортогональная матрица, При этом спектр матрицы а столбцы являются собственными векторами матрицы

Заметим, что канонический и нормальный вид квадратичной формы определяются неоднозначно. Однако число положительных и число отрицательных квадратов во всех видах остаются неизменными (закон инерции квадратичных форм).

Пример 1. Привести к каноническому и нормальному виду квадратичную форму

Решение. Квадратичную форму можно записать в виде

Находим собственные значения матрицы

Вычисляем собственные векторы матрицы для чего решаем систему при Получим собственные векторы

образующие базис в Он является ортогональным базисом в но не ортонормированным. Нормируем собственные векторы, поделив их на их длины:

Теперь преобразующая матрица и ее обратная имеют вид

Следовательно, преобразование приводит исходную квадратичную форму к каноническому виду . Сделав еще одно преобразование приведем квадратичную форму к нормальному виду

Дадим еще один способ приведения квадратичной формы к нормальному виду, называемый методом Лагранжа. Продемонстрируем его на том же примере Назовем главной переменной ту, которая входит в квадратичную форму в квадрате и в первой степени.

Это переменная Выделяем по ней полный квадрат:

Делаем замены переменных: Будем иметь Это и есть нормальный вид квадратичной формы. Чтобы найти преобразование приводящее квадратичную форму к нормальной форме, найдем обратную замену переменных:

Следовательно, матрица преобразования к нормальному виду будет такой:

Действительно, .