Лекции по линейной алгебре

1семестр. Линейная алгебра

В каждой лекции все формулы, определения и теоремы нумеруются так же, как и в предыдущей лекции, с цифры 1 (т.е. нумерация не продолжается от лекции к лекции). Это удобно при чтении лекций.

Лекция 1. Пространство геометрических векторов. Линейные операции над векторами. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов, их вычисление в координатной форме и геометрический смысл

1. Векторы. Координаты векторов и линейные операции над векторами

Множество всех геометрических векторов в трехмерном пространстве обозначают буквой а множество всех векторов на плоскости – буквой Ниже все понятия и утверждения формулируютя для пространства Ясно, что они очевидном образом переносятся и на пространство Перейдем к изложению основных понятий.

Определение 1. Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой и конечной точкой причем два вектора считаются р̀авными, если один из них получен из другого параллельным переносом(см. Р1). Длина направленного отрезка называется длиной вектора . Векторы и лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными; если при этом их направления совпадают, то пишут а если они имеют противоположные направления, то пишут Таким образом, Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым (обозначение: ). Считают, что нулевой вектор коллинеарен любому другому вектору и имеет произвольное направление.

Заметим, что векторы обозначаются также малыми латинскими буквами:

Напомним, что осью (в пространстве или на плоскости) называется прямая с выбранной на ней началом (положительным) направлением и масштабом (единицей измерения). Обозначение: При этом каждой точке оси соответствует единственное действительное число , равное расстоянию если и равно если . И обратно: каждому действительному числу соответствует единственная точка на числовой оси такая, что и если и если ( числу соответствует начало оси). Единичный вектор лежащий на оси и направленный так же, как ось, называется ортом оси

Пусть произвольная точка в пространстве ( или на плоскости ). Проведем через плоскость Тогда точка называется проекцией точки на ось (обозначение: ).

Определение 2. Если вектор, то вектор где называется геометрической проекцией вектора на ось (см.Р2) а число

называется просто проекцией вектора на ось и обозначается (обратите внимание на различие в написаниях и ).

В пространстве рассмотрим декартовую систему координат, определяемую осями с ортами соответственно.

Определение 3. Числа называются координатами вектора в декартовой системе координат. Обозначение:

Если начало вектора а конец вектора то =

Орты осей декартовой системы координат имеют следующие координаты:

Определим теперь линейные операции над геометрическими векторами. Выпустим векторы и из общего начала и построим параллелограмм со сторонами и . Пусть диагональ этого параллелограмма.

1. Суммой двух векторов и называется вектор совпадающий с диагональю параллелограмма , построенного указанным образом на векторах и (см.Р3).

2. Разностью векторов и называется такой вектор что Обозначение:

Если векторы и имеют общее начало, то вектор будет совпадать с вектором, выпущенным из конца вектора в конец вектора (см.Р4).

3. Произведением вектора на число называется вектор имеющий длину и направленный так же, как и если и противоположно вектору если

Обозначение: Если же то

Введенные операции над векторами (их называют линейными операциями) обладают свойствами аналогичных операций для чисел (свойства асоциативности, коммутативности, дистрибутивности и т.д.), которые используются при вычислениях. Например,

Из определения коллинеарных векторов вытекает, что

векторы и коллинеарны тогда и толко тогда, когда существует число такое, что

Теперь ясно, что по векторам и можно построить любую их линейную комбинацию

Используя геометрические соображения, легко доказать следующее утверждение.

Теорема 1. Любой вектор может быть разложен в линейную комбинацию ортов причем это разложение единственно, а числа являются

координатами вектора в выбранной декартовой системе координат

Замечание 1. Ниже будет дано определение базиса в и будет показано что орты образуют базис в Кроме того, будет показано, что в существует бесконечное множество базисов. Базис обычно называют стандартным базисом в .

Теорема 1 устанавливает взаимно однозначное соответствие между векторами пространства и упорядочными тройками чисел Именно: каждому вектору

соответствует единственная упорядочная тройка чисел где координаты вектора в базисе и наоборот: каждой упорядочной тройке чисел соответствует единственный вектор Поэтому часто оттождествляют векторы и их координаты и пишут При этом вместо того, чтобы совершать геометрически линейные операции над векторами совершают их аналитически, в координатной форме. Это оправдывается следующим утверждением.

Теорема 2. Пусть векторы и заданы своими координатами: Тогда их линейная комбинация в координатной форме имеет вид

Доказательство. Имеем

поэтому

Теорема доказана.

Используя теорему о диагонали прямоугольного параллелепипеда, легко доказать следующее утверждение.

Теорема 3. Если вектор задан своими координатами в базисе , то его длина вычисляется по формуле

Определение 4. Углом между векторами и называется угол, на который нужно повернуть первый вектор до совпадения со вторым вектором против часовой стрелки. Обозначение:

Проекция вектора на вектор определяется так же, как и проекция вектора на ось.

Проекция вектора на вектор вычисляется по формуле

Числа называются направляющими косинусами вектора Так как и

то поэтому имеет место следующее соотношение между направляющими косинусами вектора : Значит, вектор

= является ортом вектора

Из вытекает следующее утверждение.

Векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны:

2. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов

Дадим определения этих произведений в краткой форме.

а) Скалярное произведение векторов и

б) Векторное произведение векторов и

- есть вектор удовлетворяющий требованиям:

1) 2) 3)тройка правая, т.е. кратчайший поворот от вектора к вектору имеющих общее начало, виден из конца вектора (с тем же началом) совершающимся против часовой стрелки.

в) Смешанное произведение векторов

Введенные операции умножения над векторами обладают свойствами ассоциативности и дистрибутивности. Свойство коммутативности верно лишь для скалярного произведения. При перемене мест сомножителей в векторном произведении изменяется знак (антикоммутативность): То же может произойти и в смешанном произведении. Например, Учитывая свойство антикоммутативности векторного произведения, можно обращаться с введенными произведениями векторов как с обычным произведением чисел. Например,

Здесь учтено, что векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю (здесь и далее вместо пишем просто 0).

Имеют место следующие утверждения, вытекающие из а), б) и с).

Скалярное произведение векторов и равно нулю когда векторы и ортогональны друг другу.

Векторное произведение равно нулю когда векторы и коллинеарны.

Смешанное произведение равно нулю когда векторы , и компланарны (т.е. все они либо лежат в одной плоскости, либо находятся в параллельных плоскостях).

Геометрический смысл: а) модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и ; б) модуль смешанного произведения равен объёму параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Прежде чем дать формулы для вычисления произведений векторов в координатной форме, введем понятие определителей второго и третьего порядков:

Теорема 4. Если векторы и заданы своими координатами в базисе то имеют место формулы: