Лекции по линейной алгебре (1184637), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

3. Кривые второго порядка на плоскости

Множество точек на плоскости⁶ удовлетворяющих уравнению

где не обращаются одновременно в нуль, называется кривой второго порядка на плоскости. Старшие члены в (2) образуют действительную квадратичную форму

с матрицей По теореме 4 ортогональным преобразованием (где матрица из ортонормированных собственных векторов матрицы

) ее можно привести к каноническому виду , где собственные значения матрицы При этом преобразовании исходное уравнение (2) приводится к виду

Применяя метод выделения полного квадрата Лагранжа, преобразуем уравнение (4) к одной из следующих форм (ради удобства записываем эти уравнения в терминах исходных переменных и ):

1. (эллипс с полуосями и )

2. (гипербола с полуосями и )

Рис. 12

3. (парабола)

Рис. 13

Таблица 1. Поверхности второго порядка

Метод сечений. Суть этого метода состоит в том, что одну из переменной в уравнении поверхности фиксируют (например, считают постоянной) и затем смотрят, какая кривая второго порядка получилась в сечении . Например, рассмотрим уравнение двуполостного гиперболоида Зафиксируем здесь переменную После преобразований получим ааааследующее уравнение:

Это уравнение есть уравнение эллипса в плоскости с полуосями

и ,

причем (т.е. все эллипсы должны быть расположены выше плоскости и ниже плоскости Если же в уравнении гиперболоида зафиксировать переменную

то в сечении получим гиперболу

Поступая точно так же с переменной видим, что и в сечениях получаются гиперболы

При непрерывном изменении постоянных совокупность полученных сечений образует поверхность, изображенную в таблице 2 ( третий рисунок снизу (справа).

Таблица 2. Рисунки поверхностей второго порядка

1 Полезно запомнить, что в первый индекс номер строка, а номер столбца, на пересечении которых находится элемент

2 Взаимно однозначное соответствие между двумя множествами, сохраняющее линейные операции между ними, называется линейным изоморфизмом этих множеств.

3 Если оператор линейный, то пишут опуская скобки.

4 В качестве обычно берут множество действительных чисел или множество комплексных чисел

5 Приведение квадратичной формы к виду (1) называют ещё приведением её к главным осям

6 Эту плоскость мы будем обозначать так же, как и множество геометрических векторов, буквой .

46

Характеристики

Список файлов лекций