Лекции по линейной алгебре (1184637), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Теорема 5. Все подобные квадратные матрицы одной и той же размерности имеют одинаковый спектр.
Доказательство. Пусть матрицы и
подобны. Тогда существует невырожденная матрица
такая что
Поэтому
Используя теорему об определителе произведения матриц, отсюда получаем, что
Учитывая, что
получаем отсюда равенство
которое показывает, что характеристические уравнения матриц
и
совпадают, поэтому они имею одинаковый спектр. Теорема доказана.
Лекция 7. Евклидовы и метрические пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Существование ортонормированного базиса
В теории квадратичных форм важную роль играют евклидовы пространства и самосопряжённый оператор. Перейдем к описанию этих понятий.
1. Евклидовы и метрические пространства
Пусть линейное пространство над множеством действительных чисел
Определение 1. Пространство называется евклидовым пространством, если в нем для любой пары векторов
и
определено число
называемое скалярным произведением
и
, удовлетворяющее следующим свойствам:
(здесь произвольные векторы,
произвольные числа).
Например, обычное скалярное произведение в геометрическом пространстве
трехмерных векторов удовлетворяют свойствам 1-3, поэтому
- евклидово пространство. Очевидно, что пространство
(
мерных векторов-столбцов) также является евклидовым пространством со скалярным произведением
также является евклидовым пространством. Обычно евклидовы пространства обозначают буквой и мы будем пользоваться этим обозначением.
Если линейное пространство над множеством комплексных чисел
и если в нем введено скалярное произведение
удовлетворяющее аксиоме 1 и аксиомам
то пространство называется унитарным пространством (здесь черта вверху означает комплексное сопряжение:
). Мы будем рассматривать в основном евклидовы пространства. Однако все приводимые ниже понятия и утверждения почти дословно переносятся и на унитарные пространства.
Определение 2. Два вектора называются ортогональными, если
Имеет место следующее утверждение: любая система попарно ортогональных векторов в
линейно независима. Действительно, пусть
. Умножая это равенство скалярно на
будем иметь
Таким образом, равенство выполняется тогда и только тогда, когда все числа
одновременно равны нулю. Это означает, что векторы
линейно независимы.
Определение 3. Базис пространства
называется ортонормированным, если
Например, базис в пространстве
является ортонормированным.
Введем теперь в рассмотрение понятие метрического пространства.
Определение 4. Линейное пространство называется метрическим пространством, если в нем для любых векторов
и
определено число
называемое расстоянием между
и
(или метрикой в
), обладающее следующими свойствами:
(
произвольные векторы из пространства
).
Любое евклидово пространство является одновременно и метрическим пространством с метрикой
(проверьте выполнение свойств 4-6). Заметим, что число
называется длиной (или нормой) вектора
Так что
в евклидовом пространстве
В любом евклидовом пространстве имеет место неравенство Коши-Буняковского:
Отсюда следует, что имеет смысл называемое косинусом угла между векторами
и
Теорема 1. В любом евклидовом пространстве размерности
существует ортонормированный базис
. Координаты
вектора
в этом базисе имеют вид
Доказательство первой части этой теоремы проводить не будем. Перейдем ко второй части. Имеем . Умножая скалярно это равенство на
будем иметь
Теорема доказана.
Введем следующее важное понятие.
Определение 5. Оператор действующий в унитарном (в частности, в евклидовом) пространстве
называется сопряженным к оператору
если для всех
имеет место равенство
Обозначение:
Теорема 2. В любом ортонормированном базисе унитарного пространства
матрица оператора
является сопряженной по отношению к матрице оператора
т.е. если
матрица оператора
то матрицей оператора
будет матрица
И, наконец, заметим, что квадратная матрица называется симметрической,
т.е.
Нетрудно показать, что все собственные значения симметрической матрицы действительны; при этом и отвечающие им собственные векторы также можно выбрать действительными.
2. Ортогональные матрицы и ортогональные преобразования
Матрица (
-й столбец) называется ортогональной, если ее столбцы
образуют ортонормированную систему, т.е.
Например, матрица
является ортогональной.
Теорема 3. Для того чтобы матрица была ортогональной, необходимо и достаточно, чтобы
Следствие 1. Ортогональная матрица обладает следующими свойствами:
1) 2) матрицы
ортогональные. Произведение двух ортогональных матриц есть ортогональная матрица. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису является ортогональной матрицей.
Определение 6. Линейное преобразование (оператор) называется ортогональным, если в некотором ортонормированном базисе
пространства
его матрица является ортогональной.
Теорема 3. Имеют место следующие свойства ортогональных преобразований:
1. Преобразование ортогонально тогда и только тогда, когда оно ортонормированный базис переводит в ортонормированный.
2. Ортогональное преобразование не изменяет скалярного преобразования, т.е.
3. При ортогональном преобразовании не изменяется длина (норма) вектора, а так же угол между векторами, т.е.
4. Произведение двух ортогональных преобразований есть ортогональное преобразование.
2. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Квадратичной формой действительных переменных называется выражение вида
где
числа (коэффициенты квадратичной формы). При этом матрица
называется матрицей квадратичной формы (заметим, что она является симметрической:
Используя эту матрицу, можно записать квадратичную форму кратко так:
где
вектор-столбец. Определитель матрицы
и её ранг называются соответственно определителем и рангом квадратичной формы.
Посмотрим, как преобразуется квадратичная форма при линейном преобразовании. Пусть дана квадратичная форма . Сделаем в ней преобразование
будем иметь
Если матрица
является невырожденной, то матрицы
и
называются конгруэнтыми. Так же называются и соответствующие квадратичные квадратичные формы. Нетрудно показать, что определители конгруэнтных матриц имеют одинаковые знаки, а сами конгруэнтные матрицы имеют одинаковые ранги.
Теорема 4. Любую действительную квадратичную форму ортогональным линейным преобразованием
можно привести к каноническому виду
При этом собственные значения матрицы
столбцы
матрицы
являются собственными векторами матрицы
соответствующими этим собственным значениям, причем они образуют ортонормированный базис в пространстве
Теорема 5. Любую действительную квадратичную форму можно линейным невырожденным преобразованием
привести к нормальному виду5
где ранг квадратичной формы. При этом число положительных и число отрицательных
квадратов в (1) не зависит от выбора преобразования (закон инерции квадратичных форм).
Следствие 2. Любая действительная симметрическая матрица ортогонально-подобна диагональной матрице, т.е.
где
ортогональная матрица,
При этом
спектр матрицы
а столбцы
являются собственными векторами матрицы
Заметим, что канонический и нормальный вид квадратичной формы определяются неоднозначно. Однако число положительных и число отрицательных квадратов во всех видах остаются неизменными (закон инерции квадратичных форм).
Пример 1. Привести к каноническому и нормальному виду квадратичную форму
Решение. Квадратичную форму можно записать в виде
Находим собственные значения матрицы
Вычисляем собственные векторы матрицы для чего решаем систему
при
Получим собственные векторы
образующие базис в Он является ортогональным базисом в
но не ортонормированным. Нормируем собственные векторы, поделив их на их длины:
Теперь преобразующая матрица и ее обратная имеют вид
Следовательно, преобразование приводит исходную квадратичную форму к каноническому виду
. Сделав еще одно преобразование
приведем квадратичную форму к нормальному виду
Дадим еще один способ приведения квадратичной формы к нормальному виду, называемый методом Лагранжа. Продемонстрируем его на том же примере Назовем главной переменной ту, которая входит в квадратичную форму в квадрате и в первой степени.
Это переменная Выделяем по ней полный квадрат:
Делаем замены переменных: Будем иметь
Это и есть нормальный вид квадратичной формы. Чтобы найти преобразование
приводящее квадратичную форму
к нормальной форме, найдем обратную замену переменных:
Следовательно, матрица преобразования к нормальному виду будет такой: