Главная » Просмотр файлов » Лекции по линейной алгебре

Лекции по линейной алгебре (1184637), страница 2

Файл №1184637 Лекции по линейной алгебре (Лекции по линейной алгебре) 2 страницаЛекции по линейной алгебре (1184637) страница 22020-08-21СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

а) (скалярное произведение;)

б) (векторное произведение);

в) (смешанное произведение).

Доказательство проведем лишь для скалярного произведения. Имеем

Учитывая, что векторы попарно ортогональны, получаем, что в этой сумме только слагаемые с множителями не равны нулю; все другие слагаемые равны нулю. Значит, имеет место формула Теорема доказана.







Лекция 2. Плоскость и прямая в пространстве



Сначала заметим, что множество всех точек удовлетворяющих уравнению (если его можно разрешить относительно хотя бы одной из переменных ) является уравнением некоторой поверхности . Это означает, что любая точка

удовлетворяет уравнению и, напротив, если то она не удовлетворяет этому уравнению.

1. Общее уравнение плоскости и уравнение в отрезках

П усть в пространстве задана плоскость и пусть фиксированная точка, а произвольная (текущая) точка этой плоскости. Посмотрим, какому уравнению будет подчинена произвольная точка плоскости Пусть вектор нормали к плоскости Так как то скалярное произведение

Мы получили

уравнение плоскости, проходящей через фиксированную точку с вектором нормали (1)

Раскроем в (1) скобки и обозначим Получим

общее уравнение плоскости:
Имеет место следующее очевидное утверждение.

Теорема 1. Любое линейное уравнение (2) задаёт в пространстве плоскость с вектором нормали И обратно: любая плоскость в описывается линейным уравнением (2).

Если числа не равны нулю, то уравнение называют “уравнением плоскости в отрезках” (впредь кавычки будем опускать). При этом являются величинами (с учётом знака) отрезков, отсекаемых плоскостью от осей соответст-венно. Эта плоскость проходит через точки факт, удобный при изображении этой плоскости в пространстве. Из общего уравнения (2) плоскости легко получить ее уравнение в отрезках: (если, конечно, числа, записанные в знаменателях, существуют).

2. Особые случаи расположения плоскости в пространстве

Следующие утверждения проверяются непосредственно.

Если в общем уравнении (2) плоскости отсутствует переменная то эта плоскость параллельна оси Аналогичное утверждение справедливо относительно и других переменных

Если в общем уравнении (2) отсутствует свободный член то соответствующая плоскость проходит через начало координат

Простейшие уравнения являются уравнениями координатных плоскостей соответственно.

3. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Угол между двумя плоскостями

Пусть даны две плоскости Эти плоскости будут параллельны или перпендикулярны друг другу, если будут параллельны (соответственно перпендикулярны) их нормальные векторы Вспоминая условия коллинеарности и перпендикулярности векторов, получаем следующие утверждения.

Замечание 1. Если то плоскости и совпадают.

Углом между двумя плоскостями называется двугранный угол между ними. Таких углов четыре, вертикальные из них попарно равны. Ясно, что один из них равен углу между нормалями и Используя скалярное произведение между векторами, найдем этот угол:

Другой двугранный угол будет равен

4. Решение различных задач на плоскость

Используя скалярное, векторное и смешанное произведение векторов, легко обосновать следующие утверждения.

Уравнение плоскости, проходящей через две заданные точки перпендикулярно плоскости , имеет вид

Уравнение плоскости, проходящей через две заданные точки перпендикулярно двум плоскостям имеет вид

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки не лежащие на одной прямой, имеет вид

Действительно, последнее равенство есть условие компланарности векторов а,значит, их смешанное произведение что и записано с помощью определителя выше.

5. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости

Пусть дано общее уравнение плоскости

Определение 1. Число где знак берется противоположным знаку

свободного члена называется нормирующим множителем плоскости Уравнение

называется нормальным уравнением плоскости

Нетрудно доказать следующее утверждение.

Теорема 2. Если фиксированная точка, то её расстояние до плоскости вычисляется по формуле т.е. равно по модулю результату подстановки координат точки в левую часть нормального уравнения плоскости

Пример 1. Найти расстояние от точки до плоскости

Решение. Нормирующим множителем для данной плоскости будет

Он противоположен по знаку свободному члену Значит, нормальное уравнение плоскости будет таким: а расстояние от точки до плоскости будет равным



Замечание 2. Величина называется отклонением точки от плоскости Можно показать, что если то точка и начало координат находятся по одну сторону от плоскости если же то точки и находятся по разные стороны от плоскости если же то Заметим также, что часто нормальное уравнение плоскости записывают в виде

где Тогда направляющие косинусы нормали к плоскости.

6. Прямая в пространстве

Прямой в пространстве называют линию пересечения двух непараллельных плоскостей. Значит, прямая в пространстве задается системой уравнений

при условии отсутствия пропорциональности между коэффициентами линейных уравнений, входящих в систему (3). Однако наиболее распространенным уравнением прямой являются каноническое уравнение. Выведем его

Определение 2. Вектор параллельный прямой называется направляющим вектором этой прямой.

Теорема 3. Если фиксированная точка прямой а направляющий вектор этой прямой, то любая точка связана уравнением

Уравнение (4) называют каноническим уравнением прямой

Доказательство. Вектор коллинеарен вектору = а, значит, их координаты пропорциональны, т.е. имеют место равенства (4). Если же точка не лежит на прямой то векторы

и не коллинеарны, поэтому равенства (4) не имеют места. Теорема доказана.

Если приравнять равные отношения (4) коэффициенту пропорциональности то получим уравнения

задающие прямую параметрически (здесь параметр). Изменяя мы получим все точки

прямой (например, при получает точку ).

Как получить из системы уравнений (3) канонические уравнения прямой ? Пусть произвольная точка, удовлетворяющая системе (3) (ее можно получить, например, фиксируя произвольным образом координату , а затем решить полученную систему уравнений с двумя неизвестными). Далее, векторы и перпендикулярно соответствующим плоскостям в (3), а, значит, векторное призведение параллельно их общей прямой – линии их пересечения. Отсюда следует, что направляющий вектор прямой . Поскольку

то кононическим уравнением прямой будет уравнение

Ясно, что углом между двумя прямыми и (точнее, одним из них; обычно берут острый угол) является угол между их направляющими векторами, поэтому

где направляющий вектор прямой а направляющий вектор прямой При этом если то угол между прямыми будет острый. Из последней формулы получаем следующие утверждения.

Используя полученные сведения о прямой и плоскости, можно без труда решать различные задачи аналитической геометрии. Решим, например, задачу о нахождении точки пересечения прямой (5) и плоскости (2). Подставляя равенства (5) в уравнение (2), получим уравнение решая которое, найдем параметр при котором происходит пересечение прямой и плоскости. Подставляя его в (5), найдем точку пересечения







Лекция 3. Матрицы. Операции над матрицами. Матрицы специального вида. Квадратные матрицы и их определители. Свойства определителей. Обратные матрица и условие ее существования. Ранг матрицы

В теории систем линейных уравнений, в дифференциальных уравнениях и др. математичеких объектах большую роль играют матрицы – таблицы чисел, с помощью которых можно не только компактно записать системы уравнений, но и, производя над ними определенные действия, решать сами уравнения. Перейдем к изложению основных понятий и утверждений, связанным с матрицами.

1. Матрицы и действия над ними. Матрицы специального вида

Определение 1. Матрицей размера называют таблицу чисел

состоящую из строк и столбцов При этом числа1 называются элементами матрицы Матрицу называют квадратной матрицей размерности если число ее строк совпадает с числом столбцов Часто матрицу обозначают так: Желая указать размеры матрицы, будем писать а саму матрицу будем называть матрицей.

Действия сложения и вычитания над матрицами одинакового размера определяются равенствами:

(т.е. при сложении или вычитании матриц складываются (соответственно вычитаются) их элементы, находящиеся на одинаковых местах).

Характеристики

Тип файла
Документ
Размер
4,66 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6376
Авторов
на СтудИзбе
309
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее