Лекции по линейной алгебре, страница 8
Описание файла
Документ из архива "Лекции по линейной алгебре", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве НИУ «МЭИ» . Не смотря на прямую связь этого архива с НИУ «МЭИ» , его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "Лекции по линейной алгебре"
Текст 8 страницы из документа "Лекции по линейной алгебре"
3. Кривые второго порядка на плоскости
Множество точек на плоскости6 удовлетворяющих уравнению
где не обращаются одновременно в нуль, называется кривой второго порядка на плоскости. Старшие члены в (2) образуют действительную квадратичную форму
с матрицей По теореме 4 ортогональным преобразованием (где матрица из ортонормированных собственных векторов матрицы
) ее можно привести к каноническому виду , где собственные значения матрицы При этом преобразовании исходное уравнение (2) приводится к виду
Применяя метод выделения полного квадрата Лагранжа, преобразуем уравнение (4) к одной из следующих форм (ради удобства записываем эти уравнения в терминах исходных переменных и ):
Рис. 12
Рис. 13
Таблица 1. Поверхности второго порядка
Метод сечений. Суть этого метода состоит в том, что одну из переменной в уравнении поверхности фиксируют (например, считают постоянной) и затем смотрят, какая кривая второго порядка получилась в сечении . Например, рассмотрим уравнение двуполостного гиперболоида Зафиксируем здесь переменную После преобразований получим ааааследующее уравнение:
Это уравнение есть уравнение эллипса в плоскости с полуосями
причем (т.е. все эллипсы должны быть расположены выше плоскости и ниже плоскости Если же в уравнении гиперболоида зафиксировать переменную
то в сечении получим гиперболу
Поступая точно так же с переменной видим, что и в сечениях получаются гиперболы
При непрерывном изменении постоянных совокупность полученных сечений образует поверхность, изображенную в таблице 2 ( третий рисунок снизу (справа).
Таблица 2. Рисунки поверхностей второго порядка
1 Полезно запомнить, что в первый индекс номер строка, а номер столбца, на пересечении которых находится элемент
2 Взаимно однозначное соответствие между двумя множествами, сохраняющее линейные операции между ними, называется линейным изоморфизмом этих множеств.
3 Если оператор линейный, то пишут опуская скобки.
4 В качестве обычно берут множество действительных чисел или множество комплексных чисел
5 Приведение квадратичной формы к виду (1) называют ещё приведением её к главным осям
6 Эту плоскость мы будем обозначать так же, как и множество геометрических векторов, буквой .
46