Лекции по линейной алгебре, страница 6

В предыдущей лекции были определены две алгебры: алгебра линейных операторов и алгебра матриц. Было отмечено, что обе эти алгебры взаимосвязаны между собой и что при решении операторных уравнений можно пользоваться соответствующими им матричными уравнениями. Однако не был затронут вопрос об изменении матрицы оператора и координат вектора при переходе к новому базису. Восполним этот пробел.

1. Изменение координат вектора и матрицы оператора при переходе к новому базису

Пусть линейный оператор , действует из пространства в себя и пусть в линейном пространстве выбраны два базиса: и Разложим “новые” базисные вектора в линейные комбинации “старых” базисных векторов :

Стоящая здесь матрица м столбцом которой является координатный столбец го базисного вектора в “старом” базисе называется матрицей перехода от “старого”базиса к “новому“. Если теперь координаты вектора в “старом” базисе а координаты того же вектора в “новом” базисе то имеет место равенство

Так как разложение по базису единственно, то отсюда следует, что

Получен следующий результат.

Теорема 1. Координаты вектора в базисе и координаты того же вектора в базисе связаны соотношениями (2), где матрица перехода от “старого”базиса к “новому“ .

Посмотрим теперь, как связаны между собой матрицы и одного и того же оператора в различных базисах и пространства Матрицы и определяются равенствами Пусть Это равенство в базисе равносильно матричному равенству

а в базисе матричному равенству ( здесь приняты те же обозначения, что и в (1)). Используя теорему (1), будем иметь

так как столбец произвольный, то отсюда получаем равенство

Доказан следующий результат.

Теорема 2. Если матрица оператора в базисе а матрица того же оператора в базисе то

Замечание 1. Две произвольные матрицы и связанные соотношением где некоторая невырожденная матрица называются подобными матрицами. Таким образом, две матрицы одного и того же оператора в различных базисах подобны.

Пример 1. Матрица оператора в базисе имеет вид

Найти матрицу этого оператора в базисе Вычислить координаты вектора в базисе

Решение. Матрица перехода от старого базиса к новому и обратная к ней матрица имеют вид

поэтому по теореме 2 матрица оператора и новом базисе будет такой:

Далее, вектор имеет следующий координатный столбец в базисе По теореме 1 координатный столбец этого вектора в базисе будет иметь вид

Замечание 2. Можно обобщить этот результат на операторы, действующие из одного линейного пространства в другое. Пусть оператор действует из линейного пространства в другое линейное пространство и пусть в пространстве выбраны два базиса: и а в пространстве – два базиса и Тогда можно составить две матрицы и линейного оператора

и две матрицы и перехода от “старых” базисов к “новым”:

Нетрудно показать, что в этом случае имеет место равенство

2. Ядро и образ линейного оператора

Пусть дан линейный оператор действующий из линейного пространства в линейное пространство Следующие понятия бывают полезными при решении линейных уравнений.

Определение 1. Ядром оператора называется множество

Образом оператора называется множество

Нетрудно доказать следующее утверждение.

Теорема 3. Ядро и образ линейного оператора являются линейными подпространствами пространств и соответственно, причем имеет место равенство

Для вычисления ядра оператора надо записать уравнение в матричной форме (выбрав базисы в пространствах и соответственно) и решить соответствующую алгебраическую систему уравнений. Поясним теперь, как можно вычислить образ оператора .

Пусть матрица оператора в в базисах и Обозначим через -й столбец матрицы Принадлежность вектора образу означает, что существуют числа такие, что вектор столбец представляется в виде т.е. является элементом пространства линейных комбинаций столбцов матрицы Выбрав в этом пространстве базис (например, максимальную совокупность линейно независимых столбцов матрицы ), вычислим сначала образ оператора-матрицы : а затем построим образ оператора :

Приведем пример вычисления ядра и образа оператора, действующего из пространства в себя. В этом случае базисы и совпадают.

Пример 2. Найти матрицу, ядро и образ оператора проектирования на плоскость ( трехмерное пространство геометрических векторов).

Решение. Выберем в пространстве какой-нибудь базис (например, стандартный базис ). В этом базисе матрица оператора проектирования находится из равенства Найдем образы базисных векторов. Так как плоскость проходит через ось то

Д алее (см. Р10) И аналогично

Таким образом,

Значит, матрица оператора имеет вид

Ядро оператора-матрицы вычисляем из уравнения

Таким образом,

( произвольная постоянная).

Образ оператора-матрицы натянут на все линейно независимые столбцы матрицы т.е.

поэтому

( произвольные постоянные).

3. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Матрица оператора в базисе из собственных векторов

Пусть дан линейный оператор ( линейное пространство над числовом полем ⁴ ).

Определение 2. Вектор называется собственным вектором, соответствующим собственному значению , если: а) б) Совокупность всех различных собственных значений оператора называют спектром оператора . Обозначение:

Например, если матрица то вектор является собственным вектором этого оператора, соответствующим собственному значению так как При этом

Отметим очевидное свойство собственных векторов: если собственный вектор оператора соответствующий собственному значению то тоже собственный вектор оператора соответствующий собственному значению В ряде случаев, выбирая постоянную можно упростить вид собственных векторов.

Свойства собственных векторов.

1) собственные векторы соответствующие различным собственным значениям линейно независимы.

2) все собственные векторы оператора , соответствующие одному и тому же собственному значению , образуют линейное подпространство в (его называют собственным пространством оператора отвечающим собственному значению ).

3) В пространстве любой линейный оператор имеет хотя бы один собственный вектор.

Опишем теперь, как вычисляются собственные векторы и собственные значения. Зафиксируем в пространстве некоторый базис и вычислим матрицу оператора в этом базисе. Тогда операторное уравнение (с учетом того, где ) можно записать в матричном виде

Эта система должна иметь нетривиальное решение поэтому ее определитель должен равняться нулю

Определитель (5) называется характеристическим определителем матрицы (или оператора ). Раскрывая его, получим так называемое характеристическое уравнение , решая которое, найдем собственные значения матрицы ( или оператора ) . Положив в (4) и решив полученную алгебраическую систему уравнений относительно вектора-столбца , найдем все собственные векторы соответствующие собственному значению матрицы Затем по формуле вычислим собственные векторы оператора , соответствующие собственному значению

Зачем нужны собственные векторы? Оказывается они обладают следующим важным свойством.

Теорема 4. Если оператор имеет в поле различных собственных значений , то собственные векторы соответсвующие этим значениям, образуют базис в Матрица оператора в этом базисе будет диагональной:

Замечание 3. Оператор называется диагонализируемым (или оператором простой структуры), если в существует базис, в котором матрица этого оператора диагональна. Из теоремы 4 следует, что оператор , имеющий в в поле различных собственных значений, диагонализируем. Обратное, вообще говоря, не верно: оператор может быть диагонализируемым, не имея различных собственных значений. Например, единичная матрица размерности диагонализируема, но она имеет только одно собственное значение кратности В этом случае матрица имеет базис из собственных векторов, но все они отвечают собственному значению

Докажем теперь следующий важный результат.