Лекции по линейной алгебре, страница 5

Итак, рассмотрим систему линейных уравнений

с неизвестными Матрица этой системы квадратная, поэтому можно вычислить ее определитель (называемый главным определителем системы (1)). Ниже будут участвовать и другие определители, относящиеся к системе (1). Введем их. Если в определителе выбросить й столбец и заменить его на столбец свободных членов, то получим определитель

называемый м вспомогательным определителем Если определитель то для матрицы существует обратная матрица и эта матрица единственна. С помощью неё можно решить систему (1). Действительно, умножая обе части последнего равенства (1) на будем иметь Мы доказали следующее утверждение.

Теорема 1. Если то система (1) имеет единственное решение

Пример 1. Решить систему уравнений

Решение. Так как определитель то данная система имеет единственное решение

Другой способ решения системы (1) основан на следующем утверждении.

Теорема Крамера. Пусть в системе (1) хотя бы один из ее коэффициентов не равен нулю. Тогда для того чтобы система (1) имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы её главный определитель был не равен нулю. В этом случае решение системы (1) даётся формулами Крамера:

Если и хотя бы один из определителей то система (1) решений не имеет. Если все , то система (1) либо не имеет решений вообще, либо имеет их бесчисленное множество.

Доказательство проведем в случае для системы

с двумя неизвестными Не умаляя общности, можно считать, что Из первого уравнения (3) находим и подставляем во второе уравнение; будем иметь

Пусть теперь тогда , поэтому

Мы показали, что в случае исходная система (3) равносильна системе двух уравнений поэтому если то система (3) имеет единственное решение Теорема доказана.

Геометрическая интерпретация теоремы Крамера. Уравнения (3) есть уравнения прямых на плоскости Если то коэффициенты указанных прямых не пропорциональны, значит, эти прямые не параллельны (см. Р.7), и поэтому пересекаются в одной точке (в точке ). Если то коэффициенты прямых (3) пропорциональны, т.е. В этом случае система (3) равносильна одному уравнению которое имеет бесчисленное множество решений где произвольная постоянная, т.е. все точки прямой (см. Р.8) являются решениями системы (3). И, наконец, если и хотя бы один из определителей не равен нулю, то прямые (3) паралельны, а, значит, система (3) не имеет решений (см. Р.9).

Пример 2. Решить систему уравнений

Решение. Вычисляем определители

По теореме Крамера эта система либо имеет бесчисленное множество решений, либо не имеет их вообще. В нашем случае поэтому первое и третье уравнения принимают вид значит данная система имеет бесчисленное множество решений.

2. Линейный оператор и его матрица в фиксированном базисе. Алгебра линейных операторов и ее связь с алгеброй матриц

Понятие линейного пространства было введено ранее. Дадим понятие линейного подпространства.

Определение 1. Подмножество линейного пространства называется подпространством пространства над числовым множеством , если наряду с двумя произвольными элементами принадлежащими ему принадлежит и любая линейная комбинация ( числа).

Например, пространство двумерных геометрических векторов является подпространством трехмерных геометрических векторов В подпространстве существует свой базис, который можно выбрать из базисных векторов пространства .

Введем теперь понятие линейного оператора. Сначала заметим, что любое отображение пространства в пространство ставящее в соответствие каждому элементу единственный элемент по закону называется оператором (действующим из пространства в пространство ).

Определение 2. Оператор называется линейным оператором, если выполняются свойства³:

а) б)

Свойства а) и б) можно объединить в одно:

Например, оператор ставящий в соответствие каждому столбцу столбец будет линейным оператором, так как

Этот оператор называется оператором проектирования. В качестве другого важного примера можно указать на оператор, являющийся матрицей размера . Этот оператор действует из пространства в пространство Действительно,

Значит, оператор действует из пространства в пространство Далее, из определения действий над матрицами вытекает свойство для любых столбцов и любых чисел Поэтому матрица является линейным оператором.

Обозначим через множество всех линейных операторов В этом множестве естественным образом вводятся линейные операции над операторами:

(при получаем сумму операторов и , при получаем умножение оператора на число). Нетрудно показать, что пространство является линейным пространством. Можно ввести даже операцию умножения операторов и

Если то в множестве всех линейных операторов будут определены линейные операции и операция умножения операторов. Такое множество называется алгеброй операторов.

Важным понятием в линейной алгебре является понятие матрицы линейного оператора. Введем его. Пусть оператор является линейным и пусть Зафиксируем в пространстве базис . Тогда любой вектор можно записать в виде Точно так же, если в пространстве зафиксировать базис то любой вектор можно записать в виде

Так как образы базисных векторов принадлежат пространству то их можно (согласно (4)) разложить по базису

Если ввести матрицу то совокупность последних равенств можно записать в виде

Полученную таким образом матрицу называют матрицей оператора Сформулируем это понятие более точно.

Определение 3. Матрицей оператора в базисах и называется матрица (размера ), й столбец которой является координатным столбцом образа (образа го базисного вектора пространства ) в базисе

Ниже, если не оговорено противное, будем считать, что все операторы действуют из пространства в себя, т.е. В этом случае матрицу называют матрицей оператора в базисе

Пример 3. Пусть пространство является пространством квадратных трехчленов: = Выберем в нем базис Тогда каждый элемент пространства можно записать в виде

Найдем матрицу оператора дифференцирования (здесь ). Так как то

Следовательно, матрица оператора (согласно определению 3) имеет вид

Нетрудно доказать следующее утверждение.

Теорема 2. Если и матрицы операторов и соответственно (в одном и том же базисе ), то матрицами операторов

( числа) и в том же базисе будут соответственно матрицы

Из этой теоремы вытекает, что линейные операции над операторами и операция умножения операторов можно заменить на аналогичные операции над их матрицами. Поэтому, например, вместо того, чтобы решить операторное уравнение достаточно решить матричное уравнение а затем восстановить вектор (здесь матрица оператора в базисе координатные столбцы векторов и в том же базисе).

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение

Решение. Выбрав в пространстве квадратных трехчленов базис (см. пример 2), запишем данное дифференциальное уравнение в матричной форме

Его решением является вектор-столбец

Значит, решением данного уравнения будет функция где произвольная постоянная. Заметим, что мы нашли все решения данного уравнение в пространстве квадратных трёхчленов. Не исключено, что оно имеет и другие решения, не входящие в пространство .

Пример 4. Даны линейные преобразования в пространстве

Построить преобразование и найти его матрицу в стандартном базисе пространства

Решение. Воспользуемся теоремой 2. Если и матрицы операторов и в базисе то матрицей оператора в том же базисе будет матрица Построим эту матрицу, а затем восстановим по ней само преобразование . Вычисляя образы базисных векторов для операторов и , построим их матрицы:

Вычисляем матрицу

Значит,

Лекция 6. Изменение координат вектора и матрицы оператора при переходе к новому базису. Ядро и образ оператора. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Матрица оператора в базисе из собственных векторов