Лекции по линейной алгебре, страница 3

Умножение матрицы на число определяется равенством

(т.е. при умножении матрицы на число надо каждый элемент этой матрицыа умножить на это число).

Матрицы можно умножать друг на друга только в том случае, когда их размеры согласованы, т.е., когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы:

Сначала определяют произведение вектор-строки на

вектор-столбец (имеющих одинаковое число компонент):

Затем определяют

в) произведением матриц с согласованными размерами и называется матрица й элемент которой получен умножением й строки матрицы на й столбец матрицы

Например,

Часто встречаются матрицы следующего специального вида:

1. Единичная матрица:

2. Диагональная матрица: (здесь и в матрице все элементы вне главной диагонали равны нулю).

3.Треугольная матрица:

4. Матрица трапециевидной формы:

При решении линейных систем уравнений будут встречаться матрицы ступенчатого вида. Чтобы описать их, введем понятие опорного элемента строки. Это не равный нулю первый слева элемент строки. Например, в строке элемент (-5) является опорным (здесь и ниже в рамке указан опорный элемент).

Определение 2. Матрица называется матрицей ступенчатого вида, если в ней:

а) опорный элемент каждой строки находится правее опорного элемента предыдущей строки;

б) если в матрице есть нулевая строка, то и все следующие ее строки также нулевые.

Ясно, что диагональная, верхне-треугольная и трапециевидная матрицы являются ступенчатыми. Другой пример матрицы ступенчатого вида:

2. Определители матрицы и их свойства

Мы имели уже дело с определителями второго и третьего порядков на предыдущих лекциях. Дадим теперь общее понятие определителя порядка по индукции. Любой квадратной матрице вида

ставится в соответствие число

определяемое ниже (см. определение 5) и называемое определителем (или детерминантом) матрицы Теперь введем понятие минора матрицы.

Определение 3. В матрице на пересечении любых строк и столбцов стоит матрица порядка . Определитель матрицы называется минором го порядка матрицы

Ясно, таких миноров может быть несколько. Пусть теперь матрица является квадратной.

Определение 4. Минор порядка, полученный из матрицы после вычеркивания её строки и го столбца, называется дополнительным минором элемента этой матрицы (обозначение: ). Число называется алгебраическим дополнением элемента матрицы .

Определение 5. Пусть в квадратной матрице выделена произвольная строка Определителем матрицы называется число

(т.е. сумма произведений элементов й строки на их алгебраические дополнения). Часто определитель матрицы обозначают так:

Как мы уже отметили выше, определитель порядка вычисляется по индукции: если известно правило вычисления определителей порядка, то определитель порядка вычисляется по формуле (1). Ранее было даны правила вычисления определителей второго и третьего порядков, поэтому по формуле (1) можно вычислить определители четвертого порядка и выше. Например,

Перечислим основные свойства определителей. Сначала заметим, что матрица полученная из матрицы заменой строк на столбцы с теми же номерами, называется тран-

спонированной к матрицей. Обозначение:

1) При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется:

2) При перестановки каких-либо двух строк (или двух столбцов) матрицы ее определитель изменяет знак на противоположный.

3) Определитель, у которого есть нулевая строка (или нулевой столбец) равен нулю.

4) Определитель, у которого элементы одной строки (или столбца) пропорциональны элементам другой строки (или столбца ) равен нулю.

5) Общий множитель элементов любой строки (или столбца) можно выносить за знак определителя :

6) Если к какой-нибудь строке определителя прибавить другую строку, умноженную на любое число то определитель не изменится. Тоже верно и для столбцов определителя.

7) (сумма определителей)

8) Определитель произведения двух квадратных матриц одной и той же размерности равен произведению определителей этих матриц:

Доказательство всех этих свойств проводится с использованием определения 5. Докажем, например, свойство 5. Имеем

Свойство 5 доказано.

3. Обратимость матриц. Вычисление обратной матрицы

Определение 6. Говорят, что квадратная матрица обратима, если существует квадратная матрица (той же размерности) такая, что При этом матрица называется обратной к матрице и обозначается

Нетрудно показать, что если матрица обратима, то она имеет единственную обратную матрицу

Теорема 1. Для того чтобы матрица была обратимой, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был не равен нулю (в этом случае матрица называется невырожденной или неособой матрицей). При этом её обратная матрица имеет вид

где алгебраическое дополнение элемента матрицы

Например,

(эту формулу полезно запомнить),

4. Ранг матриц. Теорема о базисном миноре

Сначала введем понятие линейной зависимости и независимость строк (столбцов) матрицы.

Определение 6. Строки называются линейно зависимыми, если существуют числа не равные нулю одновременно, такие, что имеет место равенство

Если же равенство (2) (где числа) имеет место тогда и только тогда, когда все числа одновременно равны нулю ( ), то строки называются линейно независимыми. Аналогичные понятия вводятся и для столбцов.

Например, строки линейно зависимы, так как

(здесь ), а столбцы линейно независимы, так как

Введем теперь следующее важное понятие.

Определение 7. Рангом произвольной матрицы (размера ) называется максимальное число линейно независимых столбцов этой матрицы. Обозначение:

Например, ранг матрицы равен 1, так как только один столбец этой матрицы (любой) линейно независим, а два столбца линейно зависимы.

Пусть дана произвольная матрица . Будем последовательно рассматривать в ней миноры первого, второго, третьего и т.д. порядков.

Определение 8. Базисным минором матрицы называется такой отличный от нуля минор го порядка, что все миноры матрицы порядка выше го равны нулю.

Нетрудно доказать следующее утверждение.

Теорема о базисном миноре. Ранг матрицы равен порядку базисного минора этой матрицы.

Отсюда, в частности, следует, что при транспонировании матрицы ее ранг не изменяется, поэтому ранг матрицы равен также максимальному числу ее линейно независимых строк. Из теоремы о базисном миноре также вытекает, что ранг матрицы ступенчатого вида равен числу её опорных элементов.

Лекция 4. Элементарные преобразования и приведение матрицы к ступенчатому виду. Линейные системы алгебраических уравнений. Линейное пространство, размерность, базис. Теорема Кронекера-Капелли. Структура общего решения однородной и неоднородной систем уравнений. Метод Гаусса решения алгебраических систем уравнений

В основе решения систем линейных уравнений лежат два метода – метод Крамера и метод Гаусса, к изложению которых мы переходим.

1. Элементарные преобразования и приведение матриц к ступенчатому виду

К элементарным преобразованиям строк матрицы относятся следующие преобразования:

1) перемена строк местами; 2) умножение элементов любой строки на не равное нулю число; 3) прибавление к любой строке матрицы линейной комбинации других ее строк.

Аналогичные преобразования над столбцами называются элементарными преобразованиями столбцов матрицы.

Имеют место следующие утверждения.

Теорема 1.Элементарные преобразования строк (или столбцов) матрицы не изменяют её ранга. Элементарными преобразованиями строк всегда можно привести матрицу к ступенчатому виду (а дополнительными элементарными преобразованиями ее столбцов можно привести матрицу к трапециевидной форме).

Например,

Здесь мы проделали следующие операции:

1) Ко второй строке матрицы прибавили первую строку, умноженную на (-2); от третьей строки исходной матрицы отняли её вторую строку; в итоге получили матрицу

2) К третьей строке матрицы прибавили ее вторую строку; получили матрицу ступенчатого вида (трапециевидной формы).

2. Линейные системы алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капеллил

Системой уравнений с неизвестными называется система вида

где неизвестные, известные числа (коэффициенты системы), Вводя обозначения