05 (Лекции за второй семестр)

Свойства определенного интеграла.

Используя определение предела интегральных сумм, получаем следующие свойства определенного интеграла:

1. Если f(x) и g(x) , - произвольные числа, то функция и справедливо равенство:

2. Если f(x) , то

3. Если f(x) и c , то f(x) , f(x) и справедливо равенство:

4. Если f(x) , и b>a, то справедливо неравенство:

5. Если f(x) и g(x) , и b>a, то справедливо неравенство:

6. Если f(x) и , , b>a, то выполняются неравенства:

7. Если f(x) , то , такое, что выполняется равенство:

Доказательство свойств.

1. 1) Напишем интегральную сумму для функции .
   Обозначим и .
   Тогда получим равенство: .
   Так как и то и по определению он равен что и доказывает свойство 1.

2. Напишем интегральную сумму для f(x): .
   Обозначим s=0,…,n и s=1,…,n.

Тогда и .

В интегральной сумме S заменим k=n-s:

По определению есть интегральная сумма для интеграла что и доказывает свойство 2.

1. Без доказательства.

2. Из неравенства: b>a, следует, что и

3. Так как то из свойств 1 и 4 следует, что

4. Так как то интегрируя эти неравенства, ввиду свойства 5, получим:

5. Так как f(x) , то f(x) (это будет доказано в следующем параграфе).
   Из свойства 6 следует, что где и
   По теореме о промежуточном значении непрерывной на отрезке функции такая, что или
   Замечание
   Это свойство обычно называют теоремой о среднем.

Критерий интегрируемости функций на отрезке. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций.

Пусть задано некоторое разбиение T отрезка [a, b]: a=x₀<x₁<…<x_n=b. Пусть f(x) . Тогда по доказанному ранее f(x) ограничена на [a, b] и, следовательно, f(x) ограничена на каждом из отрезков разбиения [x_k-1, x_k], k=1,…,n.

Обозначим , , k=1,…,n.

Суммы и называются соответственно верхняя и нижняя суммы Дарбу.

Критерий интегрируемости
(без доказательств).

Теорема об интегрируемости непрерывных функций.

Пусть f(x) . Тогда f(x) .

Доказательство.

По теореме Кантора о равномерной непрерывности непрерывной на отрезке функции:

Пусть разбиение T отрезка [a, b] имеет диаметр Тогда из равномерной непрерывности функции f(x) на [a, b] следует, что k=1,…,n.

Запишем разность и в виде суммы:

Следовательно и по критерию интегрируемости f(x) . Теорема доказана.

Теорема об интегрируемости монотонных на отрезке функций.

Пусть f(x) – монотонная на отрезке [a, b] функция. Тогда f(x) .

Доказательство.

Предположим для определенности, что f(x) – неубывающая на [a, b] функция. Пусть T – некоторое разбиение [a, b].

Тогда, ввиду неубывания f(x), M_k=f(x_k) и m_k=f(x_k-1).

Следовательно, разность - можно оценить следующим образом:

.

По критерию интегрируемости f(x) . Теорема доказана.