Берёзкин Ю.М. - Финансовый менеджмент в вопросах и задачах, страница 6

Существует 2 частных случая аннуитетов:

а) бессрочный аннуитет (перпетуитет);

б) составной аннуитет.

Бессрочный аннуитет – это такой денежный поток, у которого не только все элементы равны между собой, но и не фиксирован срок окончания его действия (t → ∞). В финансовой практике достаточно часто используются финансовые инструменты, имеющие форму бессрочного аннуитета. Самый распространенный случай подобного рода – привилегированная акция, которая выпускается на неограниченный срок своего действия. Графическая модель такого инструмента приведена на рис. 24 (где Д_Ф – дивиденд фиксированный):

Для такого аннуитета суммарная будущая стоимость ∑БА_∞ не имеет содержательного смысла (уходит в бесконечность). Суммарная же настоящая стоимость ∑НА_∞ может быть легко посчитана по формуле:

∑НА_∞ = , (24)

где: А – величина элемента аннуитета;

r – ставка требуемой доходности инвестора.

Данная формула получается за счет следующих эквивалентных преобразований. Суммарная настоящая стоимость ∑НА_∞ может быть изначально представлена так (см. принцип дисконтирования на рис. 19 и в формуле 12):

∑НА_∞ = + + + … + ; (25)

Перепишем формулу (25) для первых n членов следующим образом:

∑НА_n = + + + … + ; (26)

или: ∑НА_n = Д_Ф · { + + + … + }; (27)

Умножим обе части уравнения (27) на (1 + r):

∑НА_n · (1+r) = Д_Ф · {1+ + … + }; (28)

Вычтем (27) из (28) и получим:

∑НА_n · (1 + r 1) = Д_Ф · {1  }; (29)

Поскольку при n → ∞, → 0, получим r ·∑НА_∞ = Д_Ф. Отсюда получаем формулу:

∑НА_∞ = ; (30)

При А = Д_Ф формулы (24) и (30) эквивалентны. Что и требовалось.

Составной аннуитет возникает тогда, когда элементы аннуитета с определенного момента времени скачкообразно меняются (увеличиваются или уменьшаются) (см. рис. 25):

А₂ А₂ А₂ А₂

А₁ А₁ А₁

0 1 2 3 4 5 6 7 t

Рис. 25. Графическая модель составного аннуитета

«постнумерандо»

Чтобы посчитать суммарную будущую стоимость составного аннуитета ∑БА₁₊₂, необходимо начинать со «сдвижки» элементов А₂. Это мы можем сделать сразу, умножив А₂ на М3(r, 4), где: 4 – количество элементов второго аннуитета. Что касается элементов А₁, то мы их имеем право «сдвинуть» с помощью множителей М3(r, 3) только на три (в данном конкретном примере) шага, т.е. только до момента времени, равного 3 (или до условного начала второго аннуитета). Нам же нужно пересчитать все элементы на конец седьмого периода. Поэтому величину А₁ · М3(r, 3) необходимо умножить еще на М1(r, 4). Последняя корректировка на М1(r, 4) обусловлена тем, что с третьего до седьмого моментов времени будем сдвигать уже не элементы аннуитета, а единичную величину А₁ · М3(r, 3), условно равную X. Для этого же применяются множители М1 (см. формулу 8). После этого оба результата суммируются. Cказанное выше можно графически представить так (см. рис. 26).

Если принять в качестве n – число элементов А₁, соответственно, m – число элементов А₂, тогда в общем виде расчет может быть сделан по следующей формуле:

∑БА₁₊₂ = A₂ · M3(r, m) + А₁· М3(r, n) ∙ M1(r, m); (31)

А₂ А₂ А₂ А₂

А₁ А₁ А₁

0 1 2 3 4 5 6 7 t

0 1 2 3 4

А₁· М3(r, 3) = X X ∙ M1(r, 4) ∑

А₂ ∙ M3(r, 4)

A₂ · M3(r, 4)

Д ля расчета суммарной настоящей стоимости составного аннуитета нужно проделать те же процедуры, только в обратном порядке и с использованием множителей М4(r, n), М4(r, m) и М2(r, n) (см. рис. 27). А₂ А₂ А₂ А₂

А₁ А₁ А₁

t

0 1 2 3 4 5 6 7

∑ A₁· M4(r,n) 0 1 2 3 4

Y · M2(r, 3) A₂ ∙ M4(r, 4) = Y

Формула для данного расчета выглядит следующим образом:

∑НА₁₊₂ = А₁ · М4(r, n) + A₂ ∙ M4(r, m) ∙ M2(r, n); (32)

Как устроены финансовые таблицы? Для чего они нужны?

Финансовые таблицы (см. Приложение) – это инструмент для пересчетов денежных номиналов, отстоящих друг от друга на один или несколько временных интервалов. Финансовые таблицы основаны на принципе временной ценности денег (см. выше). Они – стандартные (в любом учебнике ФМ одинаковые). Обычно используют четыре таблицы: две – для работы с единичными денежными величинами (номиналами), две – для работы с аннуитетами. В разных учебниках ФМ таблицы могут располагаться в разном порядке, а сами множители (из которых они состоят) могут обозначаться разными символами. Поэтому при использовании разных учебных пособий и учебников ФМ следует внимательно разобраться с соответствующими таблицами.

В данном учебном пособии дисконтирующие множители обозначены символами М2(r, n) и М4(r, n); соответственно, мультиплицирующие множители – М1(r, n) и М3(r, n). Т.е. четные цифры (2 и 4) при символе М – означают «дисконтирование, или приведение к настоящему моменту времени», нечетные (1 и 3) – означают «мультиплицирование, наращивание стоимости в будущем». Поскольку дисконтирование – главный процесс для ФМ, соответствующие этому процессу множители помещены в таблицы 1 и 2, а мультиплицирующие множители (с которыми в основном работают коммерческие банки при начислении процентов по вкладам и депозитам) – в таблицы 3 и 4.

Все четыре таблицы устроены однотипно: по столбцам расположены процентные ставки r (требуемые уровни доходности в процентах) – от 1% до 36%. По строкам расположены периоды времени – n (на которые требуется сделать «сдвижку» денежных номиналов) – их в стандартных таблицах от 1 до 55. Величины r и n называются параметрами соответствующих четырех множителей М. На пересечении конкретного столбца и конкретной строки расположено количественное значение соответствующего множителя. Все цифровые значения применяются однотипно: на них умножаются любые денежные номиналы, которые необходимо пересчитать либо на n периодов времени вперед (в будущее), либо – назад (из будущего к настоящему моменту времени). Периоды могут быть любыми: годами, месяцами, неделями или днями. Единственное требование – процентные ставки r должны соответствовать принятому для расчетов периоду: если период – год, то и ставка – годовая, если – месяц, ставка в месячном исчислении и т.д.

Все табличные значения множителей М посчитаны для работы с денежными потоками «постнумерандо». Поэтому для пересчетов авансовых ДП («пренумерандо») стандартные таблицы непригодны. В последнем случае обычно считают так, как будто имеют дело с ДП «постнумерандо», а затем результат расчетов умножают на (1 + r), т.е. как бы корректируют на дополнительную «сдвижку» в ту или другую сторону (см. формулы 15, 17, 22, 23).

Все финансовые таблицы обычно имеют целочисленные значения процентных ставок, располагаемых по столбцам в верхней части таблицы. Вместе с тем в практических расчетах нередко приходится использовать ставки с дробными значениями. В этом случае осуществляют процедуру интерполяции, т.е. по известным значениям множителей с целочисленными параметрами находят промежуточное значение множителя, соответствующее дробной процентной ставке. Например, если нам надо посчитать значение множителя М2 для процентной ставки 5,24% и для 10 периодов времени, т.е. найти величину М2(5,24%, 10), то следует проделать следующие действия:

- найти по таблице 1 значения М2(5%, 10) и М2(6%, 10), т.е. для ближайших целочисленных значений ставок слева и справа от той, для которой требуется сделать расчет;

- найти разницу между ними, т.е. величину  = М2(5%, 10) – М2(6%,10);

- величину  разделить на 100, а затем умножить на 24 (т.е. тем самым мы найдем долю, равную 0,24 от величины , обозначим эту величину символом );

- наконец, из известного значения М2(5%, 10) вычтем величину .

То, что в результате получится, и будет требуемым значением множителя М2(5,24%, 10).

Аналогично можно рассчитать значения любых множителей для любых дробных процентных ставок. Единственное, за чем нужно внимательно следить, это – за последней операцией (из четырех приведенных выше). В нашем примере мы вычитали величину , поскольку дисконтирующие множители всегда уменьшают свои значения по мере увеличения процентных ставок: М2(5%, 10) > М2(6%, 10). Соответственно, и величина М2(5,24%, 10) будет меньше величины М2(5%, 10). Если же требуется проделать процедуру интерполяции для мультиплицирующих множителей, то в этом случае величину  следует прибавлять к значению множителя, соответствующего ближайшей слева целочисленной процентной ставке.

Резюме по теме 2

• В основания финансовой математики положено представление о том, что материальная стоимость, стоящая за любым денежным номиналом, не остается неизменной во времени. Формально это находит выражение в исходном математическом соотношении:1 доллар сегодня > 1 доллара завтра. Для того чтобы остановить процесс инфляции, обеспечив сохранение (по стоимости) 1 доллара в будущем, мы должны в каждый сегодняшний момент времени инвестировать свободные от текущего потребления денежные номиналы в предпринимательские проекты, реализация которых завтра позволит нарастить материальные ценности и тем самым – компенсировать потребленные сегодня блага.

• Поскольку за денежными номиналами, относящимися к разным временным моментам времени, стоят разные стоимости, необходимо уметь пересчитывать номиналы, приводя их к одному моменту – к будущему или настоящему; выделяют два типа задач, связанных с указанными пересчетами: «Прямая задача» – пересчет «сегодняшних» номиналов в «завтрашние»; эта задача называется «задачей наращивания (мультиплицирования) стоимости»; «Обратная задача» – пересчет ожидаемых будущих («завтрашних») номиналов в «сегодняшние»; эта задача называется «задачей дисконтирования (приведения к настоящему моменту времени) стоимости»; тот и другой пересчет предполагает сохранение баланса стоимости (при изменении номиналов) во времени.

• Простейшей ситуацией для решения указанных двух задач является ситуация, предполагающая один временной интервал (от «сегодня» до «завтра») и две соответствующих денежных суммы – НС (настоящая, сегодняшняя стоимость) и БС (будущая, завтрашняя стоимость). Для пересчетов НС в БС и обратно применяют следующие формулы: БС = НС ∙ (1 + r); НС = ; Если мы имеем несколько временных интервалов (в общем случае – n) и две денежные суммы – НС и БС_n , то прямая и обратная задачи реализуются по следующим формулам:

БС_n = НС ∙ М1(r,n); НС = БС_n · M2(r, n);