Берёзкин Ю.М. - Финансовый менеджмент в вопросах и задачах, страница 5

Следующим усложнением ситуации (третья ситуация) является переход к рассмотрению не единичной денежной суммы, а денежного потока – фундаментального понятия ФМ.

Денежный поток – это последовательность денежных поступлений (платежей) в течение нескольких периодов, осуществляемых через равные интервалы времени: С₁, С₂, С₃, … С_n. В общем случае все С_t могут быть неравными друг другу и быть с разными знаками: если с «+», то это трактуется как поступление денег, если с «–», то это – выплаты денег.

При этом различают две разновидности денежных потоков: а) пренумерандо; б) постнумерандо.

«Пренумерандо» – это денежный поток, платежи которого осуществляются в момент начала каждого временного интервала (периода). В содержательном плане – это поток авансов, предоплат, накоплений (см. рис. 16):

С₁ С₂ С₃ С₄ С₅

t

0 1 2 3 4 5

Рис. 16. Графическая модель денежного потока

«пренумерандо»

«Постнумерандо» – это денежный поток, платежи которого осуществляются в конце каждого временного интервала (периода). В содержательном плане – это процесс отдачи от вложений (инвестиций, труда) (см. рис.17):

С₁ С₂ С₃ С₄ С₅

t

0 1 2 3 4 5

Рис. 17. Графическая модель денежного потока

«постнумерандо»

Оценка того и другого денежного потока (ДП) может осуществляться в рамках решения тоже двух задач:

Прямая задача – это оценка каждого из элементов денежного потока с позиции будущего и затем суммирование элементов ДП, пересчитанных на последний n–й момент времени (наращивание, или мультиплицирование суммарной стоимости ДП). Смысл прямой задачи состоит в следующем: если на чей-то счет в банке через равные промежутки времени (например, в конце каждого месяца) поступают некоторые денежные суммы С₁, С₂, С₃ ,… С_n и требуется узнать, сколько там накопится через год (n равно 12), то впрямую величины С_t складывать нельзя, поскольку на них будут начисляться проценты. Поэтому их все нужно сначала, как бы, «сдвинуть» на конец года, скорректировав каждую величину С_t на соответствующий коэффициент наращивания стоимости. Таких «сдвижек» придется сделать: для первого элемента – (n – 1) раз (временных интервалов), для второго – (n – 2) раза, в общем случае – (n – t) разов. И только после этих процедур можно будет суммировать величины, относящиеся уже к одному (конечному) моменту времени.

Обратная задача – это оценка каждого элемента ДП с позиции настоящего (дисконтирование, или приведение суммарной стоимости ДП) и затем суммирование. Смысл обратной задачи не столь прозрачен, нежели – прямой. Суть здесь можно понять на следующем примере, который типичен для практики финансового менеджера. Если стоит задача определить, по какой максимально допустимой цене имеет смысл покупать на рынке выставленную на продажу ценную бумагу, то следует определить ту общую сумму денег (в виде дивидендов, если это – акция, купонных доходов, если – облигация и т.п.), которую она может принести инвестору в будущем за все время ее действия. Эта сумма всех будущих поступлений денег и будет определять максимально допустимую цену бумаги, которую за нее может дать инвестор. Но разновременные номиналы складывать нельзя. В силу их инфляционного обесценения от периода к периоду 1000 долларов сегодня и 1000 долларов, например, через 10 лет – существенно разные (по покупательной способности) денежные номиналы. Поэтому все они должны быть сначала пересчитаны на сегодняшний момент времени (момент покупки ценной бумаги) с учетом этого обесценения. Последнее обеспечивается за счет процедуры дисконтирования элементов денежного потока, т.е. «сдвижки» каждого элемента ДП к начальному моменту на то количество шагов, которое соответствует его номеру на оси времени: первый – на 1 шаг влево, второй – на 2 и т.д. При этом ставка r, по которой должен делаться пересчет элементов ДП, здесь будет трактоваться инвестором как «требуемая доходность», необходимая ему для компенсации инфляционного обесценения денежных номиналов в предстоящих будущих периодах.

Графическое изображение прямой задачи для ДП постнумерандо (для краткости – «пст») представлено на рис. 18:

0 1 2 3 …. n  1 n t

C₁ C₂ C_{3 …..} C_n─1 C_n

∑ БС_пст

Рис. 18. Графическая модель наращивания ДП

«постнумерандо»

Такая графическая конструкция (и ей подобные, рассматриваемые ниже) носит название Cash Flow Model – Модель денежного потока, или «Модель кэш-фло».

Символ ∑ БС_пст называется «суммарной будущей стоимостью денежного потока постнумерандо». Эта величина рассчитывается следующим образом:

∑БС_пст = С_t · (1+r)^{n ─ t} , (10)

или с использованием мультиплицирующих множителей из финансовой таблицы 3:

∑ БС_пст = С_t ∙ M1(r, n – t); (11)

Графическое изображение обратной задачи для денежного потока постнумерандо представлено на рис. 19:

0 1 2 3 n t

C₁ C₂ C_{3 …..} C_n

∑ НС_пст

Рис. 19. Модель дисконтирования денежного потока

«постнумерандо»

Символ ∑ НС_пст называется «суммарной настоящей стоимостью ДП постнумерандо». Расчет этой величины осуществляют по следующим формулам:

∑НС_пст = ; (12)

или с использованием дисконтирующих множителей из финансовой таблицы 1:

∑НС_пст = C_t · M2(r, t); (13)

Если речь идет о денежном потоке «пренумерандо» (для краткости – «пре»), то для прямой задачи графическая модель ДП будет выглядеть следующим образом (см. рис. 20):

С₁ С₂ С_{3 ….} С_n

0 1 2 n1 n t

∑ БС_пре

Рис. 20. Модель наращивания денежного потока пренумерандо

Нетрудно видеть, что для получения величины ∑ БС_пре необходимо сделать (по сравнению с расчетом ∑ БС_пст) на одну сдвижку больше по каждому элементу денежного потока. Формально это будет выглядеть так:

∑БС_пре = С_t · (1 + r)^{n – t +1}; (14)

или, что то же самое:

∑БС_пре = (1 + r) ∙ ∑БС_пст ; (15)

Обратная задача для денежного потока «пренумерандо» может быть представлена графически следующим образом (см. рис. 21):

С₁ С₂ С₃ С_n

0 1 2 n-1 n t

∑НС_пре

Рис. 21. Модель дисконтирования денежного потока

«пренумерандо»

Расчет величины ∑НС_пре может быть осуществлен за счет «сдвижки» влево каждого элемента ДП, причем таких «сдвижек» будет на одну меньше (по сравнению с расчетом ∑НС_пст). Формально это выглядит так:

∑НС_пре = ; (16)

или, что то же самое:

∑НС_пре = (1 + r) ∙ ∑НС_пст ; (17)

Что такое «аннуитет»?

Чем отличаются расчеты для аннуитетов?

Аннуитет – частный случай денежного потока; это – денежный поток, в котором денежные платежи (поступления) во всех периодах одинаковые (A) (см. рис. 22 и 23):

А А А А A A A

t t 0 1 2 n-1 n 0 1 2 n

Рис.22. Аннуитет «пренумерандо» Рис.23.Аннуитет «постнумерандо»

Аннуитет – чрезвычайно распространенный в финансовой практике вид денежного потока. Его примерами могут служить ежемесячные выплаты зарплаты в виде окладов, получение ежегодных фиксированных дивидендов владельцем привилегированной акции или ежепериодные выплаты инвестору купонного дохода по облигации.

Для аннуитетов решают те же самые прямую и обратную задачи. Содержательный смысл их тот же, что и для денежных потоков общего вида.

Для аннуитета постнумерандо суммарная будущая стоимость ∑БА_пст будет равна:

∑БА_пст = А ∙ (1 + r)^{n ─ t}; (18)

Поскольку выражение под знаком суммы в формуле (18) зависит только от двух формальных параметров, его значения тоже табулировали. Соответственно, табличные значения мультиплицирующих множителей для аннуитетов постнумерандо М3(r, n) можно найти в Приложении, см. таблицу 4. C использованием данных множителей формулу (18) можно эквивалентно переписать следующим образом: ∑БА_пст = A · M3(r, n), (19)

где: r – требуемая доходность инвестора (процентная ставка наращивания стоимости элементов аннуитета);

n – количество элементов аннуитета.

Аналогично рассчитывается суммарная настоящая стоимость аннуитета постнумерандо:

∑НА_пст = А ∙ (1 + r) ^t; (20)

Выражение под знаком суммы в формуле (20) также табулировано (см. таблицу 2 из Приложения). Дисконтирующие множители этой таблицы будем обозначать М4(r, n). С использованием этих множителей формулу (20) можно эквивалентно переписать следующим образом:

∑НА_пст = A · M4(r, n), (21)

где: r – требуемая доходность инвестора, компенсирующая инфляционное обесценение элементов аннуитета;

n – количество элементов в аннуитете.

Для аннуитетов пренумерандо применяются те же процедуры, что и для соответствующих денежных потоков общего вида (см. формулы 15 и 17):

∑БА_пре = (1 + r) ∙ ∑БА_пст ; (22)

∑НА_пре = (1 + r) ∙ ∑НА_пст ; (23)