Черная Л.А. - Кинематическое и кинетостатическое исследование плоских рычажных механизмов в системах Mathcad и AutoCAD, страница 5

Вращательная КП. В шарнире усилие между звеньями может передаваться в любом направлении, поэтому у реакции в шарнире неизвестными являются величина и направление (точка приложения силы – центр вращательной КП), т.е. число неизвестных при силовом расчете .

Если кинематическая цепь имеет в своем составе низших кинематических пар, то на определение реакций во всех этих парах надо затратить уравнений статики. Таким образом, из независимых уравнений статики   уравнений используются для определения реакций в низших КП. Оставшиеся уравнения используются для определения неизвестных внешних сил, действующих на звенья механизма.

Пусть – число уравнений, оставшихся для определения неизвестных внешних сил, тогда , но эта формула совпадает с формулой Чебышева для определения числа степеней свободы плоской кинематической цепи. В результате можно сформулировать условие статической определимости кинематической цепи следующим образом: кинематическая цепь статически определима в том случае, если число неизвестных внешних сил, действующих на ее звенья, не превышает числа степеней свободы этой цепи. Отсюда следует, что кинематическая группа – статически определимая система.

Решение задач кинетостатики графоаналитическим методом в данном Пособии подробно не рассматривается. Пример исследования рычажного механизма этим методом, выполненного в системе AutoCAD, приведен в Приложении 3.

3.1.1. Формирование алгоритма кинетостатического силового расчета по группам.

Формальные правила:

1. Сохраняем абсолютную правую декартовую систему координат, связанную с неподвижной точкой входного звена . В этой системе координат рассчитывались кинематические параметры механизма.

2. Силы в расчетных схемах раскладываем по положительным осям системы координат. Моменты сил показываем положительными, против вращения часовой стрелки.

3. Статически определимую систему уравнений равновесия сил составляем для группы Ассура или кинематической группы согласно алгоритмической формуле, полученной для исследуемого механизма.

4. Момент силы в уравнениях равновесия запишем относительно точки O системы координат следующим образом:

= ,

где - радиус-вектор т.A в системе координат ,

- вектор силы, приложенной в точке ; - положительные проекции в .

Пример формирования уравнений равновесия сил в векторной форме приведен в Приложении П 3.3.1., способ 2.

Реакции в КП будем обозначать: - во вращательной: реакция в кинематической паре ; реакция в кинематической паре и т.д. - в поступательной: реакция и момент в кинематической паре и т.д.

Порядок расчета:

1. Используя найденные при решении задачи кинематического анализа аналоги скоростей и ускорений, рассчитываются ускорения центров масс и угловые ускорения звеньев.

2. Выполняется расчет главного вектора и главного момента сил инерции для звеньев, для которых заданы массы и моменты инерции относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения (сокращенно – осевые моменты инерции).

3. Для каждого входящего в кинематическую группу (группу Ассура) звена строится расчетная схема, записываются уравнения статики.

4. Для полученной системы линейных уравнений группы формируется матрица коэффициентов при неизвестных и вектор свободных членов .

5. Систему можно решить средствами Mathcad с использованием стандартной процедуры (уже «знакомой» процедуры , или других, имеющихся в библиотеке стандартных процедур системы Mathcad), дающих решение системы линейных алгебраических уравнений вида .

Далее, считая, что расчеты п.п. 1, 2 выполнены, построим расчетные схемы для групп Ассура 2-го класса. Для каждой группы сформируем систему линейных уравнений статики: составим уравнения силового равновесия в проекциях на оси координат и уравнение моментов сил относительно т. О системы координат . Если заданы другие внешние силы и моменты (полезного сопротивления или движущие), действующие на звенья механизма, их необходимо поместить на расчетные схемы.

3.1.1.1. Группа Ассура II_ВВВ(2,3)

а)

Дано: , , , , , , , , , ,

Найти:

Точки приложения реактивных сил - центры вращательных КП

Звено 3

б)

Звено 2

с)

Рис. 14.

Матрица

Вектор

а) 3.1.1.2. Группа Ассура II_ВВП(2,3)

Дано: , , , , , , , ,

, ,

Найти:

Точка приложения реакции между ползуном 3 и смежным с ним

звеном –точка

б)

Звено 3

с)

Звено 2

Рис. 15.

Матрица

Вектор

а)

3 .1.1.3. Группа Ассура II_ВПВ(2,3)

Дано: , , , , , , , , , , ,

Найти:

Точка приложения реакции между звеньями 2 и 3 – точка

б)

З вено3

с)

З вено 2

Рис. 16.

Матрица

Вектор

а) 3.1.1.4. Группа Ассура II_ПВП(2,3)

Дано: , , , , , , , , , , , ,

Найти:

Точки приложения реакций в поступательных кинематических парах – точки и

б)

Звено3

с)

З вено 2

Рис. 17.

Матрица Вектор В

а)

3 .1.1.5. Группа Ассура II_ПВП(2,3)

Дано: , , , ,

Найти:

Звено 2 невесомо. Точка приложения реакции в поступательной КП между звеньями 2 и 3 – точка ; реакции в поступательной КП между звеном 3 и смежным с ним звеном –точка

б) Звено3 с) Звено 2

Рис. 18.

Матрица

Вектор

1. Группа Ассура II_ВПП(2,3)

а)

Д ано: , , , , , , ,

Найти:

Звено 3 движется поступательно вдоль оси . Точка приложения реакции в поступательной КП между звеньями 2 и 3 – точка ; реакции в поступательной КП между звеном 3 и смежным с ним звеном – точка

б)

Звено3

с)

З вено2

Рис. 19.

Матрица

Вектор

3.1.1.7. Кинематическая группа I_В(0,1)

Д ано: , , , ,

Найти:

Рис. 20.

Матрица Вектор

3.1.2. Контроль полученных результатов

Для контроля полученных результатов воспользуемся уравнениями кинетостатики в следующем виде:

 - в любой момент времени для каждой точки несвободной механической системы геометрическая сумма главных векторов заданных сил, реакций опор и сил инерции материальных точек системы равна нулю

(3.2)

 - в любой момент времени для любой точки несвободной механической системы геометрическая сумма главных моментов заданных сил, реакций опор и сил инерции материальных точек системы  относительно любого неподвижного центра равна нулю.

, (3.3)

где - внешние силы, приложенные к звеньям механизма; - инерционные силы; - реакции опор; - моменты внешних сил, - моменты сил инерции, - моменты реакций опор, записанные относительно начала неподвижной системы координат . В этой системе в среде Mathcad рассчитывались функции положения всех точек механизма.

Расчет по формулам (3.2) и (3.3) выполним в векторной форме.

Для этого силы и функции положения (радиус-векторы) точек приложения сил представляются в векторной форме.

Например:

Далее, используя на панели инструментов «Вектор и матрица» кнопку , построим подпрограмму-функцию расчета проекции векторного произведения на орт

Приведем для некоторого механизма фрагмент записи в системе Mathcad формул (3.2), (3.3). В этих формулах кроме внешних сил и сил инерции учтены реакции во внешних (связанных со стойкой) кинематических парах механизма ( , , ):

Полученный результат (нулевой вектор в первом уравнении и практический 0 во втором уравнении) свидетельствует о том, что силовой расчет механизма был выполнен верно.

3.2. Применение принципа возможных перемещений в силовом расчете механизмов.

Принцип возможных перемещений – один из вариационных принципов аналитической механики, устанавливающий общее условие равновесия механической системы.

Согласно этому принципу для равновесия механической системы с идеальными связями (идеальными называют связи, сумма элементарных работ сил реакций которых на любом возможном перемещении точек приложения сил равна нулю) необходимо и достаточно, чтобы сумма работ всех приложенных к системе активных сил на любом возможном перемещении системы была равна нулю.

Количество линейно независимых уравнений равновесия, которые можно составить для механической системы исходя из принципа возможных перемещений, равно количеству степеней свободы этой механической системы.

В механизме, степень подвижности которого и обобщенная координата есть угол поворота начального звена , одно уравнение равновесия, составленное исходя из принципа возможных перемещений, будем использовать для отыскания уравновешивающего момента .

Применительно к механизмам этот принцип удобно представить в несколько иной форме.

1. Связи в механизме стационарные (Допущение 3). При стационарных связях действительные перемещения точки и угловые перемещения звеньев совпадают с одним из возможных перемещений и считаются происходящими во времени. А раз так, то значок вариации в формуле можно заменить на знак дифференциала .

2. В плоском рычажном механизме все кинематические пары низшие. Поступательная КП позволяет точке, на которую наложена связь, перемещаться только в направлении, перпендикулярном  к  направлению силы реакции связи.  Работа силы реакции такой связи равна нулю и,  следовательно, эта связь является идеальной.  Вращательные КП являются связями тел вращения.  Точки приложения сил реакций этих связей при движении тел не перемещаются.  Следовательно,  возможная работа этих сил при отсутствии сил трения в шарнирах (Допущение 5)  равна нулю. Эти связи  также являются идеальными.

3. Механизм не находится в равновесии, поэтому наряду с активными действующими на звенья силами будем учитывать (в соответствии с принципом Даламбера) и силы инерции.