Черная Л.А. - Кинематическое и кинетостатическое исследование плоских рычажных механизмов в системах Mathcad и AutoCAD, страница 4

В проекциях на оси координат

Рис. 6.

Получим расчетные формулы для неизвестных и . Из первого уравнения системы найдем . Затем (знак плюс перед радикалом соответствует нижней сборке группы Ассура, угол изменяется в пределах 0 < < ). Функция в системе Mathcad может быть найдена с помощью стандартной функции . Из второго уравнения системы получим выражение : .

Фрагмент записи расчетного модуля в системе Mathcad

1. Группа II_ВПВ(2,3)

Дано: ; ;

Найти: функцию положения 3-го звена и функцию относительного перемещения ползуна 2.

Условие замкнутости векторного контура

В проекциях на оси координат

Рис. 7.

Возведем уравнения системы в квадрат и сложим их. Из полученного выражения найдем . Затем, из первого уравнения получим , из второго уравнения .

Функция в системе Mathcad может быть найдена с помощью стандартной функции .

Фрагмент записи расчетного модуля в системе Mathcad

2 .2.7. Группа II_ВПВ(2,3) с эксцентриситетом

Дано: ; ;

величина эксцентриситета .

Найти: функцию положения 3-го звена и функцию относительного перемещения ползуна 2

Условие замкнутости векторного контура

В проекциях на оси координат

Рис. 8.

После приведения

В системе Mathcad искомые функции и могут быть найдены с использованием процедуры Given - Find, что требует необходимости задания начальных приближений неизвестным и .

Фрагмент записи расчетного модуля в системе Mathcad

1. Группа II_ПВП(2,3) общего вида

Дано: ;

величина эксцентриситета: - для ползуна 2, - для ползуна 3;

угловое положение направляющих

, .

Найти: функции относительного

перемещения: ползуна 2,

ползуна 3.

Условие замкнутости векторного контура

Рис. 9.

В проекциях на оси координат

,

.

После приведения

,

.

В системе Mathcad искомые функции и могут быть найдены с использованием процедуры Given - Find, что требует необходимости задания начальных приближений неизвестным и .

Фрагмент записи расчетного модуля в системе Mathcad

1. Группа II_ПВП(2,3) с вертикальным перемещением ползуна

Д ано: ; координата направляющей ползуна 3;

угловое положение направляющей

ползуна 2.

Найти: функцию относительного перемещения ползуна 2,

функцию перемещения ползуна 3.

Условие замкнутости векторного контура:

В проекциях на оси координат Рис. 10.

Из первого уравнения найдем , подставим полученное выражение во второе уравнение. Найдем .

Фрагмент записи расчетного модуля в системе Mathcad

1. Группа II_ПВП(2,3) с горизонтальным перемещением ползуна

Дано: ; координата

направляющей ползуна 3;

угловое положение направляющей

ползуна 2.

Найти: функцию относительного перемещения ползуна 2,

функцию перемещения ползуна 3.

Условие замкнутости векторного контура:

В проекциях на оси координат

Рис. 11.

Из второго уравнения найдем , подставим полученное выражение в первое уравнение. Найдем .

Фрагмент записи расчетного модуля в системе Mathcad

1. Группа II_ВПП(2,3)

Дано: ;

угловое положение вектора Найти:

Условие замкнутости векторного контура:

В проекциях на оси координат Рис.12.

Фрагмент записи расчетного модуля в системе Mathcad

1. Вспомогательный контур

Предназначен для расчета кинематических параметров присоединительных пар и характерных точек.

Дано: ;

угловое положение вектора Найти:

В проекциях на оси системы координат

,

_{Рис. 13.} .

1. КИНЕТОСТАТИЧЕСКИЙ СИЛОВОЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМА

Исходными данными являются: структурная схема механизма; скорость и ускорение его начального звена (здесь будем считать их величинами постоянными и одинаковыми на всем интервале изменения обобщенной координаты); массы звеньев и их моменты инерции относительно осей, проходящих через их центры масс; внешние силы, заданные по величине и направлению. Числовые значения этих параметров приведены в таблицах исходных данных к Заданиям. Кроме того, известными являются найденные в первом ДЗ кинематические функции (положения, аналогов скоростей и ускорений).

Допущение 4: связи в механизме стационарные,  удерживающие и голономные.

Допущение 5: пренебрегаем трением в кинематических парах и вредными сопротивлениями среды.

Допущение 6: система сил плоская (звенья механизма – однородные твердые тела, имеют плоскость симметрии и движутся параллельно этой плоскости).

Основные задачи подраздела:

- методом кинетостатики определяются реакции в кинематических парах (реакции в дальнейшем используются для расчёта звеньев и элементов кинематических пар, например, подшипников, на прочность, жёсткость, долговечность и т.д.) и уравновешивающая сила или момент, приложенные к ведущему звену, например, для выбора двигателя, приводящего в движение данный механизм.

- рассчитывается уравновешивающая сила или момент с использованием принципа возможных перемещений.

Метод кинетостатики основан на принципе Даламбера. Используя уравнения мгновенного условного равновесия сил, формируются расчетные модули для каждой входящей в механизм статически определимой кинематической цепи (как будет показано ниже, статически определимой кинематической цепью является кинематическая группа).

Построенные таким образом расчетные модули объединяются в единый расчетный алгоритм согласно алгоритмической формуле, записанной для исследуемого механизма после анализа исходных данных и принятых допущений. Полученный алгоритм реализуется как графоаналитическим методом, так и аналитическим.

При формировании расчетного алгоритма на отдельном листе Приложения изображаются для каждой кинематической группы расчетные схемы с нанесенными на них внешними и внутренними (реактивными) силами, приводятся необходимые формулы для расчета инерционных нагрузок, формируются уравнения статики.

На этом же листе приводится уравнение для расчета уравновешивающей силы или момента с использованием принципа возможных перемещений и (или) уравнение для проверочного расчета.

Полученные алгоритмы реализуются в системе Mathcad.

Результаты исследования представляются в виде листинга Mathcad-программы с необходимыми для контроля диаграммами и годографами реакций в кинематических парах. В конце исследования производится сравнение результатов расчета уравновешивающей силы (момента), полученных двумя методами: методом кинетостатики и с использованием принципа возможных перемещений.

1. Принцип Даламбера в силовом расчете механизмов

Под принципом Даламбера понимается общий метод решения задач, при котором уравнения  динамики принимают вид уравнений  статики. Этот  метод  решения  задач  иначе называют кинетостатикой. 

Применительно к механизмам его можно сформулировать так: при добавлении сил инерции к внешним силам, действующим на систему в ней устанавливается мгновенное статическое равновесие и ее можно рассчитывать, используя уравнения статики:

; , (3.1)

где - внешние силы, приложенные к звеньям механизма; - внешние моменты сил, действующие на звенья механизма; - инерционные силы; - моменты сил инерции, приложенные к звеньям механизма.

Система сил инерции твердого тела:

-  при поступательном движении силы инерции твердого тела приводятся к главному вектору, проходящему через центр масс тела, и равному по модулю произведению массы тела на модуль ускорения его центра масс, и направленному противоположно этому ускорению;

- если тело вращается вокруг неподвижной оси проходящей через центр масс тела, то силы инерции приводятся к главному моменту, лежащему в плоскости, перпендикулярной оси вращения.

 - при плоском движении тела система сил инерции приводится к главному вектору, приложенному в центре масс, и к главному моменту, направление которого противоположно угловому ускорению тела.

Условие статической определимости плоской  кинематической цепи.

Для каждого звена, расположенного в плоскости, можно составить три независимых уравнения статики. Если в кинематической цепи имеется подвижных звеньев, то в совокупности для этой цепи можно записать независимых уравнений статики (равновесия).

Отметим, что под силой понимается равнодействующая распределенной в месте контакта звеньев, образующих кинематическую пару, нагрузки. Сила как векторная величина характеризуется тремя параметрами: точкой приложения, величиной и направлением. Рассмотрим с этих позиций реакции в КП плоских рычажных механизмов.

Согласно Допущению 1, в плоский рычажный механизм входят только одноподвижные вращательные (шарниры) и поступательные (соединение ползуна с направляющей) кинематические пары. По Допущению 5 расчет ведется без учета сил трения.

Поступательная КП. В поступательной КП связи, наложенные на относительное движение звеньев, разрешают относительное поступательное движение только вдоль оси КП. Перемещаться же поперек направляющей и поворачиваться ползун не может, поэтому в поступательной паре возникает реактивный момент, препятствующий повороту ползуна, и реакция, направленная перпендикулярно направляющей. При расчете этой КП определяются реактивный момент и величина реакции (точка ее приложения – геометрический центр КП, направление – нормаль к контактирующим поверхностям звеньев), т.е. число неизвестных при силовом расчете