Черная Л.А. - Кинематическое и кинетостатическое исследование плоских рычажных механизмов в системах Mathcad и AutoCAD, страница 3

-аналог угловой скорости; - аналог углового ускорения;

-аналог линейной скорости; -аналог линейного ускорения.

Размерность аналогов определяется размерностью обобщенной координаты. Если обобщенная координата есть угол поворота, то аналоги угло­вой скорости и углового ускорения, как следует из (2.3), (2.5), безразмерны, а аналоги линей­ной скорости и линейного ускорения (2.4), (2.6) имеют размерность длины. При выборе в качестве обобщенной другой координаты, не яв­ляющейся углом, размерности аналогов изменятся — их в этом случае следует поделить на размерность новой обобщенной коор­динаты. В любом случае аналоги являются относительными вели­чинами. Отметим, что аналоги численно равны скоростям и ускорени­ям, если , .

Конкретный вид функций положения (2.1) и (2.2) и аналогов (2.3)-(2.6) определяется строением механизма и размерами звеньев; эти функции являются геометрическими характеристика­ми преобразования движения в механизме.

Определение перечисленных характеристик механизма являет­ся целью кинематического анализа и составляет содержание его трех основных задач.

Задача о положениях состоит в определении функций поло­жения вида (2.1), (2.2); задача о скоростях заключается в отыскании функций ли­нейных и угловых скоростей (2.3), (2.4) (или только их аналогов , ); задача об ускорениях сводится к нахождению функций (2.5), (2.6) (или только аналогов , ).

Основной и наиболее сложной является первая из этих задач — задача о положениях; аналитически она обычно описывается не­линейными уравнениями. Решение двух других задач сводится к дифференцированию функций положения, которое может быть выполнено с использованием стандартных процедур дифференцирования в среде Mathcad.

Зная закон движения входного звена в реальном времени, можно пересчитать геометрические анало­ги кинематических величин, полученные на первом этапе, в ис­тинные скорости и ускорения (линейные и угловые) интересую­щих нас точек и звеньев механизма по формулам (2.3)-(2.6).

Для использования этих формул необходимо обобщенную угловую скорость и обобщенное угловое ускорение выразить через заданные и . С этой целью рассмотрим кинематику входного звена механизма.

Кинематика входного звена механизма.

В ведем функцию углового положения входного звена, учитывающую заданное

направление его вращения в составе механизма:

, где

- обобщенная координата механизма (1.3);

- угол, соответствующий задаваемому начальному положению входного звена; - аналог угловой скорости входного

Рис. 2. звена. Очевидно, равняется или , аналог углового ускорения . Используя формулы (2.3) и (2.5), получим выражение для обобщенной скорости и обобщенного ускорения или, что то же самое, , .

1. Метод векторных контуров в кинематике механизмов

Кинематическому анализу механизма предшествует задача структурного анализа. Результатом структурного анализа является символическая формула строения механизма (формула (1.5) для механизма Рис.1). Эта же формула, как правило, опре­деляет последовательность формирования алгоритма кинематиче­ского анализа, т.е. является алгоритмической формулой. Смысл ее в следующем: как механизм на стойке собирается путем последо­вательного присоединения кинематических групп, так и алгоритм кинематического анализа формируется последовательным соеди­нением расчетных модулей, каждый из которых позволяет выпол­нить кинематическое исследование соответствующей группы. При этом результаты исследования одной группы становятся исходны­ми данными для анализа следующих.

Исследование плоских рычажных механизмов удобно проводить методом векторных контуров, разработанным проф. В.А.Зиновьевым. В этом методе связи в механизме, определяемые как видом кинематических пар, так и размерами звеньев, выражаются в форме условий замкнутости векторных контуров, построенных на базе кинематической схемы механизма. В скалярной форме соответствующие зависимости получают, проецируя контуры на оси координат.

В ДЗ анализируется плоский рычажный механизм, в состав которого входят двухзвенные группы с нулевой подвижностью (группы Ассура) и (или) группы со степенью подвижности 1. Векторные контуры составляют для каждой входящей в механизм группы Ассура. Построенные на базе векторных контуров расчетные модули объединяют в единый расчетный алгоритм согласно алгоритмической формуле, полученной при решении задачи структурного анализа механизма.

Сформулируем формальные правила, которые в дальнейшем будем соблюдать:

- выберем правую декартову систему координат , начало ко­торой совпадает с неподвижной точкой начального звена;

- правило отсчета углов: угол будем отсчитывать от положительного на­правления оси до положительного направления соответствую­щего вектора, двигаясь против хода часовой стрелки.

Получим функции положения для условного механизма 1-го класса I_В(0,1) и групп Ассура 2-го класса (диад). Аргумент функций – обобщенная координата (в дальнейшем подразумевается, но не пишется).

1. Анализ группы I_В(0,1)

Воспользуемся Рис. 2.

Дано: ; ; ; - угол, соответствующий начальному положению входного звена.

Найти: функцию положения точки :

Функция учитывает заданное направление вращения звена 1 в составе механизма:

Запишем: ;

Фрагмент записи в системе Mathcad

Построим расчетные модули кинематического анализа для групп Ассура 2-го класса.

1. Группа II_ВВВ(2,3)

Дано: ,

;

Найти: функции положения 2-го и 3-го звена: и

Запишем условие замкнутости векторного контура

В проекциях на оси координат

(Здесь, и в дальнейшем, при выводе расчетных формул аргумент будем опускать): Рис. 3.

Решение полученной системы трансцендентных уравнений можно получить только приближенными, итерационными методами. В системе Mathcad решение может быть найдено с использованием процедуры Given- Find, что требует необходимости задания начальных приближений неизвестным и . Начальные приближения задаются на основании построенного при любом значении плана механизма.

Фрагмент записи в системе Mathcad

Функция - возвращает значение одной или ряда переменных для точного решения системы уравнений в блоке, объявленном директивой , который кроме решаемой системы уравнений может содержать и условия ограничения. Вместо функции может

использоваться, например, функция , которая возвращает значение одной или нескольким переменным для приближенного решения системы нелинейных уравнений.

1. Группа II_ВВП(2,3)

Дано: ,

; угловое положение

направляющей для ползуна 3.

Найти: функцию положения 2-го звена и функцию перемещения ползуна 3.

Запишем условие замкнутости векторного контура

В проекциях на оси координат

Рис. 4. ,

. В системе Mathcad искомые функции и могут быть найдены несколькими способами.

1. Решим исходную систему двух уравнений с использованием функции в блоке , что требует необходимости задания начальных приближений неизвестным и .

Фрагмент записи расчетного модуля в системе Mathcad

2. Решим исходную систему уравнений относительно 3-х переменных: , и , что потребует задания еще одного уравнения: .

Фрагмент записи расчетного модуля в системе Mathcad

Функция найдена с использованием стандартной функции . Функция позволяет найти угол между осью и отрезком прямой с конечными точками и , причем и должны быть реальными значениями.

1. Возведем каждое из уравнений исходной системы в квадрат и сложим. Получим квадратное уравнение относительно :

,

где , .

Для решения полученного уравнения вместо функции будем использовать функцию . Далее, из первого уравнения системы найдем , из второго .

Фрагмент записи расчетного модуля в системе Mathcad

4. (Способ предложен В.В.Кузенковым). Неизвестную функцию будем искать в виде . Тогда исходная система уравнений примет вид

,

Фрагмент записи расчетного модуля в системе Mathcad

1. Группа II_ВВП(2,3) с горизонтальным перемещением ползуна

Дано: ; ; ;

Найти: функцию положения 2-го звена и функцию перемещения ползуна 3.

Условие замкнутости векторного контура

В проекциях на оси координат

Рис. 5.

Получим расчетные формулы для неизвестных и . Из второго уравнения системы найдем . Затем (знак минус перед радикалом соответствует правой сборке группы Ассура, угол изменяется в пределах < < ). Функция в системе Mathcad может быть найдена с помощью стандартной функции . Из первого уравнения системы найдем выражение для : .

Фрагмент записи расчетного модуля в системе Mathcad

2.2.5. Группа II_ВВП(2,3) с вертикальным перемещением ползуна

Дано: ; ;

;

Найти: функцию положения 2-го звена и функцию перемещения ползуна 3.

Условие замкнутости векторного контура