Черная Л.А. - Кинематическое и кинетостатическое исследование плоских рычажных механизмов в системах Mathcad и AutoCAD, страница 2

Степени свободы - это совокупность линейно независимых координат, полностью определяющих положение (а вместе с их производными по времени и движение) механической системы в выбранной системе координат. Такие координаты в общем случае называются обобщёнными координатами

. (1.2)

Следовательно: степень подвижности механизма  равна числу законов движения, которые необходимо задать звеньям механизма извне для того, чтобы все его звенья двигались вполне определенным образом.

При  обобщенная координата приписывается начальной кинематической паре.

Начальная кинематическая пара (НКП) – кинематическая пара, в которой относительное перемещение образующих ее звеньев есть обобщенная координата. Если одно из звеньев НКП – стойка, то второе, подвижное, звено называют начальным (или входным). Начальное звено относительно стойки может совершать поступательное движение (ползун) или вращательное движение (коромысло или кривошип).

Определение степени подвижности механизма в ДЗ имеет смысл проверочного расчета, т. к. в исходных данных к типовому ДЗ начальное (входное) звено указано: это звено образует со стойкой вращательную кинематическую пару. Примем угол его поворота за обобщенную координату механизма

. (1.3)

Угловую обобщенную коор­динату будем отсчитывать от положительного на­правления оси X правой декартовой системы координат, двигаясь против хода часовой стрелки.

Анализ строения механизма на уровне

кинематических групп

Кинематическая группа – простейшая кинематически и статически определимая кинематическая цепь, содержащая минимальное число звеньев и кинематических пар (включая и те кинематические пары, которыми она присоединяется к механизму), степень подвижности которой равна числу НКП, входящих в данную кинематическую группу. Группа Ассура – подмножество множества кинематических групп: степень подвижности группы Ассура равна нулю, в ее составе нет НКП.

При выполнении ДЗ1 для решения этой задачи следует выделить в составе механизма условный механизм 1-го класса (кинематическая группа, степень подвижности которой равна 1) и группы Ассура (кинематические группы с нулевой степенью подвижности). Для групп Ассура указывается класс, вид и порядок. Двухзвенные группы (диады) относятся ко 2-му классу, второму порядку. Их виды различаются числом и расположением поступательных кинематических пар (Табл. 2). В таблице каждому виду структурной группы дано соответствующее обозначение: ^«ВВВ ^» - группа с вращательными парами, ^«ВВП ^» - группа с одной внешней поступательной парой, ^«ВПВ ^» - группа с одной внутренней поступательной парой и т.д.

Выделение групп Ассура выполняется за ряд однотипных шагов, на каждом из которых более простой исходный механизм получается после отбрасывания в предшествующем механизме группы, наиболее удаленной от входного звена. Процесс заканчивается на том шаге, когда полученный исходный механизм окажется механизмом 1-го класса. При этом необходимо руководствоваться следующими правилами:

- входное звено и стойка образуют условный механизм 1-го класса и не могут принадлежать ни одной группе Ассура;

- каждое звено и каждая кинематическая пара принадлежат только одной группе Ассура или механизму 1-го класса;

- к группе Ассура, кроме ее внутренних пар, условно относятся и те пары, которыми она присоединяется к исходному механизму, и не относятся пары, которыми к ней присоединяются звенья последующих групп.

Таблица 2

Виды структурных групп Ассура 2-го класса (диады)

Проделав по изложенной методике анализ механизма Рис.1, запишем символическую формулу его строения:

I_В(0,1) II_ВПВ(2,3), (1.4)

где: I_В(0,1) – обозначение условного механизма 1-го класса, состоящего из звеньев с номерами 0 и 1 и вращательной пары (нижний индекс);

II_ВПВ(2,3) – обозначение группы Ассура 2-го класса с одной внутренней поступательной парой (нижний индекс), в состав которой входят звенья 2 и 3 (числа в скобках).

На основании формулы (1.4) заключаем, что механизм Рис.1 является механизмом 2-го класса, так как в его составе нет групп Ассура выше 2-го класса. Полученная формула (1.4) позволяет сделать вывод о том, что в механизме нет контурных избыточных связей. Остаются лишь избыточные связи вследствие неплоскостности звеньев. В этом случае расчет числа избыточных связей выполняется для каждой входящей в механизм кинематической группы по формуле Л.Н.Решетова:

, (1.5)

где - степень подвижности группы; - число одноподвижных (низших) кинематических пар и - число звеньев в группе.

В группе Ассура 2-го класса число избыточных связей равно 3: . В условном механизме I_В(0,1) избыточных связей нет: . Для устранения избыточных связей увеличим подвижность кинематических пар. Структурные схемы групп Ассура 2-го класса без избыточных связей приведены в Таблице 3.

Таблица 3

Виды структурных групп Ассура 2-го класса (диады)

без избыточных связей

В структурных группах без избыточных связей кроме одноподвижных поступательных (п) и вращательных (в) кинематических пар используются двухподвижные цилиндрические (ц) и трехподвижные сферические (сф) кинематические пары.

1. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМА

Исходными данными являются структурная схема механизма, размеры звеньев, включая размеры, определяющие положения центров масс звеньев, а также скорость и ускорение начального звена механизма для мгновенного его положения. Числовые значения длин звеньев и заданных кинематических параметров приведены в таблицах исходных данных к Заданиям.

Допущение 2: звенья механизма представляют собой абсолютно твердые тела.

Допущение 3: отсутствуют зазоры в кинематических парах.

Основные задачи подраздела: решаются три задачи кинематики (о положениях, скоростях и ускорениях) двумя методами: графоаналитическим (метод планов) и аналитическим.

Метод планов скоростей и ускорений базируется на графическом решении совокупности векторных уравнений кинематики основанных на двух теоремах теоретической механики: о плоском движении тела и сложном движении точки.

Все три плана: положений (кинематическая схема механизма), скоростей и ускорений, строятся на одном листе формата А4 в системе AutoCAD. На этом же листе помещаются исходные данные и приводится Таблица результатов кинематического анализа. На отдельных листах записываются векторные уравнения кинематики и выполняются необходимые расчеты, которые могут быть оформлены как Приложение.

Аналитический метод используется при решении задач кинематики с использованием математического процессора Mathcad как средства численной реализации алгоритмов кинематического анализа.

При формировании расчетного алгоритма на отдельном листе Приложения приводятся необходимые векторные уравнения и уравнения в проекциях, результатом решения которых являются искомые функции положения.

Результаты исследования представляются в виде листинга Mathcad-программы с необходимыми для контроля графиками. Обязательно приводятся три графика для выходного звена механизма: перемещения, аналога скорости и аналога ускорения. В конце исследования производится сравнение результатов кинематического анализа, полученных двумя методами.

Найденные в первом ДЗ кинематические функции (положения, аналогов

скоростей и ускорений) используются далее во втором ДЗ при решении задачи кинетостатического анализа.

Решение задач кинематики графоаналитическим методом в данном Пособии подробно не рассматривается. Пример исследования рычажного механизма методом планов, выполненного в системе AutoCAD, приведен в Приложении 2. На плане механизма (в отличие от структурной схемы) буквами обозначаются точки, принадлежащие звеньям механизма. При формировании векторных уравнений кинематики в буквенном обозначении при необходимости появляются цифровые индексы, обозначающие номера взаимодействующих в данный момент звеньев.

В этом подразделе подробно излагается аналитический метод кинематического анализа плоских рычажных механизмов 2-го класса.

Сформулируем задачу: считая схему и размеры звеньев механизма заданными, установить закон преобразования движения входных звеньев в движения выходных звеньев механизма, если движения входных звеньев определены.

Решение этой задачи можно разбить на два этапа.

1. Рассмотреть передачу движения от одних звеньев к другим лишь в геометрическом аспекте: установить, как положение одно­го звена или относительное положение двух звеньев определяет положения и движения других звеньев — без учета сил и масс, т.е. величин, вызывающих и обусловливающих характер движения. Цель исследования — получить функции, исчерпывающе описы­вающие преобразование движения в механизме. Параметрами (константами) таких функций являются размеры звеньев, а пере­менными — координаты, характеризующие относительное распо­ложение звеньев. Результат исследования: функции положения, аналоги скоростей и ускорений.

2. Зная закон движения входных звеньев в реальном времени ( , ), пересчитать геометрические анало­ги кинематических величин, полученные на первом этапе, в ис­тинные скорости и ускорения (линейные и угловые) интересую­щих нас точек и звеньев механизма.

1. Геометрические характеристики

преобразования движения в механизме

Рассматривается механизм с одной степенью подвижности , с вращающимся входным звеном, угол есть обобщенная координата механизма (1.3).

Сейчас мы поставим ограниченную задачу: определить, как движение входного звена преобразуется в движение других звеньев механизма. При этом конкретный вид функции нам не важен.

Положение звеньев механизма зависит лишь от его обобщенной координаты, поэтому для звена номер и точки на нем можно записать

(2.1)

(2.2)

здесь - угол поворота -го звена; - радиус-вектор точки в выбранной системе координат.

Функции (2.1), (2.2) есть функции положения. Дифференцируя их по времени с учетом (1.3), получим выражения для угловой скорости -го звена и скорости точки :

, (2.3)

; (2.4)

здесь - обобщенная угловая скорость механизма.

Для определения углового ускорения -го звена и ускорения точки продифференцируем по времени скорости (2.3) и (2.4):

, (2.5)

; (2.6)

здесь - обобщенное угловое ускорение механизма.

Входящие в выражения (2.3)-(2.6) производные и по обобщенной координате носят названия аналогов скоростей и ускорений: