Автоматихация производства ЭВА, страница 7
Описание файла
Документ из архива "Автоматихация производства ЭВА", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математическое моделирование технических объектов (ммто)" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "математическое моделирование технических объектов (ммто)" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Автоматихация производства ЭВА"
Текст 7 страницы из документа "Автоматихация производства ЭВА"
Комплекс – элементам соответствуют полиномиальные функции, содержащие константу, линейные члены, а также члены второго, третьего и более высоких порядков, если это необходимо. Форма комплекс – элементов может быть такой же как у симплекс - элементов, но с дополнительными граничными (и даже внутренними) узлами. Число узлов в комплекс – элементе должно быть больше размерности координатного пространства + 1. Интерполяционный полином для 2-мерного треугольного комплекс – элемента имеет вид:
= 1 + 2x + 3y + 4x2 + 5 xy + 6y2 (9.2)
Это соотношение включает шесть коэффициентов, поэтому рассматриваемый элемент должен иметь шесть узлов.
Для мультиплекс – элементов также используются полиномы, содержащие члены высокого порядка, Однако, для обеспечения непрерывности при переходе от одного мультиплекс – элемента к другому границы элементов должны быть параллельны осям координат. Примером мультиплекс – элемента является прямоугольный элемент.
5.2. Функции формы.
Одномерный симплекс – элемент представляет собой прямолинейный отрезок длины L с двумя узлами – по одному на каждом конце отрезка (рисунок 9.2). Узлы обозначаются индексами i и j, значения функции в узлах – через Фi и Фj соответственно. Начало системы координат располагается вне КЭ. Полиномиальная функция для скалярной величины (например, температуры – Т или давления – Р) такова: |
= 1 +2 x (9.3)
Коэффициенты 1 и 2 определяются с помощью условий в узловых точках:
= Фi при x = Xi и = Фj при x = Xj.
Эти узловые условия приводят к системе двух уравнений:
Фi = 1 +2 Xi Фj = 1 +2
решение которой дает: 1= (Фi Xj - Фj Xi)/L; 2 = (Фj - Фi )/L
Подставляя найденные значения 1 и 2 в формулу (9.3), получим:
= (ФiXj-ФjXi)/L +{(Фj-Фi)/L}x
Данное уравнение может быть переписано в виде:
= [(Xj-x)/L]Фi+[(x-Xi)/L]Фj (9.4)
Линейные функции от х в формуле (9.5) называются функциями формы (ФФ) или интерполяционными функциями. Далее эти функции обозначаются через N. Каждая ФФ должна быть снабжена нижним индексом для обозначения узла, к которому она относится. Произвольную ФФ будем обозначать через N. В формулу (8.5) входят следующие ФФ:
Ni = | Xj-x | ; | и | Nj = | x-Xi |
L | L |
Используя эти ФФ, запишем выражение (9.5) в матричной форме:
= NiФi + NjФj = [N]{Ф} = [Ni Nj] | Фi | = [Ni Nj] [Фi Фj]Т | (9.6) |
Фj |
Функция Ni = 1 в узле с номером i и равна нулю в j-м узле. Аналогично функция Nj = 1 в узле с номером j и равна нулю в i-м узле. Эти значения характерны для функций формы. Они равны 1 в одном определенном узле и обращаются в 0 в остальных узлах.
Пример 9.1. Одномерный симплекс-элемент используется для аппроксимации температуры в стержне. Узлы 1 и 2 имеют координаты 1,5 и 6 см соответственно. Известно, что температура в узлах 1 и 2 равна 120 и 90 градусов соответственно. Требуется определить температуру в точке х = 4 см и градиент температуры внутри элемента.
Решение: Пользуясь выражением (9.5) для одномерного симплекс – элемента, можно записать закон изменения температуры внутри КЭ:
t = | (Xj-x) | Ti + | (x-Xi) | Tj |
L | L |
Данные КЭ: Xi=1,5 см; Ti=120oC; X j=6,0 см;
Tj=90oC; x=4 см; L = (Xj – Xj ) = 4,5 см.
Подставляя данные в формулу для температуры получаем:
t = | (1,5 - 4) | 120o + | (4 – 1,5) | 90o = 103,33 oC |
4,5 | 4,5 |
Для градиента температуры имеем:
dt | = - | Ti | + | Tj | = - | 120o | + | 90o | = -6,67 oC/см |
dx | L | L | 4,5 | 4,5 |
Двумерный симплекс – элемент показан на рисунке 9.3 – это треугольник с прямолинейными сторонами и тремя узлами, по одному в каждой вершине. Примем последовательную логическую нумерацию узлов элемента против часовой стрелки, начиная от произвольно выбранного i-го узла. Узловые значения скалярной величины обозначим через Фi, Фj, Фk, а координатные пары трех узлов - через (Xi, Yi), (Xj, Yj), (Xk, Yk).
Рис. 5.3 | Рис. 5.4 |
Интерполяционный полином в данном случае примет вид:
= 1 +2 x +3 y (5.7)
В узлах выполняются следующие условия: = Фi при x = Xi и y = Yi
= Фj при x = Xj и y = Yj = Фk при x = Xk и y = Yk
Подстановка их в (9.7) приводят к системе трех уравнений:
Фi = 1 + 2 Xi + 3 Yi
Ф j = 1 + 2 Xj + 3 Yj (9.8)
Фk = 1 + 2 Xk + 3 Yk
Обозначим площадь симплекс – треугольника буквой А. Можно показать, что определитель системы (9.8) связан с А (рис. 5.4) соотношением:
[XjYk – XkYj + XiYj – XiYk + XkYi – XjYi] =2A
Решая систему (9.8) с учетом (9.8) и вводя обозначения:
Ai=(Xj Yk – Xk Yj); Bi=(Yj – Yk); Ci=(Xk – Xj),
Aj = (Xk Yi – Xi Yk), Bj = (Yk – Yi), Cj =(Xi – Xk), (9.9)
Ak =(Xi Yj – Xj Yi), Bk = (Yi – Yj), Ck = (Xj – Xi),
получим значения искомых коэффициентов:
1 = 0,5 А –1 [ Ai Фi + Aj Фj + Ak Фk ]
2 = 0,5 А –1 [ Bi Фi + Bj Фj + Bk Фk ]
3 = 0,5 А –1 [ Ci Фi + Cj Фj + Ck Фk ]
Подставляя значения 1, 2, 3 в (9.7) и преобразуя получаемые выражения к виду, подобному (9.6), получим выражение для скалярной величины :
= Ni Фi + Nj Фj + Nk Фk (9.10)
где:
Ni = | Ai+Bix+Ciy | ; Nj = | Aj+Bjx+Cjy | ; Nk = | Ak+Bkx+Cky | (9.11) |
2A | 2A | 2A |
Значение Ni в i-м узле составит: Ni = 0,5 А –1 [Ai + Bi x + Ci y] =
= 0,5 А –1 [Xj Yk – Xk Yj + (Yj – Yk) Xi + (Xk – Xj) Yi] =
= 0,5 А –1 [XjYk – XkYj + XiYj – XiYk + XkYi – XjYi] = 1
Непосредственной проверкой можно показать, что в остальных узлах Ni = 0.
Из (9.11) видно, что ФФ линейны по x и y, то есть, градиенты этой величины в направлениях Ox и Oy будут постоянны. Заметим, что:
дN | = В | ( = j, j, k) | |
дx |
поэтому градиент в направлении оси Ох составит:
дФ | = | дNi | Фi + | дNi | Фj + | дNk | Фk = | BiФi + BjФj + BkФk | (9.12) |
дx | дx | дx | дx |
Поскольку, переменные В и величины Ф начальных условий (при = i, j, k) фиксируются, как только задаются узловые координаты, то частная производная в (9.12) имеет постоянное значение. Отсюда следует важный вывод: постоянство градиента внутри каждого элемента означает, что необходимо применять очень малые по величине элементы, чтобы аппроксимировать быстро меняющую функцию .
Пример 9.2. Требуется получить соотношение, определяющее элемент, и вычислить значение давления в точке В с координатами (2; 1,5), если заданы начальные значения: Pi = 40 H/см2, Pj = 34 H/см2, Pk = 46 H/см2.
Давление р внутри элемента определяется по формуле: р = Ni Рi + Nj Рj + Nk Рk
где ФФ Ni , Nj и Nk определяются по (9.11).
Подставляя значения координат узлов в обозначения (9.9) для А, В, С (при = i, j, k), получим значения этих коэффициентов:
Ai = (45)–(21,5) = 19; Aj = (20) –(05) = 0; Ak =(00,5)–(40) = 0;
Bi = (0,5–5) = – 4,5 ; Bj = (5 – 0) = 5; Bk =(0 – 0,5) = – 0,5;
Ci = (2–4) = – 2 ; Cj = (0 – 2) = – 2; Ck =(4– 0) = 4;
Рис. 9.4 | Рис. 9.5 |
Вычисляем определитель:
2A= | 1 | Xi | Yi | = | 1 | 0 | 0 | |
1 | Xj | Yj | 1 | 4 | 0,5 | =20-1=19 | ||
1 | Xk | Yk | 1 | 2 | 5 |
После подстановки констант в ФФ выражение для р примет вид:
p = | [(19–4,5x–2y)Pi + (5x – 2y)Pj + (– 0,5x + 4y) Pk |
19 |
Значение давления в точке В с координатами (2; 1,5) равно:
p = | 740 +734 +546 | = 39,37 Н/см2 |
19 |
Отметим два полезных свойства треугольного элемента. Во-первых, функция изменяется линейно между двумя любыми узлами. Так как узлы определяют границы элемента, меняется линейно вдоль каждой из трех его сторон. Отсюда следует второе полезное свойство: любая линия, вдоль которой принимает одинаковые значения, есть прямая линия, пересекающая две стороны элемента. Исключением будет случай, когда во всех узлах значения одинаковые. Приведенные два свойства позволяют легко определять линии уровня скалярной величины. Обратимся к предыдущему примеру, чтобы проиллюстрировать эти свойства.
Пример 9.3 (продолжение примера 9.2). Требуется определить линию уровня, соответствующую величине давления 42 Н/см2, для примера 9.2.