3. Задача расчета теплового процесса на дискретной модели

В электронно-вычислительной аппаратуре имеют место следующие процессы передачи тепла: конвекция, кондукция и лучеиспускание. Разностный метод не применим для расчета передачи тепла конвекцией и лучеиспусканием. Поэтому далее будем рассматривать конструкции, в которых происходит только передача тепла теплопроводностью (кондукция). Предположим, что блок ЭВА имеет прямоугольную форму, внутри которого находятся источники тепла – радиоэлементы, через которые протекает электрический ток. Блок залит наполнителем с коэффициентом теплопроводности К и удельной теплоемкостью С. Разобьем мысленно конструкцию на части прямоугольной формы, каждую из которых назовем элементом

Рис. 3	Рис. 4	Рис. 5

Для более высокой точности расчета выберем элементы одинаковых размеров, причем сами размеры элементов примем минимально возможными. В центре элемента выделим особую точку – узел сетки. Далее, попытаемся определить температуру в каждом узле сетки в каждый момент времени. Для простоты будем считать, что блок однороден, то есть входящие в него материалы имеют одинаковую теплоемкость и коэффициент теплопроводности. Температуру, определяемую в узле сетки с координатами x, y, z, в момент времени t, обозначим как ^t_X,Y,Z, а в следующий момент времени как ^t+1_X,Y,Z. Размеры блока, координаты и мощность тепловыделяющих радиоэлементов будем считать заданными. Кроме того, для решения задачи должны быть заданы начальные и граничные условия.

В начальных условиях задачи необходимо указать температуру во всех узлах сетки блока в начальный момент времени. Обычно при рассмотрении переходных процессов за начальный момент времени выбирается момент включения электрических цепей под нагрузку. До этого момента температура во всех узлах считается одинаковой и равной наружной температуре, например, комнатной (20^ОС или 293^ОК).

В граничных узлах блока могут быть заданы различные граничные условия. Когда на границе задается значение самой функции, то есть температура – это граничное условие 1-го рода и решение получается наиболее простым. Однако, к сожалению, только при грубом упрощении нестационарной задачи (то есть задачи с изменением температуры во времени) можно считать температуру на поверхности бока заданной, например, равной наружной температуре. Наиболее близкими к реальным условиям являются граничные условия 2-го рода, когда задаются плотности теплового потока по всей наружной поверхности блока. Далее мы будем решать задачу с граничными условиями 2-го рода.

3.1. Уравнение передачи тепла через элемент дискретной модели.

Запишем типовые уравнения движения теплоты. Для этого воспользуемся законом сохранения энергии: количество притекающей к данному элементу тепловой энергии равно количеству утекающей энергии плюс количество накапливающейся энергии. В рассматриваемом случае тепловая энергия не превращается в другие виды энергии, однако, другие виды энергии могут превращаться в тепло. Например, электрическая энергия целиком превращается в тепло, поэтому в уравнении теплового баланса нужно учесть количество энергии, выделяемой за счет электрических потерь.

Рассмотрим прямоугольный элемент объема блока (рисунок 4). Количество энергии, притекающей и утекающей через боковые поверхности этого элемента, выражается через величину плотности тепловых потоков. Удельная плотность теплового потока J [ Дж/м²сек ] определяется количеством теплоты, проходящей через единичную площадь в единицу времени. Чтобы определить количество теплоты, проходящей через боковую грань элемента за некоторое время, необходимо соответствующую плотность теплового потока умножить на площадь грани и на интервал времени:

(J_X⁺ – J_X^–) h_Yh_Z + (J_Y⁺ – J_Y^–) h_Xh_Z + (J_Z⁺ – J_Z^–) h_Xh_Y = C  (14)

где: J – удельная плотность тепловых потоков,  - время,  - приращение температуры.

В правой части уравнения (14) записано количество теплоты, накапливаемой внутри элемента за время . Выполним в уравнении (14) следующие преобразования:

1. Приведем количество теплоты в левой и правой части уравнения к единичному объему и к единице времени, для этого разделим все члены. Для этого разделим все члены на объем элемента h_Xh_Zh_Y и на интервал времени .

2. Представим приращение температуры  в узле с координатами i, j, k за интервал времени  в виде разности температур в начале и в конце этого интервала:

 =  ^t+1 _{i, j, k} –  ^t _{i, j, k}

В результате получим уравнение:

(JX+ – JX–)	+	(JY+ – JY–)	+	(JZ+ – JZ–)	= CУД	ijkt+1–ijkt	(15)
hX		hY		hZ		

Теперь в правой части уравнения (15) стоит не теплоемкость элемента, а удельная теплоемкость вещества (наполнителя), составляющего элемент. В целом правая часть определяет количество теплоты, которое накапливается в единичном объеме в единицу времени в том месте теплового поля, где расположен рассматриваемый элемент. Теперь можно учесть то тепло G, которое выделяется в радиоэлементах за счет превращения электрической энергии в тепловую. Поскольку удельное тепловыделение определяется через количество теплоты, выделяемой в единичном объеме за единицу времени, то можно прибавить соответствующий член к левой части уравнения (15). Приходим к выражению:

(JX+ – JX–)	+	(JY+ – JY–)	+	(JZ+ – JZ–)	+G = CУД	ijkt+1–ijkt	(16)
hX		hY		hZ		

Удельное тепловыделение G стоит в левой части уравнения потому, что оно вносит теплоту в рассматриваемый объем.

3.2. Уравнение теплопроводности для дискретной модели блока

Выразим плотности потоков J [Дж/м²с] через температуру в узлах сетки. С этой целью воспользуемся гипотезой о линейности свойств среды – законом Фурье. Этот закон говорит о том, что плотность теплового потока между двумя узлами пропорциональна разности температур между этими узлами и обратно пропорциональна расстоянию между ними, например:

JX+ = K	ti+1,j,k – ti,j,k	(17)
	hX

Коэффициентом пропорциональности здесь служит коэффициент теплопроводности К [Дж/мс^ОK]. Рассмотрим элемент разбиения блока с номером (i, j, k) и все элементы, имеющие общие с ним грани (рисунок 5). На рисунке 5 стрелками показаны направления передачи тепла между элементами. Запишем уравнения для плотности всех шести потоков, входящих в уравнение теплового баланса:

JX+ = K	ti+1,j,k – ti,j,k	;	JX- = K	ti1,j,k – ti+1,j,k
	hX			hX
JY+ = K	ti,j+1,k – ti,j,k	;	JX- = K	ti1,j,k – ti,j+1,k
	hY			hY
JZ+ = K	ti,j,k+1 – ti,j,k	;	JX- = K	ti1,j,k – ti,j,k+1
	hZ			hZ

Если теперь подставить значения плотности потоков в уравнение (16), то получим известное уравнение теплопроводности Фурье. Используя соотношения, полученные ранее и переходя к дифференциальной форме можно записать:

K(	д2	+	д2	+	д2	) + Q = CУД	д
	дX		дY		дZ		дt

где: С_УД – удельная теплоемкость элемента [Дж/м^{3 О}К]. Отсюда уравнение Фурье в дифференциальной форме мы получим заменой типа:

ti+1,j,k - ti,j,k		-	ti,j,k - ti+1,j,k		
hX			hX			д2
	hX					дX2

Уравнение в конечных разностях составляется для всех элементов блока. Плотность потока на поверхности определяется из предположения, что потоки на границах блока пропорциональны перепаду температур на некотором расстоянии (равном h_X) и, что температура за пределами блока =const.Это может быть при охлаждении блока путем принудительного обдува воздухом постоянной температуры. Итак, плотность потока на границе с нормалью к Х равна:

J⁺_X = K_T(^t_H – ^t_(lx/hx),j,k)/h_X (18)

Величина К_Т здесь имеет смысл коэффициента теплопроводности, представляющего среднюю теплопроводность интервала, в который входит граница блока. Шаг h_X введен в выражение (18) искусственно для того, чтобы определеить положение точки за контурами, в которой температура считается известной. Этот шаг можно взять таким же, как и внутри блока. При экспериментальном изучении теплопроводящих свойств границы раздела определяют отношение К_Т/h_X, (коэффициент теплообмена).

Разделим уравнение (18) на c, умножим на  и введем новые обозначения:

J	+		= I	+	;	J	-		= I	-
	x	chX		x			x	chX		x
J	+		= I	+	;	J	-		= I	-
	y	chY		y			y	chY		y
J	+		= I	+	;	J	-		= I	-
	z	chZ		z			z	chZ		z

Введем также новое обозначение для удельного тепловыделения:

Q = g		(19)
	c

В новых обозначениях уравнение (16) примет вид:

I X+ – I X+ + I Y+ – I Y+ + I Z+ – I Z+ + Q = t+1 – t

(20)

Таким образом, и плотности потоков и удельное тепловыделение имеют одну размерность – температуры и будут величинами одного порядка. Введя коэффициенты:

AX = g	K	; AY = g	K	; AZ = g	K
	chX		chY		chZ

Мы можем записать: