Автоматихация производства ЭВА, страница 2

²  = d² / dХ² + d² / dY² + d² / dZ²

Функция , удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической. Искомое решение выделяется из множества всех гармонических функций определением дополнительного условия, которое часто является краевым: _S = Ф. Другим уравнением математической физики элиптического вида является уравнение Пуассона, представляющее собой неоднородное уравнение относительно Лапласиана:

²  = d (3)

Уравнение Пуассона описывает установившуюся систему, внутри которой равномерно распределены источники энергии. В электростатике к такому уравнению приводится задача с равномерно распределенным в поле зарядом. Это уравнение применяется при расчете систем теплопередачи, когда тепловая энергия генерируется внутри температурного поля (например, для определения распределения температуры по поверхности подложки микросхемы с источниками тепла – тепловыделяющими элементами схемы). Граничные условия для уравнения Пуассона определяют и записывают так же, как и для уравнения Лапласа.

При рассмотрении, исследовании и описании нестационарных процессов в конструкциях ЭВА используют уравнения параболического вида. Такие уравнения получаются из обобщенной записи ДУ (1), если a=0; b0, c 0. Этот вид уравнения, решаемый для однорожной области, известен как уравнение диффузии или уравнени Фурье: ²  = К ( d / dt )

где: К – постоянная времени диффузии. Величина К характеризует скорость затухания процесса и перехода его в стационарный процесс. Она определяется параметрами системы.

Уравнение Фурье используется также для расчета теплового баланса температуры конструкции МЭА. В этих случаях получаем уравнение теплопроводности вида:

²  = с ( d / dt ) (4)

где:  и с – коэффициенты теплопроводности и теплоемкости среды соответственно. Левая часть ДУ (4) определяет передачу тепла между элементами конструкции с помощью теплопроводности, а правая – нагрев (или охлаждение) конструкции. Для анизотропных сред:

d / dX [ _Х d / dX] + d / dY [_Y d / dY]+ d/dZ [_Z d/dZ] = с ( d / dt ) (5)

Для однозначного решения этого уравнения надо задать граничные условия и НУ.

Если в среде присутствуют распределенные источники, то, как и в уравнении Фурье, появляется свободный член F=F(x,y,z,t) = d, который определяет нагрев конструкции за счет внутренних источников. Таким образом, уравнения (3) и (4) примут соответственно вид:

²  + F(x,y,z,t) = d (6)

²  + F(x,y,z,t) = с ( d / dt ) (7)

В случае, когда в уравнении (1) a>0; b0, c 0, d 0, уравнения называют ДУ гипербалического вида. Сюда относятся волновые ДУ, описывающие колебательные процессы в различных средах. В простейшем случае указанные ДУ имеют вид: ²  = К ( d² / dt² )

где: К – постоянная величина, определяемая параметрами системы и характеризующая период распросмтранения возмущений. Чем меньше К, тем быстрее передается возмущение от одной точки пространства к другой.

Для однозначного решения данного ДУ необходимо задать и граничные и начальные условия. Поскольку в уравнение входит вторая производная искомой функции по времени, следует задать два НУ. Одно представляет собой значение искомой функции в начальный момент времени t = 0. В качестве второго – выбирают начальное значение первой производной искомой функции во времени.

Если заданы нулевые НУ, то можно в принципе интегрировать рассмотренные ДУ по области и получить решение задачи, то есть найти такое аналитическое выражение функции , которое в каждой точке удовлетворяет заданному уравнению, а на границе – принимает заданные значения. Аналитическое выражение должно состоять из хорошо изученных элементарных функций – тригонометрических, степенных и гиперболических. Все эти функции сами являются решениями ДУ, но более простых, одномерных и , чаще всего бывает так, что из них не удается скомбинировать решение двумерных задач.

Общих методов интегрирования ДУ нет. Поэтому математики говорят не «решить задачу», а «отыскать функцию, удовлетворяющую ДУ». То есть решения надо искать, причем каждое найденное решение ДУ в математике – целое событие. Другими словами аналитические решения попадаются редко.

2.2. Реализация метода конечных разностей.

Функции, которые находят в результате решения уравнений Лапласа, Пуассона, а также диффузных и волновых уравнений, имеют непрерывный характер, причем их сложно моделировать как аналоговыми, так и цифровыми методами. Основным практическим методом решения таких ДУ является их конечно-разностная аппроксимация [1].

Далее под аппроксимацией (А) будем понимать приближенное выражение какой либо величины через другие, более простые величины. Аппроксимация – это замена одних математических объектов другими в том или ином смысле близкими к исходным. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых и более удобных объектов (например таких, характеристики которых легко вычисляются или свойства которых уже известны).

Конечно-разностная аппроксимация (КРА) ДУ представляет собой замену системы с распределенными параметрами набором дискретных элементов таким образом, что характеристики первоначально заданного поля остаются неизменными. Процесс дискретизации оказывается возможным при условии, что расстояние между соседними дискретами (узлами) достаточно мало.

При моделировании поля на ЭВМ использование метода КРА позволяет заменить ДУ в частных производных, описывающих физическую систему, большим числом связанных между собой алгебраических уравнений. Решение задачи, приведенной к этому виду, требует выполнения только основных математических операций (умножение, сложение и вычитание). Для решения подобных задач в максимальной степени приспособлены ЭВМ.

Целью решения сформулированных в предыдущем разделе задач является отыскание некоторой непрерывной функции, характеризующей протекание физического процесса. Как было отмечено ранее, найти аналитическое выражение решения ДУ в частных производных весьма затруднительно.

Другой формой представления функции может быть таблица, которая задает значения функции в некоторых точках области ее определения. Предполагается, что между указанными точками области искомая функция изменяется по известному, например линейному, закону. При построении дискретной модели непрерывной величины поступают следующим образом:

• области определения непрерывной величины разбиваются на конечное число подобластей, называемых дискретами;

• в центре каждой дискреты фиксируются точки, которые называются узлами;

• значение непрерывной величины в каждом узле считается неизвестной переменной, подлежащей определению;

• в дискретах определяется среднее значение производных первого и второго порядка непрерывной величины.

Основная концепция метода КРА может быть проиллюстрирована на примере определения двумерной функции в некоторой области.

Рассмотрим двумерную функцию F(x,y), заданную в некоторой области Р. Разобьем область Р на дискреты ортогональной сеткой с шагом h_X и h_Y по осям OX и OY соответственно. Пусть h_X = h_Y =h. Пронумеруем дискреты по осям, начиная от начала координат. Обозначим через F_mn - значение функции в центре дискреты с номерами m и n соответственно по осям OX и OY (рисунок 1).

То есть обе разности заменяются одной и той же производной. При обратном переходе от производной к разностям производные заменяются так:

В первом случае разность называется левой, а во втором – правой. Аналогичный переход к разностям выполним для производных по оси OY:

Рассмотрим отношения типа:

При измельчении шага h эти отношения стремятся соответственно к значениям:

в точке X = mh и Y=nh. Следовательно при обратном переходе от вторых производных к разностям можно заменять производные так:

С помощью переходов (9, 10 и 11) можно производить замену производных в ДУ. При этом ДУ превращаются в разностные, а сами разности, заменяющие производные называют конечными разностями.