Автоматихация производства ЭВА, страница 8

Решение. Искомая линия пересекает стороны ik и kj. Поскольку давление меняется линейно вдоль каждой из сторон треугольника, можно составить простые соотношения, позволяющие получить координаты точек на указанных сторонах, через которые проходит искомая линия. Для стороны jk имеем:

(46 – 42)	=	(2 – x)	=	(2 – y)	 x = 2,67 см; y = 3,5 см
(46 – 34)		(2 – 4)		(5 – 0,5)

Аналогично вычислим координаты точки на стороне ik: x = 0,67 см, y = 1,67 см.

Трехмерный симплекс – элемент показан на рисунке 9.5 – это тетраэдр, четыре узла которого обозначены индексами i, j, k, q, причем обход узлов i, j, k, q проведен, как и ранее, против часовой стрелки. Запишем интерполяционный полином для тетраэдра:

 = ₁ + ₂ x + ₃ y + ₄ z (5.13)

Коэффициенты можно определить, используя следующие 4 условия в узлах:

Фi = 1 + 2 Xi + 3 Yi + 4 Zi Фj = 1 + 2 Xj + 3 Yj + 4 Zj

(9.14)

Фk = 1 + 2 Xk + 3 Yk+ 4 Zk Фq = 1 + 2 Xq + 3 Yq+ 4 Zq

Эта система может быть решена с помощью правил Крамера и связана с вычислением 5-ти определителей. В матричной форме система имеет (9.14) вид:

{Ф} = [C] {} (9.15)

где:

{Ф}^T = [Фi Фj Фk Фq]; {}^T = [_i _j _k _q]; (9.16)

1	Xi	Yi	Zi	= [C]	(19.7)
1	Xj	Yj	Zj
1	Xk	Yk	Zk
1	Xq	Yq	Zq

Строка коэффициентов  в (9.16) может быть получена обращением матрицы [C]  [C]^–1 с последующим умножением (9.15) на [C]^–1.

{} = [C]^–1 [ Ф ] (9.18)

Интерполяционный полином (9.13) в матричной форме имеет вид:

1

 = 1 + 2 x + 3 y + 4 z = [ 1 x y z]

2

2

4

Поэтому с учетом (9.18) имеем:

 = [ 1 x y z ] [C]^–1 [ Ф ] (9.19)

Определитель матрицы [C] равен шести объемам тетраэдра.

Пример 9.4. Определить ФФ, используя процедуру обращения матрицы для симплекс – элемента на рисунке 9.5.

Решение. По значениям координат узлов составим матрицу [C] (слева) и соответствующую ей обратную матрицу [C] ^–1 :

1	1	2	1	=[C]		=[C]-1				0	6	0	0
1	0	0	0				=	1		0	-3	3	0
1	2	0	0					6		3	-1	-1	-1
1	1	0	3							0	-1	-1	2

Для определения ФФ воспользуемся матричным представлением интерполяционного полинома (9.6), согласно которому  = [N] {Ф}, откуда, учитывая выражение (9.19), имеем:

[N] = [ 1 x y z ] [C]^–1

то есть:

			0	6	0	0
[N] =	1	[1 x y z]	0	-3	3	0
	6		3	-1	-1	-1
			0	-1	-1	2

или:

[N] =	[	y	;	1	(6 – 3x – y – z );		1	(6 – 3x – y – z );		1	(– y + 2z )	]
		2		6			6			6

Таким образом, ФФ рассматриваемого элемента имеют вид:

N1 =	y	; N2 =	1	(6 – 3x – y – z );
	2		6

N3 =	1	(3x – y – z );	N4 =	1	(– y + 2z )
	6			6

5.3. Интерполяционные полтномы.

При обсуждении в предыдущем разделе интерполяционных соотношений для отдельных конечных элементов (симплекс – элементов) мы не фиксировали числовые значения узловых координат и ориентацию КЭ, выбирая их так, как было удобно для изложения сути проблемы. Подобный «произвол» весьма является важным достоинством метода КЭ, поскольку свобода выбора размеров (при выборе узловых координат) и ориентации КЭ позволяет составлять самые общие вычислительные алгоритмы и подпрограммы, моделирующие поведение отдельных КЭ. Обычно эти подпрограммы составляют основу библиотек конечных элементов в САПР теплового, прочностного и других видов анализа конструкции. Указанные подпрограммы могут быть далее использованы без изменения при рассмотрении областей с самыми разнообразными границами. Поскольку при решении задачи анализа поведения ИТО в заданной области производится ее дискретизации (разбиение на КЭ), то будем называть указанную область – дискретизированной областью (D-область).

Перейдем к выводу системы уравнений для области в целом. Другими словами, будем решать задачу включения каждого элемента в заданную область. Эта задача требует решить сначала проблему выбора и преобразования систем координат, в которых заданы конечные элементы и сама D-область.

Систему координат, связанную с элементом, будем называть местной, а систему координат, в которой задана D-область – глобальной.

Местная система координат. Получение системы уравнений для узловых значений неизвестных величин включает интегрирование по площади элемента функций формы или их частных производных. Введение местной системы координат может существенно упростить процесс интегрирования.

Рассмотрим механизм преобразования интерполяционных соотношений, записанных в глобальной системе координат, к виду, представляющему эти соотношения в глобальной системе координат. С этой целью рассмотрим треугольный элемент, в котором скалярная величина представляется согласно (9.10) как:  = Ni Фi + Nj Фj + Nk Фk, а ФФ определяются по (9.11). Поместим местную систему координат в центре элемента, имеющего координаты (Xc, Yc), где:

XC =	(Xi + Xj + Xk)	и		YC =	(Yi + Yj + Yk)	(9.20)
	3				3

Обозначив через s (t) – абсциссу (ординату) местной системы координат, запишем формулы преобразования координат (рисунок 9.6):

x = Xc + s; y= Xc + t (9.21)

ФФ Ni в глобальной системе координат, как было установлено ранее, имеет вид:

Ni = 0,5 А ^–1 [Ai + Bi x + Ci y]

Рис. 9.6

Подставляя сюда вместо x и y их выражения через s и t, получим:

Ni = 0,5 А ^–1 [Ai + Bi (Xc+s) + Ci (Yc+t)] или:

Ni = 0,5 А ^–1 [(Ai + Bi Xc+ Ci Yc) + Bi s + Ci t] (9.22)

В результате преобразования Bi и Ci остаются неизменными и по-прежнему умножаются на независимые переменные. Константа же Ai – изменяется. С учетом (9.10 и 9.20) имеем:

(Ai + Bi Xc+ Ci Yc) = 2А/3

Таким образом, ФФ в местной системе координат равна:

Ni = 0,5 А ^–1 [(2А/3) + ( Yj –Yk ) s + ( Xk – Xj ) t ]

Аналогично получим выражения для других функций формы:

Nj = 0,5 А ^–1 [(2А/3) + ( Yi –Yk ) s + ( Xk – Xi ) t ]

Nk = 0,5 А ^–1 [(2А/3) + ( Yi –Yj ) s + ( Xj – Xi ) t ]

Известно, что интеграл от функции, заданной в глобальной системе, может быть вычислен в местной системе координат с помощью соотношения:

R

f(x,y)dxdy =

R^

f{x[s,t],y[s,t]J}dsdt

где: R и R^ – старая и новая области интегрирования, J - отношение площадей в двух системах (J=Аxy/Ast). Форму элементов при переходе от местной системы координат к глобальной оставляют без изменений, поэтому R = R^, кроме того, местная система и глобальная система координат являются декартовыми, поэтому J=1. Следовательно, в нашем случае:

R^

f(x,y)dxdy =

R^

f{x[s,t],y[s,t]}dsdt

(9.23)

Рассмотрим теперь задачу включения каждого конечного элемента, заданного в местной системе координат, в рассматриваемую D – область. Для этого необходимо выразить интерполяционные уравнения для каждого КЭ, используемого в ансамбле, через глобальные координаты и глобальные узловые значения.

С этой целью рассмотрим показанную на рисунке 9.7 пятиэлементную конфигурацию конечных двумерных симплекс – элементов, покрывающую некоторую D – область. Координаты всех узлов считаются известными. Узлы перенумерованы от 1 до 6, а порядковый номер конечного элемента указан на рисунке в скобках внутри соответствующего конечного элемента.

Условия Ф_, выполняющиеся в узлах ( = 1,2, … , 6), представляют собой глобальные степени свободы. Для составления интерполяционных полиномов, действующих внутри каждого конечного элемента, отметим символом «звездочка» один из узлов внутри каждого конечного элемента. Тогда, по аналогии с полученным ранее выражением (9.10), для элемента [1] можно записать:

^[1] = N₂^[1]Ф₂ + N₃^[1]Ф₃ + N₁^[1]Ф₁ (9.24)