(40)

где y – функция отклика, а х_..... – факторы исследуемого процесса.

План эксперимента определяет расположение экспериментальных точек в k-мерном факторном пространстве, т.е. условия для всех опытов, которые необходимо провести. Обычно план эксперимента задается в виде матрицы планирования, каждая строка которой определяет условия опыта, а каждый столбец – значения контролируемых и управляемых параметров в исследуемом процессе, т.е. значения факторов, соответствующих условию опыта. В последний столбец матрицы заносят значения функции отклика, полученные экспериментальным путем в каждом опыте.

Порядок планирования эксперимента следующий:

1. Выбор центра плана, т.е точки, соответствующей начальному значению всех используемых факторов, в окрестностях которой будут ставиться опыты. Обычно в качестве центра плана принимают центр исследуемой области.

2. Выбор величины интервала изменения значений исследуемых факторов. Обычно интервал варьирования выбирают в пределах 0,05...0,3 от диапазона варьирования исследуемого фактора. Из рисунка 5 следует, что, если выбрать заниженный интервал, то можно не заметить влияния фактора на функцию отклика, если выбрать завышенный интервал, то можно получить неадекватную модель.

y

x

Рис.5. Варианты выбора шага эксперимента.

1. Переход к безразмерным величинам факторов,

2. Разработка общего вида модели,

3. Определение количества опытов,

4. Построение матрицы планирования эксперимента.

Последние четыре этапа рассмотрим подробнее на примере статистических методов планирования эксперимента.

Полный факторный эксперимент

В этом случае учитывается влияние на функцию отклика исследуемого процесса не только каждого рассматриваемого в эксперименте фактора в отдельности, но и их взаимодействий. Под взаимодействием факторов понимают эффект влияния изменения значений одного или нескольких факторов на характер изменения функции отклика от изменения другого фактора.

1. Переход к безразмерным величинам факторов. В безразмерной системе координат верхний уровень фактора равен +1, а нижний - -1. Координаты центра плана равны нулю и совпадают с началом координат.

2. Разработка общего вида модели по принципу «от простого к сложному». Планирование начинают с предположения, что модель имеет вид полинома первого порядка:

(41)

В этом случае учитывается влияние на функцию отклика исследуемого процесса не только каждого фактора в отдельности, но и их взаимодействия.

1. Определение числа опытов N.

N=u^k (42)

где u – число уровней каждого фактора (должно быть на 1 больше порядка полинома), k – число исследуемых факторов.

Для линейной модели и двух исследуемых факторов достаточно провести 4 опыта, т.е. опытные точки располагаются в вершинах квадрата (рис. 6) факторного пространства, а модель будет иметь вид:

Y = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₁x₂ (43)

где b₀ – значение функции отклика в центре плана, коэффициенты b₁ и b₂ характеризуют степени влияния соответствующих факторов на функцию отклика, а b₃ характеризует влияние взаимодействия факторов.

Х1

+1

-1 +1

х2

-1

Рис. 6. Расположение экспериментальных точек.

Для рассматриваемого случая матрица планирования будет иметь вид, представленный в таблице 5:

Таблица 5.

Первая строка матрицы в столбцах, соответствующих факторам, заполняется символом, соответствующим нижнему уровню значений фактора в эксперименте. Продолжение заполнения этих столбцов производится путем чередования противоположных уровней, причем каждый левее расположенный столбик производит чередование с в два раза меньшей частотой. Заполнение столбцов, учитывающих взаимодействие факторов, производится путем перемножения соответствующих знаков в строке. Второй столбик матрицы приводит значения фиктивной равной 1 переменной, соответствующей коэффициенту b₀.

Последовательность обработки результатов ПФЭ с целью составления уравнения регрессии следующая.

1. Проверка воспроизводимости экспериментов, т.е. проверка однородности вычисленных по данным параллельных опытов дисперсий среднего арифметического значения функции отклика в каждом опыте, т.е. в каждой строке, по критерию Кохрена.

2. Вычисление коэффициентов полинома по формуле

(44)

Далее необходимо провести оценку значимости коэффициентов. Основой для оценки значимости является критерий Стьюдента, который в этом случае рассчитывается по формуле

(45)

где дисперсия ошибки определения коэффициента равна

s²(b_j) = s²(y) / nN (46)

где стоящая в числителе дисперсия воспроизводимости оценивается как среднее арифметическое группы выборочных дисперсий (т.е. дисперсий функции отклика по каждому опыту), а n – число параллельных опытов для каждого условия. Коэффициент признается незначимым, если t для числа степеней свободы N(n-1) меньше критического значения, найденного по таблице. Незначимость коэффициента может быть вызвана следующими причинами:

• интервал варьирования соответствующей переменной мал,

• уровень базового режима по данной переменной близок к точке частного экстремума,

• данный фактор не влияет на функцию отклика.

После отбрасывания незначимых коэффициентов получается уточненная имитационная модель процесса.

1. Проверка адекватности уравнения. Модель должна быть адекватна описываемому явлению. Надо оценить отклонение предсказанного моделью значения выходного параметра (функции отклика) y^_i от результатов эксперимента в каждой точке факторного пространства. Для оценки этого отклонения служит дисперсия адекватности:

(47)

где _зн – число значимых коэффициентов в аппроксимирующем полиноме.

Если дисперсия адекватности не превышает дисперсии опыта (воспроизводимости), то полученная модель адекватно представляет результаты эксперимента. Если же дисперсия адекватности больше дисперсии воспроизводимости, то проверка гипотезы об адекватности проводится с помощью критерия Фишера при числах степеней свободы f₁ = N - _зн и f₂ = N (n-1):

(48)

Если F <= F_кр, то модель признается адекватной.

Матрица ПФЭ обладает свойствами:

• ортогональности, поскольку равно нулю скалярное произведение всех вектор столбцов. Именно поэтому коэффициенты регрессии вычисляются по выражениям, более простым, чем в при регрессионном анализе неспланированного эксперимента, кроме того, эти коэффициенты некоррелированы между собой;

• и рототабельности, т.е. количество информации убывает пропорционально квадрату радиуса сферы ^ в k-мерном факторном пространстве и одинаково для всех эквидистантных точек:

.

(49)

Однако этими достоинствами приходится жертвовать при моделировании полиномов второго порядка, т.е. при описании областей, близких к экстремуму.

Дробный факторный эксперимент

При большом числе учитываемых в эксперименте факторов
ПФЭ становится громоздким и занимает очень большое время для
своего проведения, так как число опытов с ростом k увеличивается
по экспоненте.

Однако число опытов можно сократить, если априори извест-
нo, что на процесс не оказывают влияния те или иные взаимодей-
ствия. В этом случае можно использовать так называемые дробные реп-
лики от ПФЭ или дробный факторный эксперимент
(ДФЭ).

Предположим, что необходимо получить математическое опи-
сание процесса при трех учитываемых факторах Х₁, Х₂ и Х₃, ока-
зывающих влияние на функцию отклика Y.

При использовании ПФЭ для определения коэффициентов по-
линома 1-го порядка необходимо провести восемь опытов. Однако, если взаи-
модействие между факторами Х₁, Х₂ и Х₃ отсутствует, можно
ограничиться четырьмя опытами. В этом случае можно воспользо-
ваться матрицей планирования ПФЭ для двух факторов Х₁ и Х₂,
приведенной в табл. 5, заменив в ней обозначение Х₁Х₂, на Х₃,
соответствующее безразмерному значению фактора Х_з на верхнем
и нижнем его уровнях. Чередование знаков в этом столбце соот-
ветствует результату перемножения безразмерных значений двух
других факторон Х₁ и Х₂, т. е. остается неизменным после за-
мены символов в матрице планирования, которая после введения
в нее третьего фактора остается ортогональной. Эксперимент в
этом случае будет ставиться уже с включением третьего фактора,
изменяющегося согласно столбцу Х₁Х₂ ПФЭ (табл. 5), а пред-
полагаемая математическая модель будет иметь вид полинома
1-го порядка, нс учитывающего взаимодействия факторов, т. е.

Y = b₀ + b₁X₁ + b₂X₂ + b₃X₃ (50)

Такой сокращенный план содержит половину опытов от тре-
буемого их числа 2³ согласно плану ПФЭ (в нашем случае четыре
опыта вместо восьми) и называется полурепликой от ПФЭ
типа 2³. Условное обозначение такого плана: ДФЭ типа 2^k-l,
где k—число учитываемых в эксперименте факторов, l—число
взаимодействий, замененных факторами, учитываемых в экспе-
рименте. По мере возрастания числа учитываемых в исследуемом процессе факторов можно применять реплики большей степени дробности. Число опытов, проводимых в соответствии с матрицей дробной реплики для раздельной оценки коэффициентов полинома, должно быть не менее числа коэффициентов в предполагаемой имитационной модели, включая b₀.

Центральные композиционные планы

При переходе к боле сложной модели от полинома первого порядка к полиному второго порядка ПФЭ предусматривает значительное увеличение количества опытов. Сократить их число можно, используя центральные композиционные планы (ЦКП), ядром которых являются линейные ортогональные планы. Поэтому, если гипотеза о линейности математической модели не подтвердилась, достаточно всего лишь добавить несколько специально спланированных экспериментальных точек, чтобы получить план, соответствующий полиному 2-го порядка. Построение ЦКП можно пояснить на примере с тремя независимыми переменными, соответствующими трем факторам. Модель полинома 2-го порядка для трех факторов имеет вид:

Y = b₀ + b₁X₁ + b₂X₂ + b₃X₃ + b₁₂ X₁X₂ + b₁₃ X₁X₂₃ + b₂₃ X₂X₃ + b₁₂₃ X₁X₂X₃ + b₁₁X₁² + b₂₂X₂² + b₃₃X₃² (51)

Для нахождения линейной модели применен ПФЭ 2³, экспериментальные точки которого находятся в вершинах куба (рис. 7). При подтверждении неадекватности линейной модели ставятся дополнительные опыты для значений факторов, превышающих их абсолютные значения по верхнему и нижнему уровням, и в центре плана. Таким образом, к ранее проведенным восьми опытам добавляется еще семь (шесть «звездных» и один - в центре). Все звездные точки расположены на расстоянии большем, чем 1 от центра плана, и лежат на поверхности сферы диаметром 2. Общее число опытов ЦКП при k факторах составит