Конспект (Лекции по технике эксперимента), страница 4
Описание файла
Файл "Конспект" внутри архива находится в папке "Лекции по технике эксперимента". Документ из архива "Лекции по технике эксперимента", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "техника эксперимента в электронике и наноэлектронике" из 6 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "техника эксперимента в электронике и наноэлектронике" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Конспект"
Текст 4 страницы из документа "Конспект"
с числом степеней свободы n-1.
Далее проверяют последовательно нулевые гипотезы о незначимости факторов А и В по критерию Фишера (см. однофакторный ДА).
Введение еще одного исследуемого фактора приводит к необходимости проведения трехфакторного ДА, в этом случае эксперимент проводится в соответствии со специальным планом, который называется латинский квадрат. При этом факторы разбиваются на одинаковое число уровней, как правило, не меньшее 4, при этом уровни первого фактора располагаются по столбцам плана, уровни второго – по строкам, а уровни третьего, обозначенные латинскими буквами, - в поле плана, причем их комбинация должна быть такой, чтобы каждая буква встречалась в каждой строке и каждом столбце только один раз (табл. 4).
Таблица 4
План эксперимента типа латинский квадрат
| Уровни 1-го фактора | Уровни 2-го фактора | |||
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
| 1 | a | b | c | d |
| 2 | b | c | d | a |
| 3 | c | d | a | b |
| 4 | d | a | b | c |
Использования диаграмм рассеивания
П
ри исследовании сложных процессов экспериментатор имеет дело с большим количеством факторов. Для первоначального исследования бывает желательно оставить факторы, оказывающие наиболее существенное влияние на функцию отклика. В этом случае эксперименты проводят, используя насыщенные, либо сверхнасыщенные планы. Экспериментальный материал обрабатывается в несколько этапов с помощью диаграмм рассеивания. Суть метода заключается в следующем. По оси ординат диаграммы (рис. 4) откладываются экспериментальные значения функции отклика, а по оси абсцисс – учитываемые в эксперименте факторы. Поле рассеяния экспериментальных точе представляет собой две колонки точек, соответствующих верхнему и нижнему уровням варьирования фактора. При анализе диаграммы рассеяния для данного фактора мы отвлекаемся от действия других факторов. Если фактор влияет на выходной параметр, то при переходе его с одного уровня на другой произойдет смещение центра распределения.
Рис. 4. Диаграмма рассеивания.
5. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕССОВ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-СТАТИСТИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ
ПОНЯТИЕ О МОДЕЛЯХ. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ.
Модель – это упрощенная система, отражающие отдельные, наиболее важные стороны явлений изучаемого процесса. Один процесс можно описать различными моделями, а одна модель может описывать различные процессы.
Процесс моделирования должен уловлетворять следующим требованиям: эксперимент на модели должен быть проще, оперативнее и экономичнее, чем на объекте; результаты исследования модели должны быть переносимы на объект.
На практике различают физическое и математическое моделирование. Физическая модель – это модель той же или иной, чем объект, природы, которая частично или полностью воспроизводит свойства объекта в рамках заданного приближения. Математическое моделирование – это метод качественного и (или) количественного описания процесса с помощью математического аппарата.
В соответствии с характером изучаемого процесса строятся жесткие (детерминированные) или вероятностные модели. Последние строятся в случае статистической связи выходного параметра с входным и при их построении используются методы теории вероятностей и математической статистики.
КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ.
Коэффициент корреляции
Изменение случайной величины Y, соответствующее изменению случайной величины X, разбивается на стохастическую и случайную компоненты. Соотношение между этими компонентами определяет силу (тесноту) связи. Одним из показателей, оценивающих стохастическую связь, является коэффициент корреляции, который характеризует степень тесноты линейной зависимости. Коэффициент корреляции может иметь значение в пределах
-1 < rxy < 1 (28)
Для независимых случайных величин он равен нулю. Коэффициент корреляции одинаково отмечает и слишком большую долю случайности, и слишком большую криволинейность связи. Качественно о наличии или отсутствии корреляции можно судить по виду поля корреляции (рис.5).
Р
ис. 5. Поле корреляции случайной величины: а – положительная корреляция, б – слабая отрицательная корреляция, в – некоррелированные случайные величины.
Выборочный коэффициент корреляции равен
(29)
Регрессия
Зависимость условного среднего my случайной величины y от случайной величины x называется регрессией. При обработке эксперимента находят уравнение приближенной регрессии, оценивая при этом величину этой приближенности. Задача нахождения уравнения приближенной регрессии по заданной выборке решается методами регрессионного и корреляционного анализа. Уравнение приближенной регрессии существенно зависит от выбираемого метода приближения. В качестве такого метода обычно выбирают метод наименьших квадратов. Пусть задан некоторый класс функций f(x) , накладывающих на выборку одинаковое число связей, равное числу неопределенных коэффициентов, входящих в аналитическое выражение этой функции. Наилучшее уравнение приближенной регрессии дает та функция (чаще используются многочлены различной степени), для которой сумма квадратов
(30)
имеет наименьшее значение.
Задача определения параметров уравнения регрессии сводится практически к определению минимума функции многих переменных.
Рассмотрим порядок определения параметров уравнения регрессии на примере уравнения множественной регрессии
Y=b0+b11X12+b22X22+b12X1X2+b1X1+b2X2+Y (31)
Полученное выражение представляет собой полином второй степени, где X1 и X2 - переменные факторы, b0, b11, b22, b12, b1, b2 — неизвестные коэффициенты, Y – случайные отклонения от уравнения регрессии.
Погрешности Y удовлетворяют следующим условиям:
-
Математическое ожидание M(Y)=0,
-
Дисперсии 2(Y) не зависит от X1, X2.
-
Погрешности Y починяются нормальному закону распределения.
Сделанные допущения позволяют использовать метод наименьших квадратов для оценки неизвестных коэффициентов.
Найденные значения коэффициентов должны удовлетворять следующему условию:
, (32)
Условия минимума функции S определяются следующим образом:
; 
; 
(33)
Произведя сокращение, почленное суммирование и разделение переменных получим:
(34)
Полученную систему уравнений целесообразно решать с помощью формул Крамера.
(35)
где |A0| — определитель системы (34); 
— определители, полученные из определителя |A0| заменой столбца с соответствующим коэффициентом на столбец из свободных членов:
(36)
и т.д.
Решение задачи значительно упрощается, если значения X1i и X2i удовлетворяют следующим условиям:
и 
(37)
Тогда
(38)
Остальные коэффициенты определяются по формулам Крамера.
(39)
где |A0‘| – определитель системы (34), записанной с учетом предположения (37). — определители, полученные из определителя |A0‘| заменой столбца с соответствующим коэффициентом на столбец из свободных членов.
Наличие параллельных опытов позволяет рассчитать дисперсию воспроизводимости и провести статистический анализ уравнения регрессии.
ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ МЕТОДАМИ ПЛАНИРОВАНИЯ
Методология математического моделирования.
-
Концепция последовательного усложнения разрабатываемой модели. На первом этапе моделирования рекомендуется создавать “грубую”модель, учитывающую небольшое число самых существенных факторов: рассматривается модель в виде линейного полинома первого порядка. После анализа и оценки результатаов эксперимента переходят к более сложной предполагаемой имитационной модели. Этот процесс усложнения продолжается до достижения необходимой адекватности математической модели исследуемому процессу.
-
Переход к безразмерным переменным. Преимущества этого шага следующие: - большая простота уравнений; с безразмерными динамическими переменными легче обращаться при применении численных методов; константы моделей с безразмерными переменными являются не только безразмерными величинами, но и критериями подобия.
-
Редукция сложных систем. Если скорости одних процессов существенно превышают скорости других, то более быстрые за короткое время (по сравнению с временем установления равновесного состояния в медленных процессах) достигнут квазистационарного состояния. Это значит, что в “быстрых” уравнениях можно пренебречь производной по времени, и соответствующее уравнение превратится из дифференциального в алгебраическое. Следовательно, динамические переменные, относящиеся к быстрым процессам, могут быть исключены из уравнений, описывающих медленные процессы. Все это приводит к редукции системы.
-
Анализ моделей. Во многих случаях математическая модель дает только качественные описания реального объекта. Оно может быть дополнено количественным описанием, т.е. моделироанием с более высоким уровнем адекватности. Однако к более высокому уровню адекватности не всегда целесообразно стремиться: чем выше уровень адекватности, тем сложнее модель, и тем труднее ею пользоваться.
Порядок планирования эксперимента с целью составления математической модели
Основной целью проведения современного эксперимента является разработка математической модели, адекватно описывающей процесс. При планировании экспермента исследователь должен обесечить высокую надежность и четкость интерпретации результатов экспериментальных исследований; составить четкую и последовательную схему построения всего процесса исследования; максимально формализовать процесс разработки модель и сопоставления экспериментальных данных различных опытов одного и того же объекта исследований. Всем перечисленным требованиям отвечают статистические методы планирования эксперимента. При их использовании математическое описание процесса обычно представляется в виде полинома
