Конспект (Лекции по технике эксперимента), страница 3

Рис. 2. Производственное распределение параметра.

1. Вычислить статистические характеристики производственного распределения:

• определить выборочные статистические характеристики, см. (3), (4), (6).

• определить границы существования истинного значения параметра (доверительный интервал):

(20)

1. Проверить гипотезу о нормальности производственного распределения по критерию Пирсона.

4. ВЫЯВЛЕНИЕ НАИБОЛЕЕ СУЩЕСТВЕННЫХ ДЛЯ ИССЛЕДУЕМЫХ УСТРОЙСТВ И ПРОЦЕССОВ ФАКТОРОВ.

При исследовании сложных процессов на первых этапах работы необходимо учитывать очень большое число исследуемых факторов, что, несомненно, усложняет исследования. Отсюда возникает необходимость в предварительном отсеивании несущественных факторов.

Основными методами, позволяющими с минимальными затратами выделить из большого числа факторов доминирующие, т.е. оказывающие наиболее существенное влияние на ход процесса, являются метод ранговой корреляции и метод дисперсионного анализа.

МЕТОД РАНГОВОЙ КОРРЕЛЯЦИИ

Метод ранговой корреляции позволяет в ряде случаев сравнительно просто отбросить перед проведением экспериментов несущественные факторы, основываясь на опросе мнений специалистов, работающих в данной области. Процедура определения степени влияния различных факторов на выходной параметр этим методом сводится к следующим этапам.

1. Экспериментатор составляет перечень факторов, которые, по сведениям информационных источников, могут оказать влияние на исследуемый процесс.

2. Возможно более широкому кругу специалистов предлагается расположить представленные в перечне факторы в порядке убывания степени их влияния. При этом специалист может дополнить список.

3. Результаты опроса представляют в виде таблицы – матрицы рангов (табл. 1), где для каждого фактора указывается место, которое он занимает у каждого специалиста. Первое место присваивается наиболее существенному фактору (его ранг А_ij=1). По мере уменьшения влияния фактора величина рангов возрастает.

Чем меньше сумма рангов рассматриваемого фактора, тем более высокое место он занимает в ранжировке, и, следовательно, большее влияние должен оказывать на выходной параметр.

Таблица 1

Специалист / факторы	Х1	Х2	...Xj...	Хk
1-й спец-т	А11	А12		А1к
2-й спец-т	А21	А22		А2к
.......i-й спец-т.....
n-й спец-т	Аn1	Аn2		Ank
Cумма рангов данного фактора

1. По полученной матрице рангов строят диаграмму рангов (рис. 3). Если распределение на диаграмме рангов равномерно, а изменение суммы рангов незначительно, то это значит, что хотя специалисты и отводят неодинаковые места факторам, но делают они это неуверенно. В этом случае целесообразно все факторы включить в эксперимент. Наиболее благоприятен случай быстрого экспоненциального уменьшения степени влияния факторов. При этом появляется возможность отбросить ряд факторов на основе проведенного опроса.

Рис. 3. Диаграмма рангов.

ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

Применение метода ранговой корреляции не позволяет достаточно точно сделать вывод о характере влияния фактора (систематическое или случайное). Для этого используется метод дисперсионного анализа (ДА), который позволяет оценить значимость дисперсии, обусловленной действием соответствующего фактора, в сравнении с дисперсией, обусловленной действием фактора случайного. Как правило, ДА используется для выявления факторов, слабо влияющих на выходной параметр. Основные предпосылки метода следующие:

• серии наблюдений представляют собой случайные выборки из генеральных совокупностей, подчиняющихся нормальному распределению,

• дисперсии, обусловленные ошибкой эксперимента, однородны.

Рассмотрим этапы проведения однофакторного ДА.

1. Из множества факторов, влияющих на рассеяние выходной величины y, выбирается фактор, например А, имеющий наибольшее влияние на это рассеяние. Его делят на несколько (k) уровней: А₁...А_к. Остальные факторы являются фоном (ошибкой эксперимента), их рандомизируют.

2. На каждом i-м уровне фактора для повышения точности и оценки фактора случайности проводится по n наблюдений с целью измерения выходного параметра (функции отклика). (Для упрощения расчетов целесообразно число параллельных опытов сделать одинаковым.) Результаты измерений заносятся в таблицу (табл. 2).

Таблица 2.

Наблюдения \ уровни фактора	А1	...	Аi	...	Ak
1	y11		y1i		y1k
...
j	yj1		yji		yjk
...
n	yn1		yni		ynk
Средние по выборкам
Дисперсии по выборкам	S21		S2i		S2k

1. При соблюдении условия воспроизводимости эксперимента по данным таблицы вычисляются оценки дисперсии, связанные с

- изменением уровней исследуемого фактора, т.е. дисперсия между выборками s_A² :

(21)

г де в числителе стоит сумма квадратов отклонений средних значений выходного параметра на каждом уровне исследуемого фактора от главного экспериментального среднего, определяемого по формуле:

(22)

- и ошибкой эксперимента, т.е. дисперсией, характеризующей рассеяние внутри выборок, s_ош²:

(23)

где s_i² – дисперсия внутри i-ой выборки.

1. Для проверки гипотезы об отсутствии эффекта уровней исследуемого фактора используется критерий Фишера:

(24)

Если расчетное значение критерия окажется меньше табличного, которое находится исходя из заданного уровня значимости и чисел степеней свободы f₁=k-1 и f₂=kn-k, то делается вывод о том, что результаты эксперимента не противоречат выдвинутой гипотезе. В противном случае следует сделать вывод о том, что исследуемый фактор вносит существенный эффект в разброс выходной величины y.

ДА более эффективно применять при значительном объеме выборки, поскольку при этом удается выделить даже слабое влияние фактора на фоне шума. ДА можно использовать и при оценке нескольких факторов (как правило, не более трех) – двух- и трех- факторные ДА. В этом случае удается выявить (или констатировать отсутствие) влияние не только самих факторов, но и их взаимодействий.

Двухфакторный ДА при отсутствии параллельных наблюдений применяется для изучения влияния на процесс одновременно факторов А и В, между которыми нет взаимодействия (табл. 3).

Таблица 3

В	А					Средние по выборкам
	А1	...	Аi	...	Ak
В 1	y11		y1i		y1k
...
В j	yj1		yji		yjk
...
В n	yn1		yni		ynk
Средние по выборкам
Дисперсии по выборкам	S21		S2i		S2k

Чтобы оценить фактор случайности, следует определить средневзвешенную дисперсию по столбцам, обусловленную влиянием фактора В и фактора случайности (S²_B – S²_ош), и вычесть из нее рассеяние в средних по строчкам, связанное с влиянием фактора В и фактора случайности (учитывая, что дисперсия среднего в n раз меньше дисперсии единичного измерения: S²_B – S²_ош / k). После преобразований получится, что:

(25)

с числом степеней свободы (k-1)(n-1).

Рассеяние в средних по столбцам относительно общего среднего не зависит от фактора В, т.к. все уровни фактора В усреднены, а только от влияния факторов А и случайного, тогда:

(26)

c числом степеней свободы k-1.

Рассеяние по строчкам не зависит от фактора А и:

(27)