Лекция_8 (Лекции в электронном виде), страница 2

Гораздо проще определяются собственные частоты колебаний системы в случае, если система дифференциальных уравнений составлена в главных координатах:

Так как в этом случае все уравнения независимы, то решение каждого из этих уравнений можно записать в хорошо известной вам форме:

,

коэффициенты и определяются из начальных условий движения системы, а собственные частоты по хорошо известной вам зависимости:

Таким образом, можно отметить, что колебания каждой главной координаты происходят по гармоническому закону, в то время как для простых обобщенных координат они происходят по сложному полигармоническому закону.

Задача 1

Стальной цилиндр радиусом r и массой M может кататься без проскальзывания по горизонтальной плоскости. К оси цилиндра подвешен маятник массой m и длиной l. Считая стержень невесомым, составить систему дифференциальных уравнений свободных колебаний и определить собственные частоты.

Решение.

Для составления дифференциальных уравнений воспользуемся основным способом, а именно уравнением Лагранжа II-го рода. За обобщенные координаты примем угол поворота цилиндра и угол отклонения маятника от положения равновесия .

Кинетическая энергия системы складывается из кинетической энергии движения цилиндра T₁ и колебаний маятника T₂. Кинетическая энергия цилиндра определяется как:

С корость массы маятника m складывается из скорости качения и скорости перемещения оси цилиндра . В соответствии с рисунком, абсолютная скорость маятника определяется на основании теоремы косинусов:

Таким образом, кинетическая энергия маятника:

Изменение потенциальной энергии системы происходит только за счет изменения положения маятника:

Таким образом, имеем:

,

и

После подстановки полученных зависимостей в уравнение Лагранжа II-го рода имеем:

Так как мы рассматриваем малые колебания системы, то в первом приближении можно считать, что и . Тогда:

Поскольку система совершает малые колебания, то, очевидно, произведение представляет собой величину третьего порядка малости, и ею можно пренебречь. Поэтому окончательно запишем:

Для определения собственных частот колебаний системы положим

и ,

и подставим эти частные решения в исходные дифференциальные уравнения:

Для получения нетривиального решения система должна иметь определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, равный нулю:

,

или, после раскрытия определителя:

Таким образом, получаем:

Задача 2.

Л юбой автомобиль можно представить в виде некоторой балки, обладающей массой m и моментом инерции J относительно центра масс, соединенной с колесами рессорами жесткости и . Пренебрегая упругостью шин, составить дифференциальное уравнение движения системы и определить собственные частоты.

Решение

Опять для решения воспользуемся уравнением Лагранжа II-го рода. В качестве обобщенных координат принимаем вертикальное перемещение центра масс y и угол поворота корпуса . В этом случае сравнительно легко находятся выражения кинетической и потенциальной энергий системы:

Откуда:

Подстановка этих выражений в уравнение Лагранжа дает следующую систему:

Произведем небольшие преобразования:

И, в соответствии с ними, система уравнений примет вид:

Принимаем, что частное решение системы имеет вид:

Подставляя это решение в исходное уравнение, получим:

откуда для получения нетривиального решения имеем:

,

или, после раскрытия определителя:

.

Решение последнего уравнения позволяет определить собственные частоты системы:

В заключение отметим, что выражение для определения кинетической энергии системы получилось в канонической форме записи, поэтому структура дифференциального уравнения соответствует структуре, получаемой при прямом способе составления уравнений движения.