Лекция_7 (Лекции в электронном виде)

Лекция 7.

Супергармонические колебания

В некоторой технической литературе колебания нелинейной системы с высшими гармониками называются еще ультрагармоническими.

Для того, чтобы отразить в решении супергармонические колебания, будем искать временную функцию в виде суммы соответствующих гармоник. Для симметричной характеристики восстанавливающей силы оно может быть записано в следующем виде:

.

То есть, изменение обобщенной координаты во времени будет иметь некоторый периодический закон с периодом, равным периоду первой гармоники.

Периодическое изменение обобщенной координаты приведет, однако, к периодическому закону изменения восстанавливающей силы во времени. Причем периоды этих двух функций будут одинаковыми. Это обстоятельство позволяет разложить нелинейную зависимость восстанавливающей силы в ряд Фурье:

,

где и коэффициенты разложения в ряд Фурье .

Теперь потребуем, чтобы записанное выше решение дифференциального уравнения удовлетворяло его:

Для того, чтобы полученное равенство тождественно удовлетворялось, необходимо потребовать равенство коэффициентов при одинаковых гармониках, стоящих слева и справа:

Таким образом, мы получили i уравнений относительно такого же количества неизвестных амплитуд . Решение этой системы уравнений и позволяет определить эти неизвестные величины.

Определим амплитуды колебаний нелинейной системы с кубической зависимостью восстанавливающей силы:

.

При решении задачи ограничимся только двумя первыми гармониками, то есть

В этом случае:

.

Коэффициенты разложения в ряд Фурье:

Из условия равенства коэффициентов при одинаковых гармониках имеем:

или:

Решение полученной системы уравнений относительно неизвестных и представляет достаточно сложную задачу. Однако, на сегодняшний день разработаны численные методы, позволяющие решить записанную систему уравнений с помощью ЭВМ.

Субгармонические колебания

Так же, как и в предыдущем случае, рассмотрим систему с симметричной характеристикой восстанавливающей силы. Положим, что на основную гармонику накладываются гармоники с частотами , где . Для простоты исследования рассмотрим основные колебания совместно только с первой субгармоникой, то есть:

В этом случае система будет совершать периодические колебания с периодом, равным периоду низшей гармоники . Закон изменения восстанавливающей силы во времени также будет периодическим и с тем же периодом . Это обстоятельство позволяет разложить функцию в ряд Фурье. Ограничиваясь только двумя первыми гармониками, получим:

где

Далее, поступая точно так же, как и для супергармонических колебаний, снова получаем систему двух нелинейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными амплитудами и .

Исследования субгармонических колебаний показали, что в системах с жесткой (мягкой) характеристикой они возможны лишь при достаточно больших (малых) значениях возбуждающей частоты . Однако, если субгармонические колебания возникают, то их амплитуды могут значительно превосходить амплитуды основных колебаний.

Появление в системе диссипативных сил приводит не только к значительному уменьшению амплитуды субгармонических колебаний, но и, в некоторых случаях, к их полному подавлению.

Параметрические колебания

Прежде чем приступить к исследованию такого вида колебаний, рассмотрим предварительно несколько примеров, в которых возникающие колебания обусловлены изменениями параметров системы.

Пусть к некоторой балке приложена горизонтальная сила , изменяющаяся по некоторому временному закону. При малых отклонениях балки от положения равновесия на угол на нее действуют момент сил упругости пружин и момент от продольной силы . Таким образом, используя квазистатический метод, получим дифференциальное уравнение движения балки:

где момент инерции балки относительно ее точки опоры.

Как видим, в полученном уравнении коэффициент обобщенной жесткости является функцией как конструктивных параметров системы, так и времени:

.

В о втором примере пусть точка подвеса маятника совершает вертикальные перемещения по некоторому закону . Тогда, используя квазистатический метод, составим уравнение движения маятника. Для этого определим сумму моментов, действующих на систему относительно точки подвеса маятника:

Таким образом, коэффициент обобщенной жесткости так же, как и в предыдущем случае, является функцией конструктивных параметров системы и времени.

Итак, колебания механической системы, возникающие в результате изменения во времени коэффициента обобщенной жесткости, называются параметрическими. Если внимательно проанализировать рассмотренные два примера, то можно прийти к выводу, что необходимым условием возникновения параметрических колебаний является наличие отклонения системы от положения равновесия. Если такого не будет, то, как бы мы ни изменяли силу , приложенную к балке, или положение точки подвеса маятника, никаких колебаний без начального отклонения системы от положения равновесия не возникнет.

Используя дифференциальные уравнения движения систем в рассмотренных примерах, можно записать уравнение параметрических колебаний любой механической системы в общем виде:

Особый интерес представляют параметрические колебания системы в случае периодического изменения во времени коэффициента обобщенной жесткости, когда , где T – период изменения обобщенной жесткости системы. При этом амплитуда таких колебаний может либо оставаться постоянной, либо неограниченно возрастать. Во втором случае, очевидно, речь можно вести о резонансных режимах движения системы. Эти режимы в теории колебаний называют параметрическим резонансом. Основной задачей исследования параметрических колебаний и является выявление режимов параметрических резонансов.

Итак, займемся сначала исследованием консервативной механической системы. Приведем записанное выше дифференциальное уравнение к виду:

где

Следует, однако, отметить, что получить решение исходного дифференциального уравнения при произвольной периодической функции невозможно. Это уравнение решается только в двух случаях: при изменении функции по закону прямоугольного синуса и по закону тригонометрического синуса.

Параметрическое возбуждение по закону прямоугольного синуса

Пусть функция изменяется по закону прямоугольного синуса с периодом T:

.

В этом случае исходное дифференциальное уравнение можно записать в следующем виде:

На каждом полупериоде движения системы дифференциальное уравнение имеет постоянные коэффициенты и его можно разбить на два уравнения:

Решение каждого из этих двух уравнений имеет хорошо известный вам вид:

где

Итак, в полученном решении имеются четыре постоянные интегрирования: , для определения которых необходимо составить 4 уравнения.

Два уравнения отыскиваются сравнительно просто из условий стыковки решений при : .

Или:

Для составления еще двух уравнений запишем следующие соотношения:

где – некоторая неизвестная пока величина.

Принятое условие предполагает, что за один период обобщенная координата и обобщенная скорость системы изменяются в раз. При этом в случае колебания на каждом периоде будут усиливаться и можно говорить о параметрическом резонансе. При колебания будут затухающими и не представляющими опасности. В случае колебания системы будут установившимися.

Таким образом, на основании принятых условий можно записать:

В итоге наших рассуждений мы получили четыре алгебраических уравнения с четырьмя неизвестными величинами:

Из курса математики известно, что для получения нетривиального решения, то есть решения, отличного от нуля, необходимо, чтобы определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, был равен нулю:

Раскрыв этот определитель, получим квадратное уравнение относительно неизвестной величины :

где

Записанное уравнение будет иметь следующие корни:

Очевидно, что для того, чтобы числа и были вещественными, как это мы предполагали по смыслу решаемой задачи, должно быть , то есть либо и тогда , либо и тогда .

Из этого следует, что, если условие выполняется, то колебания будут носить расходящийся характер. Таким образом, это условие является условием возникновения параметрического резонанса.

Коэффициент A зависит от двух параметров системы: и , это означает, что их значения полностью определяют устойчивость системы.

Для нахождения значений и , при которых система устойчива, используют диаграмму устойчивости, которая строится в координатах .

В незаштрихованных областях значения параметров и таковы, что условие выполняется, то есть система неустойчива. Заштрихованные области диаграммы соответствуют устойчивым состояниям системы.