Лекция_4 (Лекции в электронном виде), страница 3

,

где .

Из приведенной зависимости видно, что при сколь угодно малых начальных условий движения системы и возникают колебания, амплитуда которых возрастает по показательному закону.

Примером механической системы, в которой возникает «отрицательное трение», может служить следующая система, состоящая из тела 1, упругого элемента 2 и барабана 3, которым прижат к телу и вращается с постоянной угловой скоростью. Между барабаном и телом действует сила «сухого» трения R, характеристика которой имеет вид:

В отличие от ранее принятой, эта характеристика «сухого» трения более близко отражает реальные процессы, происходящие при взаимодействии двух трущихся друг о друга тел. Она имеет два участка: падающий и возрастающий .

Пусть скорость скольжения при равновесном состоянии равна V₀, и ей соответствует сила R₀. В этом случае равновесие будет выражаться уравнением:

,

откуда:

.

Теперь рассмотрим движение тела около положения равновесия. В этом случае скорость скольжения перестает быть постоянной величиной и определяется выражением:

,

которая в соответствии с приведенной графической зависимостью определяет силу трения R. При малых колебаниях скорость мала по сравнению с , что позволяет считать зависимость линейной:

, где .

В этом случае дифференциальное уравнение движения системы можно записать в следующем виде:

, или

Из полученного уравнения видно, что при и в соответствии с критерием Ляпунова колебания будут затухающими. Если же , то и амплитуда колебаний будет со временем увеличиваться.

Таким образом, если , то состояние равновесия устойчиво, если же , то после любого сколь угодно малого возмущения в системе происходит самовозбуждение колебаний. Следует отметить, что с увеличением амплитуды колебаний линеаризованное представление силы трения будет все менее точным, и для анализа необходимо будет учитывать действительную характеристику .