Лекция_13 (Лекции в электронном виде)

Лекция 13

Поперечные колебания стержней с распределенной массой

Рассмотрим теперь поперечные колебания призматического стержня в плоскости zx.

Так же, как и ранее, в случае колебаний растянутой нити, через x обозначим поперечное перемещение малого элемента стержня dz, расположенного на расстоянии z от левого конца. Обозначим силы и моменты, действующие на этот элемент: сила инерции , где – плотность стержня, F – площадь поперечного сечения стержня. Запишем теперь условие динамического равновесия сил, действующих в направлении оси x:

,

и условие равенства моментов относительно центра масс элемента:

Последнее слагаемое во втором уравнении представляет собой величину второго порядка малости, поэтому ее можно в дальнейшем исключить из уравнения. В результате получим:

или, подставляя в первое уравнение второе, получим:

Из теории сопротивления материалов известно, что изгибающий момент, возникающий в поперечном сечении стержня, связан с величиной прогиба соотношением:

где E – модуль упругости материала первого рода, I – момент инерции поперечного сечения.

Таким образом, окончательно получим:

или

где .

Решение полученного уравнения будем искать, как и в предыдущих случаях, в виде произведения двух функций:

,

где – амплитудная функция, зависящая от координаты z;

– некоторая временная функция.

Подставим записанное решение в исходное дифференциальное уравнение:

или

.

В этом уравнении можно легко разделить переменные:

или

Для решения этого уравнения воспользуемся методом Эйлера, приняв

.

Подставим это решение в исходное дифференциальное уравнение, предварительно введя обозначение :

или

.

Для получения нетривиального решения мы должны принять:

;

Таким образом, амплитудную функцию можно представить в виде:

Или, используя формулы Эйлера из теории функций комплексного переменного, получим:

при этом постоянные D, E, F, Q определяются в зависимости от условий закрепления концов стержня.

Так, для шарнирно-опертого конца величины прогиба и изгибающего момента равны нулю:

на защемленном конце равны нулю прогиб и угол наклона:

н а незакрепленном конце обращаются в нуль изгибающий момент и поперечная сила:

для упругой опоры в отношении поперечных смещений поворотов поперечных сечений:

Таким образом, условия закрепления концов стержня позволяют составить четыре уравнения относительно четырех неизвестных D, E, F, Q. Решение этих уравнений позволяет определить частоты и формы собственных колебаний.

Решение второго дифференциального уравнения хорошо известно:

Поэтому общее решение можно записать как сумму частных решений:

где частоты и связаны зависимостью .

В качестве примера рассмотрим свободные колебания шарнирно-опертой балки, для которой можно записать следующие концевые условия:

Запишем амплитудную функцию:

;

.

Используем записанные условия:

Из полученных двух равенств следует, что .

Теперь воспользуемся двумя оставшимися условиями:

Из второго равенства выразим величину и подставим ее в первое:

Очевидно, для получения нетривиального значения необходимо:

.

Определив частоты собственных колебаний, найдем:

Таким образом, амплитудные функции в рассматриваемом случае имеют вид:

а общее решение:

или

.

Нетрудно доказать, что коэффициенты и являются коэффициентами разложения функций начальных условий и в ряд Фурье, то есть:

Рассмотрим подробно еще один способ закрепления стержня. В этом случае условиями закрепления концов стержня будут следующие соотношения:

Запишем амплитудную функцию:

Подставим граничные условия:

или

Для получения нетривиального решения необходимо, чтобы определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, был равен нулю:

.

Раскрыв определитель, получим:

Используя соотношения и , получим:

.

Решением этого уравнения будут следующие корни:

Таким образом, амплитудная функция будет иметь вид:

,

или

,

а общее решение при i-ой частоте будет иметь вид:

где

Нетрудно доказать, что при заданных начальных функциях распределения перемещений и скоростей и :

Вынужденные колебания шарнирно-опертого стержня

Рассмотрим вынужденные колебания балки под действием различных видов внешней нагрузки.

Н ачнем с наиболее простого случая, когда на балку действует некоторая сосредоточенная сила , приложенная на расстоянии от левого конца балки. Так же, как и для случая продольных колебаний, запишем общее решение задачи в виде произведения двух функций:

.

Вид амплитудной функции для такого закрепления концов балки был нами ранее определен . Таким образом, можно записать:

,

где будем определять на основе принципа возможных работ. Для этого определим работы всех сил на возможном перемещении балки .

Работа сил инерции:

Работа поперечных сил V:

Работа упругого момента:

Работа внешней силы P:

Таким образом, получим следующее дифференциальное уравнение:

или

Считая начальные функции и равными нулю, решение полученного дифференциального уравнения можно записать в форме интеграла Дюамеля:

Общее решение:

П усть теперь к балке приложена распределенная нагрузка, изменяющаяся во времени. В этом случае работа внешней силы:

И дифференциальное уравнение относительно :

решение которого можно записать в форме интеграла Дюамеля:

П усть к точке балки с координатой приложен изгибающий момент M. Его работа на возможном перемещении:

,

,

и

Т еперь пусть сосредоточенная сила движется по балке с постоянной скоростью V. Тогда работа этой силы:

,

дифференциальное уравнение:

решение которого:

Влияние осевой силы на поперечные колебания стержня

Рассмотрим теперь балку, нагруженную осевой силой S.

В этом случае сумма проекций сил на вертикальную ось:

Уравнение моментов остается таким же, как и для балки, ненагруженной продольной силой S:

или с учетом :

.

Таким образом, получим:

.

Решение этого уравнения можно представить в известной форме:

.

Подставляя его в исходное дифференциальное уравнение, получим:

.

Решение этого уравнения будем искать в форме Эйлера, приняв , тогда:

,

или, введя обозначения и :

Дальнейшее решение определяется соотношением величин и .

Напоследок, составим дифференциальное уравнение колебаний балки на упругом основании: