Полезная книга

пгвдисловив й! .сава, май !98! г. Б. А. Севастьянов теоретико-вероятностные понятия введены в простом случае конечного вероятностного пространства. Приведен ряд примеров, в которых указана связь вводимых математических понятий с теми или иными свойствами реальных явлений,Общий случай основан на способенза:ожсння, который связан с введением интеграла Лебега без теории меры.

На 4-м семестре, когда студенты еше пс знакомы с соответству!ощимн понятиями функцногального анализа, аксиоматическп вводится понятие вероятностной меры н па се основе определяется матемагическос ожидание как интеграл Лсбега. Теорема Каратсодори о продолжении моры формулируется без доказательства. Понятия условного распределения вероятностей н условного математического ожидания даны не в полном объеме, а лишь в простых случаях дискретных и абсолютно непрерывных распределений, В основном автор старался опираться лишь на знание студентамп классического математического анализа. Главы 1 — 5 связаны в основном с конечными вероятностными пространствами. В этих главах введены основные понятия вероятности, математического ожидания, независимости, случайной величины.

Распространение этих понятий на общий случай дано в главах 6 — 12. Главы 13 — 16 посвящены некоторым задачам математпч ской статистики. Каждая глава сопровождается небольшим количеством задач. Однако автор предполагает, что читатель использует какой-нибудь задачник !например, Севастьянов В. А., Вист яков В. П., 3 у б к о в А. М. Сборник задач по теории вероятностей, — М,: Наука, 19801, Г л а в а 1. ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО ф 1. Предмет теории вероятностей Сочетание слов «теория вероятностей» на неискушенного человека производит несколько странное впечатление. В самом деле, слово «теория» связывается с наукой, а наука изучает закономерныс явления; слово «ве.

роятность» в обычном языке связывается с чем-то неопределенным, случайным, незакономерным. Поэтому люди, знающие о существовании теории вероятностей только понаслышке, говорят о ней часто иронически. Однако теория вероятностей — зто большой, интенсивно развивавшийся раздел математики, изучающий случай. ные явления. Так в чем же тут дело? Как разрешить это противоречие между тем, что теория вероятностей— это наука, а ее предмет — случайность, которая, казалось бы, не поддается никакому научному предсказзннюг Как мы увидим ниже, противоречие здесь только кажущееся, так как теория вероятностей изучает вако.

номерности случайных явлений. Математика, как и любая другая наука, изучает закономерные явления реального мира, Связь между математикой и объектом исследования можно изобра« вить схематически следующим образом (сы. рис. 1). Классическим примером такой схемы является механика, созданная Ньютоном. На основе многовековых наблюдений движений небесных тел, а также практической деятельности людей, связанной со строительством и производством, Ньютон сформулировал несколько простых законов механики в виде аксиом и закон всемирного тяготения, нз которых дедуктивными рассуж дениями можно было объяснить все явления, которые наблюдались ранее, а также предсказать многие новые факты.

Построение математических моделей реальных механических и физических процессов привело к созда. нию математического анализа„ Гл. у. ВВРОятнОстное пРОстуулнстВО $ Ь ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕИ Закономерное событие- это событие, которое всегда осуществляется„как только создаются определенные условна. Закономерное явление — это система закономерных событий. Роль математики, в частности теории дифференциальных уравнений, прн изучении реальных закономерных явлений общеизвестна.

Но наряду с закономерными мы Все врсмя сталкиваемся В практической деятельности с событиями незакономерными или, иначе„ случзйнымн. Это события, которые при одних н тех же условиях иногда происходят, а иногда — нет. Например, человек, заболевший гриппом в период эпидемии, может выздороветь, может получить те нлн нные тягкедые осложнения, нлн умереть. Таким образом, исход заболевания гриппом у я с ууу.ус случаен. Казалось бы, что там, где мы имеем дело со случайпымн Рис, к событсяяи, науке, в частности математике, делать нечего. Ведь наука открывает научные законы, которые помогают предсказывать течение того нлн нного процесса или явления, а слу чайное явление — это как раз такое явление, предсказать исход котойосо.

невозможно. Однако н случайные события подчиняются некоторым закоууомерлостялц которые мы назовем аеролтностиьууяу1 закономерностями. Прюкде всего условимся, что мы будем иметь дело не со Всякнмн случайнымн событиями, В с нсссовыл.и случайными событнямп, т. е. мы будем пред,юлагать, что В грннцнпе Возможно создать много раз одни и те же услоеня, аон каждом из которых может произойти и;ш нет некоторое случайное событие. ПУУУ ~РЦ «УВУ,; СУ УУР~~, У УУ РР.. У.

.ЗисйОССОбмуту.Е сн Оеущсств!.:-уСЕТСЯ Л'(7!) раЗ.%1СЛО ууу1(А) УуУВУУСй Ж У, ° ' «. УУУАУУУУ— ОР оснг ой часгогой события Л. Оусазывается, при больших Л' Отиоснте. Вая частота лу'(А)/Л1 для случаИ- ных массовых событий обладает уак называемым свойссасум устойчнсостн, которое состоит в том, что в нескольких серны нз достаточно больших ууу'н ууУВ ..,, ууУ, наблюдений события А в одних и тех же условиях мы обычно имеем приблнжаниые равенства ж (л) 'ч (л) л' (л) '" у уул И4 Таким образом, относительная частота событцч А ко.

леблется около одного и того же числа, которое характеризует данное случайное событие А. Это число Р(А) в соответствующей математической модели мы будем называть вероятностью события А. Например, мы мо. жем много раз подбрасывать одну н ту же монету„ Пусть случайное событие А — это ьыпаденне герба при одном бросаннВ. В случае бросания «правильной» (симметричной, однородной) монеты Р (А) = 1/2.

Статистика рождений показывает, что мальчиков рождается не. сколько больше, чем девочек, причем наблюдаемаядоля рождений мальчиков равна 0,51 — 0,52 (в разные перно* ды, в разных странах могут быть колебания). Медицин. ская статистика свидетельствует О том, что смертность от гриппа имеет малую, но ненулевую вероятность (поэтому в условиях массовой эпидемии число смертных случаев от гриппа становится заметным).

Устойчивость частот — это объективное свойствомассовых случайных явлений реального мира, Отсутствие устойчивости частот в сериях испытаний свидетельствует о том, что условия, при которых производятся испытания, претерпевают значительные изменения. Теория Ве роятностей — это математическая наука, которая изучает математические модели случайных явлений. Если говорить более подробно, то теория вероятностей устанавливает такие связи между вероятностями случайных событий и математических моделях, которые позволяют вычислять вероятности сложных событий по Вероятисустям более простых событий. .: В теории вероятностей используются результаты и методы многих областей математики (комбинаторики„ математического анализа, алгебры, логики и т.

и.), Однако теория вероятностей обладает некоторым своеоо. разнем, поскольку она очень тесно связана с различными приложениями, причем приложения эти не столь привычны, как, например, приложения дифферепциаль. нь)х уравнений. Поэтому овладеть теорией вероятностей 1а й 2. СОБЫТИЯ 1й ГЛ. 1. ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО может лишь тот, кто решает много задач (эти задачи часто имеют нематематическую постановку, и надо уметь построить соответствующую математическую модель) и приобретает, таким образом, теоретико-верояг.

ностну1о интуицию. в 2. События Одним из основных понятий теории вероятностей является случайное событие или, как мы будем чаще го. ворить, просто событие. В реальном мире случайное событие — это исход (какого-либо испытания, наблюдения, эксперимента), который может произойти (насту. пить, осуществиться) или не произойти (не наступить, не Осуществиться) . Пример 1. При бросании игральной кости') может выпасть число Очков, равное какому-либо числу из множества чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Событиями в этом случае будут, например, А =(выпадает четное число очков», В=-(выпадает число очков, не большее трех), В математической модели можно принять понятие события как первоначальное, которому не дается определения н которое характеризуется лишь своимн свой. ствами. Исходя из реального смысла понятия события, мы можем определить следующие частные случаи поня' тня события н следующие операции над событиями. В тех случаях, когда мы одновременно рассматриваем несколько событий, мы всегда будем предполагать, что зги события могут произойти или не произойти прн Одном и том же испытании (т. е.

при осуществлении одних н тех же условий). Достоверным событием будем называть событие, которое всегда происходит, и будем его обозначать ьа. Пзаозлгожньги событием назовем событие, которое никогда не происходит, Обозначать невозможное событие будсл 8. Событие Л назовем событием, противо>толожным Л, ') И>ральвой костью называется кубик, сделапиый иа одиородного магериала, грани которого ааиумероваиы цифрами 1, 2, 3, а, 5, 6. Число очков, выпавглее при бросапии игральной кости,— ато цифра па веркией трави кубшга, если оно происходит тогда и только тогда, когда не происходит А.

Срмлшй или обвединенигм событий А и В назовем событие, обозначаемое А () В или А + В, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят нли А, или В (или оба вместе). Произведением нли пересечением событий А и В назовем событие, обозначаемое А Д В или АВ„ которое про. исходит тогда и только тогда, когда проис. ходят и А и В вместе. Разностью А~,В собы. тий А и В назовем со.бытие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит А и не происходит Удз А з В. События А и В назовем несозместнымм, если АВ = И. Мы будем писать А с: — В и говорить, что событие рис. й. сумма, проиаведеиие, ра о событий А и г>; событие А противобытне В, если из на- положио А ступления события А следует наступление события В.

Если А = В и В =А, то мы будем говорить, что события А и В равносильны, и писать А = В. В примере 1 с бросанием игральной кости имеем следующие события: А1)В=(выпадает число очков, отличное от пяти», АД В=(выпадает число очков, равное двум», А'13=(выпадает число очков, равное 4 или 6», А = (выпадает нечетное число очков», Пример 2. На квадрат случайно бросается частица (см. рис. 2); событие А=(частица попадает в круг А», .событие В = (частица попадает в треугольник В». ГЛ, 1, ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО Событии АЦВ, А ЙВ, А'ьв и А в этом случае — это попадание частицы в области, получаемые объединением, пересечением, разносттио областей А и В н доно-!- пением А в квадрате (на рис.