Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 3. Kratnye i krivolinejnye integraly (2001)(ru)(T)(224s) (Антидемидович), страница 6

Дифференцирование и интегрирование под знаком интеграла Применяя к последнему интегралу первую теорему о среднем, получаем ь Оь дь Ых = у'(б) ~ — = Я() !и —, Аа < г < АЬ. У(ах) — 1(Ьх) 1 ь(! Ь х а' Поскольку функция 1 непрерывна, то Вго,1(б) = 1(0), в силу чего из (1) вытекает, что д-+э существует + Р + / 1( х) — 1(Ьх) /' 1( х) — 1(Ьх) Ь л +э/ х / г а ь(=-ь ах, А > О, расходится, но существует / — -) Ых. где 1*(х) = Дх) — 1(+оэ). я Заыечание.

Может случиться, что интеграл Йп 1(х) = 1(-!-оо). а тазике сходится интеграл Тогда на основании изложенного Выше 1(ах) — 1(Ьх) Ых = (1(О) — Д+оо)) !п —. Ь х а э Вычнсщггь интегралы: -д* 62. 1(о)ьз / Их, о>0, !У>0. э ~ Пусть а > е > О, !у > е > О. Тогда функции —,-э ' У,(...)„1 .—, *ФО, О, х = О, :(х,о)ь -хе непрерывны в области о > е > О, интеграл э О да~ е — е Нх, х ь 2 в силу признака сравнения, сходится, а интеграл ( хе сз Нх, по признаку Вейерштрасса, э сходится равномерно (здесь х ь хе ьэ мажорантная Функция) на повуинтервале о > е. Поэтольу дифференцирование по о под знаком интеграла по теореме 1. п,3.1, возможно. Имеем -о за 1 (о) = — / хе" " ь(х ж — —, о > а > О. 2о' э Г / -а -д 'ь 66.

1(о)= / ~' ) ь!х, о>О, !3>О. х э Отсюда находим 1(о) = — — !д а+ р(!у). Очевидно, 1(!у) = О, Поэтому ьэ(!1) = ~ )д !у, !у > а > 0 Итак, 1(о) = -!в —, о > е > О. В силу произвольности е > О, этот ответ справедлив 1 д 1!о>О,р>0. М Зв Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра М Как и в п едыдущем примере, легко показать, что дифференцирование по а возможно Р (полагаем сначала, что а л е > О, )г > е > 0).

Тогда имеем +»о -(а+Л! -2«» 1 (а) = 2»!х. х о 2 Применяя формулу Фруллаии (см. пример 61), находим 1 (о) = 2 !и —. Отсюда интегрированием по а получаем 1(а) = — 2(а+ ф)(!л(а+»у) — 1) -1- 2а(!а 2о — !) + р(»у). Из условия 1(»У) = 0 следует, что»о(»У) = 2»У(!в 2»2 — 1). Поэтому 1(а)=!л, о>е>0, »3>е>0. (2а)2 2!у)зи (, ! р)2«22Е ' В силу произвольности е > 0 этот результат справедлив при а > О, »! > О. в +»а -«» -е» б4. 1(т)= / гйвте»!х, а>0, »У>0. х о М Дифференцируя по параметру т, получаем О«а 1 (т) = (е «" — е Л )соетх»!х.

о Дифференцирование под знаком интеграла по теореме 1, п.3.1, возможно, так как функции ,-о (т х)» з'л тх' * ~ ~' 1~: (т, х)» (е «» — е Е»)созте х=О, непрерывны в области -оо < т < +со, О < х < +ос; интеграл (1), в силу признака Вейерштрасса, сходится равномерно. а данный интеграл сходится. а Е а» Выполняя интегрирование в (1), находим Еа(т) = оот» е»+,„1» откуда 1(о') = агсгб „ агсгб ™ + С. Так как Е(0) = О, то С = О. Следовательно, 1(т) = агсгб -~Яг. и 1 65.

1(а) = ~ !х, )а! < 1. 1 !п(1 — а хэ) хэ 1/1 — х~ о М Пусть )а) < 1 — е, 0 < е < 1. Тогда при фиксированноы е функции — 2о непрерывны в области )а( < ! — е, (х) < 1. Интеграл 1(а) сходится по признаку сравнения, а интеграл 1 а»!х 1'(а) = — 2 (1 — аэхэ)~/à — х' о » г а силу признака Вейерштрасса, сходится равномерно (У (х, а)! <« (1-!1- )1») 1-»» 1 резке )а( «< 1-е.

Следовательно, дифференцирование по параметру а под знаком интеграла возможно при (а! «< 1 — е (см, теорему 1, п.З.!). 13. Дифференцирование в ввтегрврованве нод званом интеграла 39 Полагая в (1) х = згп Г, получаем э г Г г11 гга 1 (а) = -2 Е 1 — азэ1п 1 э/1 — ат о Отсюда находим 1(а) = те~1 — аэ + С. Так как 1(0) = О, то С = — т.

Следовательно, 1(а) = т (~/1 — аэ — 1) . (2) В силу произвольности з. заключаем, что этот ответ пригоден при )а! < 1. Нетрудно видеть, что функция 1 непрерывна в области (а) < 1, )х) < 1. В силу признака Вейерштрасса, интеграл 1(а) сходится равномерно на сегменте )а) < 1 ()Е(х, о)) < ээ ~Г г )' Следовательно, функция 1 непрерывна при )а! < 1. Поэтому 1(ж1) = Бгп 1(а), т. е.

м) г-о форыула (2) справедлива при а = ж1. Ь 1 ,э 2 66. 1(а) = п( а,* ) (х, ~а~ <1. ьЕЕ - хэ э И Аналогично предыдущему (см. пример 65) получаем 1 г(с=-г Е' ' гг =( . (' д:.) о Отсюда находим 1(а) = — т 1п(1 + Я вЂ” а~) + С, )а! < 1. Поскольку Е(0) = О, то С ш гг 1п 2. Следовательно, 1 1+Я:аат 2 В силу непрерывности исходного интеграла при )а) < 1 это выражение справедливо также при )а) » <1. > + ээ 1 О Функции 1:(х,а)г, Е„:(х,а)г агс13 ах 1 ххах~ — 1 х(1 -~. отхэ) /хэ — 1 непрерывны в области 1 < х < +ос, — оо < а < +оо; интегралы Еээ э о -" / агсгб ах / г1х йх, х~7хŠ— 1 ' / х(1 1.

аэхэ)с~~х~ — 1 1 г равномерно сходятся по признаку Вейерштрасса, так как )ажгбах) х 1 хзДхэ — 1 2хэъ/х' :1' х(1 (-аэхэ)ъ/хэз: 1 х7хэ — 1 и соответствугощне интегралы от мажорирующих функцкй сходятся. Следовательно, функции 1 и 1' непрерывны прн всех а и дифференцирование иод знаком данного интеграла возможно. Имеем Эээ г1х 1(а) = х(1+ аэхз)„/хэ:1' 1 40 Гл. 1. Интегралы, зависягдие от параметра Полагая здесь х = с!г г, получаем 1'(о) = б ! 1 — " ), откуда 1(а) = -(о — т/1+ ог) + С, г ~ рг+„гг' г о > О. Поскольку 1(0) = О, то С' = г .

Таким образолг, 1(о) = -(1 + а — г/1+ а ), а > О. Аналогично при а. < 0 получаем 1(а) = — ~(1 — а — чгГ+ о~). Окончательно имеем 1(о) = д(1 + [а[ — э/Г+ ог) вбп о, [о[ < со. и 68. 1(о)= / и( +х )9х. / йг !хг о ° л пусть 9 ~ О. Тогда функции непрерывны при 0 < х < +ю, -ж < а < +эо: интеграл 1(а) сходится равномерно, в силу признака Вейерштрасса, на люболг отрезке [-А, А], г г г г, гг(х) = гоах([!п(А + х )[.

)!п~ [) . Питеграл 2о 9х '() = /'(. +.)(9+.) о также сходится равномерно, ио только иа отрезке 0 < е ( [о[ ( А. Действительно. в этом случае 2о 2А (аг -~- хг)(йг + хг) (хг + хг)(йг + хг) и интеграл / Р(х) 9х сходится. о Такам образом, функция 1 непрерывна г'а б) — оо, +ос[, а функция 1' непрерывна при [а[ >О. Выполняя интегрирование в (1), получаем 1'(а) = "", а9 ф О, откуда 1(а) ы в !п([а~+ [9 ) + С. Поскольку / !пх 2 / !в[9[ 2 / !и !9! 2!и [3[ / й !п[,9[ ""-'/ 9+. "*- И~ / + с"+Р[/ + — ~9[ / + -' ~Я о о о о то С = О.

Окончательно имеем 1(а) = — 1в([а[+ [г9[), 9 ~ О. Заметим, что если 9 = О, то данныи интеграл сходится только при [а[ = 1. В этом случае аоо г !о(Зфх~! интегРиРованием по частим легко Установить, что 1 ~г 4х = х. ь о /' асс!бах . агс!0,9х хг о м Очевидно, 1(о, р) = / 1(х, а, р)лх, где о / г, ого!бах агсгбйх, х ~ О, а,9. х = О.

х(1 4- азхз) ' Л ' г (1-~ изхг)(1 ~. Пзхз) ' / агсгк Вх „ / обх откуда находим 1"л(а, В) = л . Интегрируя это равенство по В и а последовательно, 2( 4л1 получаем 1(а. В) = — (а + В)(1п(а +,3) — 1) + го(а) + гб(В), 2 где ьо. р — функции. подлежащие определению. В силу произвольности чисел е > О, б > О, А > О. В > 0 последнее соотношение справедливо при любых а > 0 и 11 > О. Заььетиьц что (1) есть сужение функции 1 иа область положительных значений параььетров а и 8. Для нахождения ее для всех а, 9 б] — оо. +со[ нужно подобрать функции ьо и р таким образом, чтобы функция 1 оказалась непрерывной ь/ач 8, как и должно быть по доказанному выше. Соотношение иепрерывности !па 1(а,(1) = 1пп 1(а. В) = 1пп 1(а, Ю) = 1(0, В) = 1(а, 0) = !(О, 0) -+о ' я-ео ' .-+о о-ео приводит к равенству р(а) + ф(В) = -(Ю(1 — 1п 8) + а(1 — 1п а)).

2 ' (2) Таким образом, учитывая тождество 1(а, В) = 1(]а]. ]8]) збп (аб) и равенство (2), окончательно получаем а+ ~ ьыо~ о оба(а8)1п о, если аз ~ О, О, если аВ = О. и При решении следующих прилгеров считается известиым значение интеграла Эйогера— Пуассона; е Нх = —. 1 о ./т 2 о 70. 1 = ~ (агхз+ 26гх+ со)е (" тойте ~ооЬх, ь г ь' ь М Приводя трехчлеп ах~ +26х+с к виду ~т/ах+ — ] +с — — и полагая,/ехх+ — = П л,] а / получаем 1= ~(АЬ~+2ВЬ+С)е И, где Ьга — агЬ ь азсг — 2аЬЬг + агбз В= е, С= е аз ать/а аг '4 = — е ачга Ь 3. Дифференцирование и иитегрироваиие под злаком иитеграла 41 Фуикция У непрерывна в области 0 ( х < +со, — ос < а, 3 < +оо, и даииый интеграл, в силу признака Вейерштрасса, сходится равномерно (мажораитная функция ьо строится так: при 0 < х < 1 будет Щх, а, В)] ( ]аЯ, а при х > 1 имеем Щх, а, В)] ( — ".,; т,е.

ьо(х) = ]аЯ при 0 < х < 1 и ьо(х) = —, при х > 1). Следовательно, по п.2.5 функция 1 непрерывна Ча,,9 б] — ж, +со[. Далее, пусть О < е < а < А ( +со, 0 < б < В < В < +со. Тогда, как иетрудио проверить, справедливы формулы Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра Поскольку +од е'дССж/, Се дССж — у Се дС(С)ж- у е дССж —, 2 до 1 д 2 1 -д д/т 2~ 2/ 2 1~ Се аС = О, 1 = д/т ( — + С~ = — д/ -Ца + 2Ь )ад — 4аббд + 2а сд)е 2 (2 / 2атЧ ° + 71, е о ейбхд(х, а > О. < Имеем / -«оо 1 С вЂ” *доо 1 С вЂ” оо — о* С Замечая, что оба эти интеграла можно найти как частные случаи общего интеграла из лре- Ч)а) Е И. ПУсть )а) > е > О.

ПосколькУ фУнкции — дьд иепРеРывны в области (а! > е, 1 < У < ег ем +ос а соответствующие интегралы от них, в силу мажораитного признака, сходятся равномерно на каждом отрезке е < (а~ < А, то функция 1' непрерывна при )а~ > О. Следовательно, И1()а!) / (о + о) Нх о Кроме того, положив в исходном щггеграле х = до), у > О, можем написать 1(~ад) = )а~ / о д " / —. о (2) дыдущего примера, получаем 1 = д/-','еоо. и 72. 1(~а)) = / е д" о*/ ох.

о м Представляя данный интеграл в виде ~,-(-"-') „, ~,-(" -'-'),. а д д производя замену у = — „в первом интеграле, получаем дом=/д"* ('"") — ,',д-"( ( у)дд д д Так как подынтегральные функции /д и /о здесь непрерывны при всех а и 1 < д < +оо, а соответствующие интегралы, по признаку Вейерштрасса, сходятся равномерно ((/д(а, у)~ ~ (—,, д уо д о Оо +оо ау — д (/д(а, у)~ < е У ) и интегралы 1' —" и ( е У дСд сходятся, то функция 1 непрерывна д д хе ' мв ЬхИх, ! ' о -а»2 е соз бх Ых, о в силу ирнзнака Вейерштрасса, сходятся равномерно относительно параметра Ь. Следова- тельно, функции 1 и 1' непрерывны з'6 Е Н и оп + 6 1 (Ь) = — ~ хе мп ЬхНх = — е згп Ьх1 — — е созЬхах = — — ЦЬ). 2о а 2е / 2а Ьз Отсюда 1'(6) + — 1(Ь) = О.