Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 3. Kratnye i krivolinejnye integraly (2001)(ru)(T)(224s) (Антидемидович), страница 5

у) = (ао(х, у)). 1 (~ б ч пл. 1 ~( у' ~( и. Доказать, что равномерная сходимость интеграла (1) эквивалентна равномерной сходнмости всех интегралов + сс аб(х, у) дх на У. (2) а;(х,у)дх <с, 1<б<ол, 1(у(п. С учетом этих неравенств имеем оценку з р — а б(х, у)ах < сл/шй, (~ ча, )~) +с М(х, у) дх которая показывает, что несобственный интеграл (1) сходится равномерно. 2.

Пусть интеграл (1) сходится равномерно на У. Тогда выполняется данное в условии определение, а значит, справедливо неравенство 1. Пусть интегралы (2) сходятся равномерно. Тогда сс > 0 ЗАэ ~ а такое, что 'сА > Аб д 'ту б У выполняются неравенства Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра 28 Отсюда следует, что а„(х, у) йх л <х УуЕ1, 1<!<оо, 1<у<в, т.

е. несобственные интегралы от всех элементов матрицы Лу(х, к) сходятся равномерно. и 47. Последовать на равномерную сходимость несобственный интеграл . =(,, '",,) +со уу е о -о(уощ з!в х смх~у+о,!! ЛХ(х у) йх, у Е У, У ж [О +со[, Л1(хс у) = д х' "е ' !в (1+ — ") / со+„о) / Е со О оо О со Еоо ! е ц у~зшхИх, / / * е йх / в~1+ э о Первый, третий и четвертый интегралы сходятся равномерно по признаку Вейерштрасса, поскольку маясорируются соответствующими сходящимися интегралами ).-с., /..-* ..

Ос) ". Второй интеграл также равномерно сходится, поскольку: 1) семейство функций х у — =т 0 1 при х +со: 2) функция х с — при каждом фиксированном у монотонно убывает к нулю; оеу 3) ) соз!(у+0,1)йу < 20, т. е. выполняются все условия прилсера 2б. Таким образом, несобственнык интеграл от матрицы Лг(х, у) сходится равномерно. ° 48. Функция 1" интегрпруема в промежутке )О, +оо[. Доказать формулу + !ив е "~у(х) йх = Э~ у(х) с!х. «-оо о о М Оценим разность е 1(х) йх — у(х) йх = (е" — 1)У(х) йх = о о о в о -)(.-- — юо .

+ ) о-- — |ло ° о~ +с Пусть е > 0 задано. Тогда, залсечая, что интеграл ) (е "* — 1)г(х) с(х, согласно примеру 25, о сходится равномерно при о > 0 (здесь функция [х[ у е о* — 1 ограничена единицей и ма+ оо погонна по х > О, а интеграл ) у(х) с!х, по условию, сходится), при достаточно болывом о, И Согласно доказанному выше, равномерная сходимость данного интеграла эквивалентна равногаерной сходимостн интегралов от элементов матрицы Л1(х, д): $2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.

Равномерная сходнмость 29 фиксированном В можем записать (е ' — 1) Х(х) ах в е < — Уа > О. (2) По данному е и фиксированному В найдем о такое, чтобы выполнялось неравенство в !- (е ' — 1) Х(х) ех о е < —. 2 (3) Имеем в (е — 1)Х(х) зх о < (1 — с )МВ < —. откуда 1 2МВ О ( о ( — 1п, О < е < 22ХВ, 2ЛХ — е' где йХ = зар ~У(х)[ф О (при М = О теорема тривиальна). 0(х(В Тогда из (1), с учетоь! неравенств (2). (3), находим (4) е Х(х) зх — Х(х) сх если В достаточно велико, а число а удовлетворяет условию (4).

М 49. Доказать, что Иго [ Х(х) з1в вх йх = О, если Х абсолютно интегрируеыа в промее е 1 о жутке ]О, +со[. М Данный интеграл, по признаку Вейерштрасса, сходится равномерно относительно параметра и. Поэтому Че > О зАо(е) > О такое, что ЧА > Ао(е) д гп ео» Х(х) зш вх зх с < —. 3 Промежуток [О, А] раэобьеы на й + 1 частей точками О = хз < хд « ...

хаег = А н А представим интеграл [ Х(х) ып пх йх в виде о Поскольку Х(х) — пт, ( ы;, где ьч — колебание функции Х иа промежутке [хо хсы], то из (2) получаем оценку Фьы а а 2 ~д ' ~ Х(х)з1 в,йх <~;г1х,+-~ -а, =о о (3) л з 4\ л ы -р -2./(г()- з о ~=0 к ы 1 пхах+- ) гп, яшах Хх, гп, = (пХ (Х(х)]. (2) и / юи (жы ~=о 1 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равиомериаи скодимость 31 +с Так как )Я~) < —..., где [у(ту)[ < М = совэо, 1' — „, = — (стодится), а в силу непрерыво ности функции у дробь ...

д ... при у +О на ка:кдом конечном интервале ]е, 6[, то, согласно примеру 50, получаем Ос« Йп — / — Й = — / йгп с(т = Д(0). 1 у(гу) г 1', у(ту) (1) +От / со+1 Х / О +«11+1 о о В силу нечетностн интеграла по переменной у и равенства (1)с имеем Есо йш — / — 1 с(х = — у(О). ° 2 l уу(х) о--о т / хз+ уэ о 52. Найти йш / сГх / о е Представляя данный интеграл в виде + 1 .1- со о о 1 и замечая, что 1 1 +со О со получаем / сох йш „=1,Ь о со/ х +1 о 1 ! пав 53. Показать, что г"; о с / — о с(х есть непрерывная функция иа интервале — оо < о а<2.

м Выполняя замену х = -,, 1 > О, получаем 1 / э-« Г эшоэ 1 Пусть -оо < о < -. Тогда, в силу оценки,, „< -с- и признака Вейерштрасса, рассмо.- 1 !$1« С! 1 12 с!и «с триваемый интеграл сходится равномерно. Если учесть еще, что функция г 1 -,т=д. прн 1 -оо < а < —, 1 > 1 непрерывна, то на основании теоремы 1, п.2.5, можно утверждать, что функция г' йепрерывиа в укаэанном проме'кутке. Пусть - < а < 2 — с, о > О. Тогда ) ивЫс(т « — 4; функция ос -,т-и прн фиксированном о монотонно стремится к нулю при Г +оо. Это стремление, как показывает оценка 1 1 ;т.т < с., равномерно по сс.

Поэтому, в соответствии с утверждением примера 20, данный 11НГЕГРал сх«Днтся равномерно. Принимая еше во внимание непрерывность подынтегральной зг Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра функции при — < а < 2 — в, устанавливаем, что функция Р непрерывна на рассматриваемом ! отрезке. Таким образом, функция Г непрерывна при † < а < 2 — в. Поскольку число е > О произвольно, то требуемое доказано. Ь 54. Определить хочкн разрыва функции ( в1п((1 — а )хэ) Г;а~ ах. х о .Л Полагая Г = (1 — а )х, а ~ ж1. получаем -(- о !' вш э Г(а) = / — о!вбп (1 — а ). о Очевидно, это выражение справедливо и прп (а~ = 1.

Точки а = 1 и а = — 1 являются тачками разрыва первого рода функции Г. Ь Исследовать на непрерывность в указанных промежутках следующие функции: ) хо(х 55. г'!а!- ~ —, а>2. 2+х» о М гэ1ожно показать (см. пример 31), что этот интеграл сходится неравномерно в указанной области (сходимость его вытекает нз признака сравнения). Поэтому о непрерывности функции Г сказать пока что ничего нельзя. Пусть а )~ 2+ е, где в > О. В случае х )~ 1 имеем — < -ээ + эх —,.

Поскольку .+ээт —. = 1 О* (-тхт) при х +ж, то. на основании признака Вейерштрасса, интеграл ! х !г'х Ф(а) = / / г+х сходится равномерно. Учитывая еще непрерывность подынтегральной функции, согласно теорелое 1, п.2.5, устанавливаем непрерывность функции Ф при а > 2+ в, т. е, прн а > 2. Принимая во внимание, что функция ! хах Ф:а! / 2-Р*" о в силу п,1.1, непрерывна при а > 2, приходим к выводу, что функция Г ! а ! Ф(а) + Ф(а) также непрерывна при а > 2, в 56.

Г:а~ !1х, О<а<2. / х" (ог — х)» о М Пусть О < е ( а < 2 — в < 2. Тогда, разбивая данный интеграл на три интеграла и оценивая подынтегральную функцию, получаем гйп х и, 1' о1х / йх !(х х (х — х) / х -'(и — х)» ( х (л — х)» / х»(л — х)» ! ~ ! </ —,,+т — 2+ / Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра +со 27. Йт /е ''— '"' д«.28. Ет ]" 2 М. + о о НВ1 в Показать, что следующие функции непрерывны: 1 о о ') 3. Дифференцирование и интегрирование несобственных интегралов под знакам интеграла 3.1.

Дифференцирование по параметру. Теорема 1. Пусть выполнены следующие условия: 1) функция зу' непрерывна в обласзпи + всю а < х < +оо, уз » (у < уз, 2) интеграл [ з(х, у)дх сходигпся; 3) интеграл ] зу(х, у)дх а сходиспся равномерно на отрезке [уз, уз]. Тогда —,Г(х. у)дх = зу(х, у)дх а а мо отрезке [уз, уз]. Теорема 2. Если функции з" и зу' непрерывны и ограничены в указамной области. а им+ Ос + теграл ] [р(х)[дх сходится, зпо интеграл [ 1(х, у)«о(х)дх предстовляесп собой значение а а дифференцируелсой функции на отрезке [уз, уз] и — 1'(х, у)зс(х)дх = 1'„(х, у)р(х)дх. 3.2. Интегрирование по параметру.

+Со Теорема 1. Если функция 1" непрерывна при х 3 а и у й [уз, уз], а интеграл / У(х, у) дх а равномерно сходится но [уз, уз]с то справедлива формула 22 +о уз д~ду ~ 1(х, у)дх т / дх / 1(х, у) ду. а уз у1 а эта формула справедлива также и в тоы случае, когда уз — — — оо, уз = +со, если 1(х, у) > +ОО всю О, интегралы ] 1(х, у) дх и ] 1(х, у) ду непрерывны и один из повторных интегралов 0 00 Оа +о +со ] ду ],Г(х, у)дх или ] дх ],Г(х, у)ду сладится. 00 О СО 00 Теорема 2.

Если функция Г непрерывна при а < х < +со, с ц у < +со, а интегралы Зы + 00 ~(х, у)ду и ~ У(х, у)дх +»О (00 ~де| Щх а»» +0 10. /0./(П*, ((»* с 0 собой поз»парные интегралы +0 000 /0/и*».(»*. 0 сходится, то сходятся и равны пожду Теорема 8, Если 1 непрерывна и ограничена при а < х < +со, у б [у», уз], а интеграл +00 / ]Э»(х)] ах сходи»пся, то 0 з + !.

е ыу 1(х, у)0»(х) их = 00(х) е!х у(х, у) 0!у. 1 58. Пользуясь формулой / х Их = —, и > О, вычислить интеграл Г „, и' е 1 10» ) х !п х(!х, 0 где гп б И. М Формально дифференцируя т раз по параметру и обе части указанной формулы, получаем ! 1! ! т! Х !П Х(!Х»» (-/ ы( — 1) »и и+' с Покажем, что т-кратное дифференцирование под знаком интеграла возможно. Для этого, 1 полагая х = —,, 1 > О, преобразуем данные в условии интегралы к следующим: 1 Е00 +00 /*"-'0,=/ —,',, (-(-((-/ ','0. 0 1 1 Поскольку функции г» Г " ' у 1»-» г " 1п Г непрерывны в области О < г < п < +со, 1 < 1 1 < +ос и интеграл /х" ' Ых сходится, то, в силу п.3.1, остается показать, что интеграл о +00 1» 1 -;„зт аг сходится равномерно на полуинтервале О < е < и < +ос. Действительно, так как 1 ) 1пт1! !и'" т )вы 1 1 !'3т'! 1 1»+1 г1+' '- 1+3 !1 е' / 1+3' рй то, в силу признака Вейерштрасса» интеграл 1 равномерно сходится на указанном полу- интервале.

Следовательно, при каждом фиксированном е > О, согласно теореме 1, п.3.1, дифференцирование по параметру и, и > г, справедливо, т. е, справедливо при и > О. в 3 3. Дифференцирование и интегрированна под знаком интеграла 33 сходятся раенонермо( первый — на каждом отрезке (а, А], а еп»арой — ма каждом отрезке ]с, С], и если хо»ля бы один из повторных интегралов Гл. 1, Интегралы, зависящие от параметра Ь 11х БЯ. Пользуясь формулой / о = —, а > О, вычислить интеграл / хо+а 2ьГа' о Зб 11х 1„+1= „,, пб10. о м Формально дифференцируя п раз по а левую и правую части данной в условии формулы, имеем а1х х ( ' ') (-1)"п!(2п — 1)!! (- -..~ (хо+ а)б ю а )ь 1 (2п)1!а"2ьга + о З1П ОХ 60.

Доказать, что интеграл Дирнхле 1(а) = / 1)х имеет при а ф 0 производную, х о однако ее нельзя найти с помощью правила Лейбница. М Положим ах = П Тогда 1(а) = салаг. Следовательно, при о ф 0 имеем 1'(а) = О. Коли же формально продифферснцировать по а под знаком интеграла, то получим расходящийся интеграл + о созах 11х. р о 61. Доказать формулу Фруллаии + оо ЙЫ вЂ” гое „1з1 ь 1 х а' о где У вЂ” непрерывная функция и интеграл / — йх сходится УА > О. 1(х) м В силу условий теоремы имеем +оо Ьо Ьо АЬ откуда АЬ г'(ах) — г(ох) / 1(Г) А о откуда следует значение интеграла 1 ю.

Возможность п — кратного дифференцирования вытекает из п.3.1. Действительно, функции (х, а) 1 —, и (х, а) 1, „+, непрерывны в области 0 < е < а <+со, 0 < х < +ос. 1 1 +о зх ПитЕГраЛ 1 -т-о СХОднтея Прн а > О. ПитЕГраЛ 1 Ь1 СХОдИтСя разиаьгЕриа ПО ПрнонаКу о Вейерштрасса — — 1-, < — О---ртт прн х > 0) на полуинтервале х < а < +со. Поэтому на этом полупнтервалс, а в сину произвольности г > 0 и на интервале О < а < +ос дифференцирование возможно, р 13.