Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 3. Kratnye i krivolinejnye integraly (2001)(ru)(T)(224s) (Антидемидович), страница 4

< В первом случае легко построить мажорирующую функцию Г с х с 6е ' . Следовательно. по признаку Вейерштрасса, интеграл сходится равномерно. 3 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость 21 если талька 6' > В и до > В. В силу критерия Коши, интеграл (1) сходится равномерно в области ]дг, уг[,что и требовалось доказать. Ь 27, Доказать, что равномерно сходящийся интеграл 22 Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра Во втором случае, произведя замену т = ох, х > 0 Л о > О, получим + аь +О ОЕ 11»ю [ Е 111с«Е «В Отсюда следует, что тВ > О за, а б]0, Ь[, такое, что с а > е, 0 < е < 1.

Например, число и можно выбрать из неравенства 0 < а < — !и —. Таким образом, в этом случае интеграл 1 1 в сходится неравномерно. Ь 29. Доказать, что интеграл Днрихле 7 Зьа О» 1= 1 — йх ь 1) сходится равномерно на каждом отрезке [а, Ц. не содержащем значения о = О, и 2) сходится неравномерно на каждом отрезке [е1 з], содержащем значение о = О. 1 М В первом случае воспользуемся примером 25. Здесь функция р: х 1 — при х +со монотонно стреьппся к нулю [и равномерно относительно параметра о).

Первообразная 1 ма от 41 = — [соз ое — соз ох) О ограничена числом . <~ ~ . Следовательно, согласно примеру 25, данный интеграл схо- з «а«Н«О ьб ' дится равномерно. Во втором случае положим »саит,а > 0 Л 1 > О. Тогда получим ~ зги о» [' маг Ва Отсюда следует, что ь1В > 0 эо б [а, ь] такое, что Г з1вт >е 0<с( 1 — М. 1 од Действительно, для этого достаточно взять а ( В ол При о ( 0 применяем подстановку х = -от й, проводя аналогичные рассулсдения, приходим к такому же выводу.

Таким образом, в атом случае интеграл сходится неравномерно. М Ф«а / а» 30. Исследовать на равномерную сходимость интеграл ~ — в следующих промежутках: ха 1 а) 1 < пе ( и < +ос; б) 1 < о < +со. +аь М а) Легко видеть, что — „(» —, прн 1 < х < +ос, пз ~ (а < +оо и интеграл 1 1 е« 1 сходится. Следовательно, по признаку Вейерштрасса, данный интеграл сходится равномерно. +а« еа в'- в'-" б) Поскольку [ — = — н Бьп — = +ею, то Зе > 0 такое, что тВь ЭВ > В а 1Ее « 1 +«э Во Л Ло б]1, +оо[ такие, что [ ф > е.

Следовательно, интеграл в этом случае сходится в неравномерно. М 3 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равиомериаи скодпмость 23 +оо 11х 31. Показать, что интеграл ~ сходится неравномерно на интервале 1 < о < +со. / х +1 0 ° Пусть В ) 1. Тогда справедлива оценка + +с йх 1 ) йх В' > — — = +со о 1+0, х +1 2/ х о — 1 в и указывающая на то, что данный интеграл сходится неравномерно (см. пример 30). > Исследовать на равномерную сяодимость в указанных проме;кутках следующие интегралы: +с 1 соя сох 1 / 1+ — ос < о <+ос.

+ 1сос «Ы 1 г яп ч Поскольку 1,! < —... -сс < а (+ос, и интеграл 1~ —,, сходится. то, по признаку Вейерштрасса, данный интеграл сходится равномерно. ~ +со 33., 0 < а < +ос. йх (х — о)1+ 1' 0 --'*- -) . Е о 01а Х -«о 34. — 0 «пс1х, О ( о <+оо. х 0 + с Ч Воспользуемся примером 25. Здесьу(х, о) = — "", чс(х, а) = е «и. Интеграл ( — "" и 01х, 0 согласно признаку Дирихле, сходится, а функция х 1 е монотонна по х ((е *) . — ое ( О) и ограничена единицей. Следовательно, согласно указанному примеру, данный интеграл сходится равномерно. Ь +ос 1 !азх 35.

/ — йх, О <р< 10. ! 1ппп 1псоп 1«соп 1 /!0!10 ! Ч Поскольку — и ( — и = — р- . -р < ( — ) -~~ при х ) е, то, согласно признаку Вейерштрасса, интеграл сходится равномерно. 1ь + со 1 соя х 36. г 0 и — 01х, 0 ( а <+ос, где р > 0 фиксировано.

хз 1 +со Ч В силу того, что интеграл ) — йх при р > 0 сходится (по признаку Дирилле), а 1 функпня х с е «монотонна по х и ограничена единицеи, то, согласно примеру 25, данный интегРал сходится равномерно. М Ч В ИНтЕГраЛЕ 1(В, а) = ( - — ф+ — ПРОИЗЗЕдЕЫ ЗаМЕНу Х = а+ 1.ТОГда 1(В, О) сп в Есо Если пололсить о оп В > О, то при любом В будет 1(В, о) > е, где 0 < е < вСледозательно, данный интеграл сходится неравномерно. Заметим, что сходимость рассматриваемого интлграла при фиксированном а, 0 (~ о < +ос, следует из признака сравнения Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра 37.

/ тсгйе о' с1х, 0 < о < +со. о 2 ос М ПолагаЯ тссах = Г в интегРале ( ьсае "2 с(х, имеем в Ь с 2 1,2 ~/ее * с1х= / о Й. в,й Взяв а = — ',, В > о, получаем неравенство ( ~ссое ~* Нх > е, справедливое при любом Вс' в В, если -сс 0<о< / е сСН 1 Следует залгетить, что данный интеграл при о > 0 сходится по признаку сравнения. М +с 38. 1(х) = е Во" 1сйп хо(р, — со < х <+ос. о М Очевидно, 1(0) = О. Полагая в данном интеграле 2 = ~х~д, х ф О, получаем 1(х) = 22 +ос 12 С вЂ” ~е ~ С = ( е с сот ~ О, Так как Ыш 1(х) = -С, 11ш 1(х) = С, то функция 1 о с — о ' +о разрывна в нуле. А тогда, согласно теореме 1, п.2.5, интеграл сходится неравномерно (если бы он сходился равномерно, то, в силу непрерывности подынтегральной функции.

представлял бы собой непрерывную функцию). м Еос 2 39. 1 — ""* 1х, р > О. / 1+хо о м Произведя замену х =;Л, получим / зшх / зш осот 2 (1+ 22) тссо + Поскольку интеграл 1 —,- Ф, в силу признака Дирихле, сходится, а функция т с ссС о 2 1+со р > О, монотонна по т и ограничена числом 0,5, то, согласно примеру 25, данный интеграл сходится равномерно. М 1 40. х" 11по — сох, еслис а) р > ро > О; б) р > О, е > -1. х о ° Произведем замену переменной х по формуле х = е ', 2 > О. Тогда получим х 1и — сох= / Г сот т 2.

Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость 25 + а) Поскольку Гсе Р' < 1се "" и интеграл 1 тсе Р" й, в силу признака сравнения, схо- о дится, то, согласно признаку Вейерштрасса, интеграл сходится равномерно. б) В интеграле 1(В, р) = ( Гсе р'йй В > О, положим х = рь Тогда получим в ДВ „) ' (,се-*,~х рс+г 1 Пусть числа В > О и с > О заданы, Тогда в силу того, что 1пп — ь х е ' с(х = +ос, р +о рссг / вр всегда можно выбрать число р > О так, что 1(В, р) > е.

Итак, данный интеграл сходится неравноыерно. р 1 41. ) *,с(х, О<и<+о. У тссу г о 1 с" г Зс и Поскольку < и интеграл ( сходится, то, по признаку Вейерштрасссь с рг с о са, данный интеграл сходится равномерно. И йх 42. 1ып — —, О<в<2, х х" о И Положим х = —,, т > О. Тогда 1 1 1 йх 1 з(пт ып —.— = ~ — ~й. хо / тг-и Далее, интегрированием по частям находим илг осе  — ~й = гг " Вг в Г соз1 +( — 2) ~ —,„(т. наперед заданное число. Что же касается слагаемого ссс „в (1), то оно не может быть сделано как угодно малым при всех достаточно больших о > В равномерно относительно параметра и. Действительно, пусть В > О задано, Пусть, кроме этого, О < хг < -.

Тогда, выбирая число 6 = 2йт > В, й Е г г' сэ« !сосо ! 1 М, значение параметра п из неравенства О < 2 — и < с= ггь —, получаем ) —,„) = ( — 1)х= > хг. Следовательно, исследуемый интеграл сходится неравномерно. Заметим, что сходимость данного интеграла при О < и < 2 вытекает из признака Днрихле. и Последний интеграл. в силу приььера 26, сходится равнольерно (здесь функция р; г с —,, „< 1 О при т оо и монотонна по т, первообразная ) созтсгг сс гйп х — вша ограничена числом 1 Ьсю 2).

Поэтому при достаточно большом В справедлива оценка ) —,ь"„сьг < ег, где ег > Π—- с с Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра 2 20 43. Оà — г)(г — о* ' о ~о! < —. 1 2 м Поскольку 0<х<1, х» ~/7 (»-1я»-2И 1 х Нх ]' Их т/х дх < иг=с~*=г ~ли -и*=) '~с'»-о~*- г о 1 О В силу оценок т;от — тг — 2)* 1 и признака сравнения, два последних интеграла сходятся. Следовательно, по признаку Вейерштрасса, исследуемый интеграл сходится равномерно. П еО / 6 -з 44.

Подобрать число 6 > 0 так, чтобы 0 < ~ — < х при 1.1 < о (10, где с = 10 / 1+х" ь М Поскольку —,„„( »тг, то 1 ! ь и ш Таким образом, решая неравенство 6з ' < 10", находим, что если 6 > 10, то указанное в -з 70 условии примера неравенство будет обеспечено. В 45, Пусть интеграл ь ~(х,у)Нх, с<у<О, является несобственным сходящимся интегралом и х = у(у), р(у) Е]а, 6[, есть кривая беско- нечного разрыва функции у (подвижная особенность). Интеграл 11) будем называть равно- мерно сходящимся на интервале ]а, 61, если те > О л,Ь > 0 такое, что для любых б~ и бг из неравенств 0 < 6ю < сЬ д 0 < бз < сз следует неравенство »(за+аз У"1х, У) Их »(т)-б < е 'т'у Е]с, И].

Показать, что интеграл ях, 0(у<1, з1вгх, р) 1/]х — Р] а ,*,' Г* — ОХ*:))* ~!х Д -Тг — 2) =О' —, х +О, =0 —,, х 1, -'(,.ъ-)— 12. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость 27 сходится равномерно. и Пусть с > 0 задано. Покажем, что згв(х, у) ° бб]х — у] (2) < с су б (О, 1] в смысле данного выше определения. Имеем С+ба с+ба Себэ зш(х, у) л/]* — у] '4 / = ~ — + ( — = 2 (л,бг6б + л~6 л (4ъбХ э-бл э-бл с для любых 6б н 6з таких, что О ( 6б ( Ь и 0 < 6з < б.'л. сэ Если теперь гс > 0 взять Ь = —,, то из (3) получим неравенство (2). Следовательно, данный интеграл сходится равиомерйо, ь 46. Несобственный интеграл + сс М(х, у)дх, у б У, ! Ф где М вЂ” лбатриЧИая фуиКцня, НаЗЫвается равно.исрно сходящихся иа множестве У, если 'гс > 0 ЗАэ р а такое, что г'А > Аб бл 'гу б У выполняется неравенство М(х, у) дх а <с, где М(х.