Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 3. Kratnye i krivolinejnye integraly (2001)(ru)(T)(224s) (Антидемидович)

34 51 60 68 ИИ.Ляшко, А.К.Боярчук, ЯГГай ГПГоловач МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Справочное пособие по высшей математике. Т. 3 М.: Едиториал УРСС, 2001. — 224 с. «Справочное пособие по высшей математике>> выходит в пяти томах и представляет собой новое, исправленное и существенно дополненное издание «Справочного пособия по математическому анализу» тех же авторов.

В новом издании пособие охватывает три крупных раздела курса высшей математики— математический анализ, теорию дифференциальных уравнений, теорию функций комплексной переменной. Том 3 по содержанию соответствует второй половине второго тома <<Справочного пособия по математическому анализу>>.

В нем рассматриваются интегралы, зависящие от параметра, кратные и криволинейные интегралы, а также элементы векторного анализа. Пособие предназначено для студентов, преподавателей и работников физикоматематических, экономических и инженерно-технических специальностей, специалистов по прикладной математике, а также лиц, самостоятельно изучающих высшую математику. Оглавление Глава 1. Интегралы, зависящие от параметра 3 81. Собственные интегралы, зависящие от параметра 3 ~2.

Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость интегралов 15 83. Дифференцирование и интегрирование несобственных интегралов под знаком интеграла 84. Зйлеровы интегралы 85. Интегральная формула Фурье Глава 2. Кратные и криволинейные интегралы 81. Интеграл Римана на компакте.

Приведение кратных интегралов к повторным и их вычисление 68 82. Несобственные кратные интегралы 99 83. Приложение кратных интегралов к решению задач геометрии и физики 112 84. Интегрирование на многообразиях 148 ~5. Формулы Остроградского, Грина и Стокса 184 86. Злементы векторного анализа 201 87. Запись основных дифференциальных операций векторного анализа в ортогональных криволинейных координатах 214 Ответы 222 Глава 1 Интегралы, зависящие от параметра ~ 1.

Собственные интегралы, зависящие от параметра 1.1. Непрерывность фуананв Е: У и 1(х, У) Их. Теорема 1. Если функция э': П )й. где П = ((х, у) [ а < х < А, 6 < у ~< В). непрерывна, то функция Е непрерывна на отрезке [6, В). Теорема у. Если функция и непрерывна ма-П, а кривые х т а(у), х т ф(у), у й [6, В), мепрерывны и не выходят эа еео пределы, то функция е(и) 1: у ° У(х, у)дх (2) и(и) непрерывна ма отрезке [6, В). 1.2.

Предельный перевод аод званом ввтеграла. Теорема 1. При условиях теорем п.1.1 справедливы формульз л л Ь ~б(х,у)дхт ) П Д(х,у)дх, и иод „з и ио а о(и) Ео во) Ппэ У(х, у)дх = У(х, уо)дх. и ио/ т(и) М(ио) определенно. семейство функций х ь,)(х, у), еде у — параметр семейства, у й У, равномерно стремится к пределывай функции у при у -~ уо, уо Е К, если ое > О Лб > О такое, что при О < [у — ус[ < б будет [б(х, у) — у(х)[ < е для всех тех к, для когпорых функции У и у определены, Еслн уо = оо, то неравенства О < [у-уо[ < б следует заменить неравенством [у[ > б; если хсе уо = +ос(-со), то тогда неравенством у > б (у < -б), Теорема У.

Если функция У при фиксировамном у Е У непрерывна по х й [а, А) и при у уо стремится к предельной функции у равномерно относительно х, то - Ь~*,.) .=/") *. и ж,/ о 1+ еэ (1-!- е*) (1-!- (1-!- -*)") ]' !, и/ ! -'- ! -("-) 3= -("-) -' о<о<э л и 1+ (1+ -')" при л ос ох Е [О, 1]. Пусть х > О. Тогда [ 1+ гэ!о) ) 2 !п(хг + аг) ! !п(х + [а[) 1 !в(хг+ аг) х]а] ( " (хг !, г)!п(хг ! аг) ' ( 2[а[ 1 < < е (1+ аг) 1п(1+ аг) !в(1+ аг) 1 г г Чх Е [1, 2], как только ]а[ > [ е — 1~ г 3. Найти А = Ьп е "" о!В. „,,( о -йв м Поскольку сйп В > г В при 0 < В ( -', то е л"" < е .

Поэтому г г l "-' Г зло е " о!В(! е е Ю= — (1 — о л) 2Я о о и О<А< йга — '(1 — е )=О,т. е. А=О. и и +от 4, Пусть функция у непрерывна на отрезке [А, В]. Доказать, что х Ыпг — [ (г (г+ й) — г"(М)) Вг = г"(х) — г (а), А < а < х < В. л ой/ 11. Собственные интегралы, зависюцие от параметра 5 а) Ит 1 ~/х2 + аРах = [ [я[ ах = 1; о о -1 -1 г+о 1 Поскольку функции х г й и х ~-; ! при фиксированных и, и Е К и 1 Мох+!ап ге гой) 1и( +о ) и а, [а] > 1.

непрерывны по х (О ( х ( 1 н 1 ( х ( 2 соответственно) и уо(х) = — т —;~ — =г г+(1+д !" и 1 —, когда и оо, а у(х, а) =, го г -т —, когда а сс (см. ниже), то, согласно теореме 2, л.1.2, получаем: 1 1 1 г г Равномерная сходимость последовательности (Г" (х)) и семейства функций х э Г(х, а) вытекает нз следующих оценок: (Р(1+ Ь) — Р'(1)) 1И = (Р(1+ Ь) — Р(1)) [* ж Р(х + Ь) — Р(х) — (Р(в+ Ь) — Р(а)), Следовательно, 1 1 Р(х + Ь) — Р(х), Р(а+ Ь) — Р(а) Йп — у (б(1+ Ь) — у(1)) й = йнз Ь а-0 Ь = Р'(х) — Р'(а) = у(х) — у(а). в 5, Пусть: 1) р„(х) ) О, и б 14, на [ — 1, 1): 2) р (х) =т 0 прв и оо, если 0 < с ( !х! (1; 1 3) р„(х)лх — 1 при л оо.

Доказать, что если у' Е С[-1, 1), то -1 1 1й 1 б( ) .(х) * = У( ). м Пусть б ) 0 задано. Рассмотрим неравенство г 1 Их)р (х)бх+ ~Лх)в»(х)бх 1 1 1(х)000(х) ах — 1 (0) ! )'(х)у (х) 3х — )'(0) Первое слагаемое в правой части (1) оценивается следующим образом Ф 1 Йх)и (х) бх + У(х)р.(х) 3х 1 (2) ( 2М ввр р„(х), 0 < 0 ь101ч1 где М = юак [у(х)! ~ 0 (заметим, что при у(х) ° 0 на [-1, 1] утверждение теоремы станоИЩ1 витез тривиальным). Пользулсь первой теоремой о среднем, а также условием Ц, оцениваем второе слагаемое в правой части неравенства (1): 0 г(4 ) 00 (х) Ых — )'(0) У(х)10„(х) Их — ) (О) 1 < )У(6 ) — Х(0)! р„(х) лх + М -1 1 — В1„(х) йх 1 < [У( -) — (О)! ~ .(х) * + М -1 + 2М вир 10„(х), (3) 0<0<м~<1 где [Я < с.

В силу непрерывности функции г", всегда можно выбрать число с так, что будет выполнлтьсл неравенство !У(бз) — У(~)! < 4М , , (4) б Гл. 1. Интегралы, зввпсищие от параметра л Вводл в рассмотрение первообразную Р функции у, согласно формуле Ньютона— Лейбница, получаем 3 1. Собственные интегралм, зависинцге от параметра После того как число и уже выбрано, из условий 2) и 3) находам б 0 < зир р„(х) < —, о<г<1г1<г ОМ' р„(х) ~Ь вЂ” 1 1 < —, О < ) 1оо(х) бх < 1+ —, (б) б б -1 если и достаточно велико.

Используя теперь оценки (2) — (5), из (1) получаем | 1 у(х)ьг„(х)<Ь вЂ” у(0) 1 при всех достаточно больших и. И 6. Можно ли совершить предельный переход под знаком интеграла в выражении „г 1пи — е гг ~Ь? „(„, о 1 1 „г Г" Г г 1ци/ — е ггбх= — йш/е о'4( — ) = — Лиг~1 — е о ) = —. о о/ уг 2г о/ ( уг ) 2гот ) г Отметям, что в точке (О, 0) функция у: (х, у) г -те гк терпит разрыв. р Р ег г+» 7. Найти Р'(в), если: а) Р(а) = У(х+в, х-в) бх; б) Г(а) = Ых з1в(хо+уз-вг)4у, о О г-о а) Допуская существование непрерывных частных производных функций (и, е) г б(и, г), где и = х + а, е = х — а, согласно формуле Лейбница, имеем О Р (а) = г (2в, О) + / (гг(и, и) — у„(и, е)) бх. о Замечая, что „„= уг + у„, можем записать и ~ о (Уг — Д) бх = 2 Д бх — ~(2а, 0) + У(в, -а).

Следовательно, Г'(а) = у(в, — в) + 2 ('~~1 бх. о о+о б) Обозначим У(х, в) = ) зш(х + у — а ) бу. Тогда иг г"(а) ж21(а, а)а+ 1 (х, в)йх, о ~'(х, в) = з1а(х + (х + а)* — вг) + зга(хо + (х — а) — вг)— ц Нет, нельзя. Переходя к пределу под знаком интеграла, получаем нуль. Если же вычислить интеграл, а затеы перейтн к пределу, то получим Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра та — 2а / соз(г + у — о )»1у.

г г г Такиы образоы, получаем то а» +а Г'(о) = 2а / зш(у + оя — а )»»у+ 2 ~ ып 2зг соз 2ог Нк — 2о / »1т / соз(го+ у» — аг) Ну. В 8. Найти Г"(г), если Г(т) = — Щ 1(х+ г'+ л)»1ш 1» > О, где 5 — непрерывная йг / о о функция. м Очевидно, если функция 1 непрерывна. то справедливо равенство ,у(~+.,) г= / 1(1)Н.