Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 3. Kratnye i krivolinejnye integraly (2001)(ru)(T)(224s) (Антидемидович), страница 9
Описание файла
Файл "Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 3. Kratnye i krivolinejnye integraly (2001)(ru)(T)(224s)" внутри архива находится в следующих папках: antidemidovich, Антидемидович. DJVU-файл из архива "Антидемидович", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве . Не смотря на прямую связь этого архива с , его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "математический анализ (вм-1)" в общих файлах.
Просмотр DJVU-файла онлайн
Распознанный текст из DJVU-файла, 9 - страница
х Е [6, А). Тогда, по теореме 1, п.3.2, в (1) можно выполнить перестановку интегралов: +оо л Г = — 1цп Г~"'г14 / е 'сох ахах = Г(ш) а — + / г-+о О б 1 . Гм '(амп аА — 4созаА) е Г( ) „й,„ ггз 4 42 г-+о о +~~ +ог е гг г Гт ге гг + сох об / — — а зги аб / о о 61 . (2) ао 112 / ао 4.42 о о Первый интеграл в (2), как следует из оценки 1 + о 1 + )а) Г г„ „ Г Г -'(!а) + Г) „ < — 1 е аг+е ао / а + о По той же причине третий интеграл (вместе с згп аб) стремится к нулю при 6 -г +О. Таким образом, окончательно получаем 1 = ,афО. и 112. Доказать формулы Эйлера: Г(х) а) / 1 ге ~~~' соз(Лбз)п о)й ж — сохах; о б) Г* г лго '" ' (Л8з)п о)ЯГ = — ь.-з)в ох, о гг гг Л>О, х >О,-- <о(-.
2 2 стремится к нулю при А +со. Второй интеграл, в силу равномерной (по признаку Вейерштрасса) сходиыости его относительно 6 (О ( 6 < бо) и непрерывности подынтегральной функции в обласшг О < 1 < +оо, О ( б ( бо, согласно теореме 1, пА.2, при б +О стремится к интегралу г'(а) = — Л / г*е в"' в1в(ЛГвш а — а)41, з Ф~(а) = Л / гав мв сов(Лгпи а — а) яг, а (г) по признаку Вейерштрасса, сходятся равномерно на каждом отрезке )а! < — — в, 0 < в < —,.
Действнтельио, функция М ь 1 е м"" ' является мажорирующей для подынтегральных функеоа ций в (1) и (2), а интеграл ) Г*е и "в ' ЫГ сходится по признаку сравнения. Следовательно, о дифференцирование в (1), (2) возможно при )а) < в. Выполняя в (1) и (2) интегрирование по частям (приняв Г* = в, в мьм вш(Л1мв о— а) 41 ж 4в, г~ ы з. е "" сов(ЛГвш а — о) 41 м 4в соответственно), получаем систему дифференциальных уравнений Г'(а) = -хФ(о), Ф'(Ъ) = хГ(а).
Решая эту систему, находим Г(а) = Ама ах+ В совах, Ф(а) = — Асовах+Ваш ах, (3) где А,  — постоянные; )а) < -'. Замечая что 2 ' Г(0) ы / 1* ~е ме1 = —, Ф(0) = О, о из (3) определяем эти постоянные: А = О, В = ь(г) . Подставляя найденные значения постоянных в (3), получаем Г(а) = ь — совах, Ф(а)'= — ~в1а ах. ь Г1х) Г(х1 Л* Л Упражнения для самостоятельной работы С помощью эйлеровых интегралов вычислить следующие интегралы: 1 з 1 еео 4у. ) х (1 —, )з 4х. 40, ) абула . 40. ) — ф — 4х.
е о о в г + се в о о 03. Используя формулу понижения, построить продолжение функции Г для отрицательных значений аргумента. 04. Построить эскиз графика функции В. 14. Эйлеровы интегралы ' 59 «Нетрудно видеть, что подынтегральные функции в а) и б) и их производные по а непрерывны при 0 < 1 < +ос и (а) < —.
Кроме того, данные интегралы (обозначим их через Г(а) и Ф(о) соответственно) при )а! < в сходятся по признаку сравнения. Интегралы Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра 60 ~ 5. Интегральная формула <Фурье 5.1. Представление функции интегралом Фурье. Теорема. Если функция Г:] — оо; оо» К является кусочно — гладкой на каждом конечном отрезке числовой пряллой и абсолютно интегрируема на ] — со, +со», то справедлива формула Ига — / НЛ д» Г(б) соз Л(б — х) дб = — (Г(х + 0) + Г(х — 0)), 1 Г Г 1 †.- l 2 или / (а(Л) сов Лх + Ь(Л) ейп Лх) дЛ, 2 о где Г(б)совЛбдб, Ь(Л) = — 1 Г(б) гйпЛбд(, х ОВ. 1 Г функция, то - »Г(х + 0) + Г(х — О)) = Г(х) и интегральная фор- «(л) = — ~ Если à — непрерывная мула (1) принимает вид Г(х) = — / дЛ з( Г(б)совЛ(б — х) дб, х Е И.
1 (2) Г(х) = — дЛ / Г(б)е' 1* г~ дб, г = — 1. 2т / (3) Интеграл в (3) называют коллплексньзлл инглегралом Фурье функции Г. $.2. Преобразовании Фурье. Теорема. Если функция Г:]О, +со» В яв.ляется кусочно-гладкой на каждол~ отрезке оолуиря.ной х ) 0 и абсо.гютно интегрируема на ]О, +оо». то + ге Г.(Л) = ~) — 1 Г(х)в(п Лхдх, Г(х) = з,1 — 1 Г,(Л)в1п ЛхНЛ, Г2 Г2 Г (1) о с + Г2 Г Г2 Гс(Л) = ]1 — 1 Г(х)совЛхдх, Г(х) = з,г — 1 Гс(Л)совЛхдЛ, (2) о о Равенства (1) называют синус — преобразованием Фурье функции Г, а равенства (2)— косинус — преобразованием; причем, первые формулы в (1) и (2) называют прямым преобра- зованием, а вторые — обратным. Из формулы (3), п.5.1, следует прямое комплексное преобразование Фурье, Х(Л) = — Г(в)е '"'дв чг2я к/ (3) Для упрощения записи вид формулы (2) сохраняют и в том случае, когда функция Г разрывна.
Интеграл в (2) называют интегралолл Фурье функции Г. Часто формулу (2) используют в комплексной форме: Ь 5. Интегральная формула Фурье и обратное комплексное преобразование Фурье; у(х) = — у"(Л)е' в Ыл. вгггх х/ (4) Представить интегралом Фурье следующие функции: ) 1, если )х)<1, О, если )х! > 1. М Данная функция удовлетворяет условиялг теоремы п.5.1 и, следовательно, ее можно представить лнтегралом Фурье.
Легко видеть, что Ь(Л) = О (в силу четности функции У), а 2 Г г 2 мпЛ а(Л) = — Г У(х) сов Лх Нх = — 1 сов Лх Нх = — —. 7г л Таким образом, 2 Гоббл у(х) = — у — .л ил, -/ л о что и требовалось. Следует замеыггь, что в точках х = Ы разрыва функции 1" интеграл Фурье, согласно 1 теории, равен —.
Действительно. поскольку з' +оо + ю оо г )' 1 Л Л „ 1 ) 1 Л(1 + ) „ ( 1 Л(1 — х) „ о о о то, применяя формулу Дирикле (см, пример 75), имеем 2 1мпЛ 1 — 1 сов Лх ОЛ = -(вбп(1 + х) + вбп(1 — х)), х / Л 2 о д > а. если если если если если имеем а(Л) = — ~ 1(х)созЛхг(х = 2 Лх г(Л = — (вщ Л(3 — мп Ла), 7гл Ь(Л) = — ог ((х)в1п ЛхЫх = / Лх Нх = — (сов Ла — сов ЛО). 2 хЛ откуда и следует указанный результат.
М 114. г": х ь вбп(х — о) — вбп(х — 13), М Замечая, что О, 1, г"(х) = 2, 1. О, ь — сов ь — ( вш к<о, а < х < 12, х = ьг, х > 13, б2 Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра Следовательно. представление интегралом Фурье имеет вид у (х) = —,1 - ((вгп Л21 — яп Ло) соз Лх + (оса Ла — соа ЛД) яп Лх) ЛЛ = Г1 к'/ Л 2 +сю 2 Г з!пЛ(б — х)+япЛ(х — о) аЛ.
Л о В данном примере значение функции г совпадает с ее интегралом Фурье во всех точках числовой пряной. Ь 115. У:х а2 + х2 ' и Функция у" при а гб О дифференцируема н абсолютно ннтегрнруема на интервале ) — ж, +ос(. Следовательно, она представима интегралом Фурье. Имеем Ь(Л) = О (в силу четности функции У), ( ) Г ~ 1*2*( 1 ~ ьтаан2 т Гг аз+ хг ~~~а~ уг 1+12 )а! (см, пример В4). Запишем теперь интегральную формулу Фурье данной Функции: у(х) = — е Ц" ~ соз Лх аЛ, если а ~ О. Р (а) 1 о 116. 1:хь г 22 + х2' М Функция у дифференцнруема и не является абсолзгтно интегрируемой на интервале ) — ос, +ос(, однако она ннтегрируема на ием в смысле главного значения Коши и может быть представлена интегралом Фурье.
+ Легко видеть, что а(Л) = О, 6(Л) = г /,~ Ых. о Этот интеграл равномерно сходится по параметру Л > Ло > О в силу примера 2б (здесь 1 г , монотонно стремится к нулю прн х +со, а / в1пЛ1~й < — ). Следовательно, его о можно найти как производную (с точностью до знака от функции, рассмотренной в предыдужем примере, т. е. + оа )' .Л*й* ) цц Ь Л) =— =е х / аз+ хг о 2 Интеграл Фурье функции х ~ —,*, имеет вид е "~ |яп ЛхйЛ, а ~ О.
н 7-" а )( в2пх, если )х) <~ з., ) О, если )х! > з. 1 б. Интегральная формула Фурье ч Эта функция непрерывна, кусочно-гладкая и абсолютно ннтегрнруема на всей числовой прямой. Кроме того, она нечетиа; е(Л) = О, Ь(Л) = — ( Ях) мв Лх Нх»» — у мв х оьв Лх Ых = о о +» Итак, у(х) = з ( —,„~ згв ЛхИЛ. р о 118. у: х ~ е ~Р~, а > О. М Рассматриваемая функция непрерывна, дифференцируема всюду, за исключением точки х = О, и абсолютно интегрируема на всей числовой прямой.
Следовательно, она представимо интегралом Фурье. Поскольку функция у четная, то Ь(Л) = О, 2 Г 2« а(Л) = — / е созЛхих = х х(а + о Таким образом, искомое представление данной функции интегралом Фурье имеет вид 2а соз х и / аз+Лз о 119. у:х~ е Рдмв ух, а>О. М Петрудно проверить, что зта функция дифференцируема всюду и абсолютно ннтегриру+ о« емана1 — со, +со[(~е з!л гУх~ ~. е , + (О ~м~ ' гУ ~ ~( е «р~, У' е «рб сходится). позтомуееьгожнопредставить интегралом Фурье.
учктывая нечетность функции, имеем я(Л) = О Ь(Л) = — е «» гйл Ух ан Лх г(х. 1 о Переходя под интегралом от произведения синусов к разности косинусов, получаем о«« + 1 Ь(Л) = — е *сох(гУ вЂ” Л)хая — — у о *сов(~У+ Л)хдх = х / о о а 4агУЛ х(аз + ()У вЂ” Л)з) гг(аз+ ()У + Л)з) х(аз + (гУ вЂ” Л)з)(аз + (11+ Л)з) ' Следовательно, +« 4а~У ) Лою Лев а>О.Ь т / (аз+(Р— Л)')(а'+(~У+ Л)з)' о 1гО. Угх бй Гл. 1.
Интегралы, зависящие от параметра 4 Замечая, что все условия теоремы о представимости функции интегралом Фурье здег ~ выполняются, имеем Еоо лз а(л) = — / о * совлхох = — г о (см. пример 73), ггт о Ь(л) = О (в силу четности функции х г е ). Таким образом, представление интегралом Фурье имеет вид Ооо о 1 1 л е = — / о о созлхол.> л/ 2 2 а«(Л) = — Г о сов Лх г1х = гг(Аз + 1) ' Ь,(л) =О, о Ег« г Г .. гл а, (Л) = О, Ь (Л) = — Г е в1п Лх г1х = Р г х У т(Лз+1) о Таким образом, в первом слгчае Ф(х) = — / г1Л, о а во втором 2 1 Лв1п ЛхгЬЛ л + о Найти прямое комплексное преобразование Фурье функции Г", если: 122. у:хг е «м1, а>О.
М Подставляя данную функцию в указанную формулу преобразования (см. (3), п.5.2), получаем — е «О~соввлг11 — — е О~в1п глг11 = ~/гя я/ лгггя т.г' 2 о / е соввлггг = ~/— а > О. й ~/я / М о Д(Л)= — е ~~~" г11= 121. Функцию (; х г е, О < х < +ж, представить интегралом Фурье, продолжая ее: а) четным образом; 6) нечетным образом. < В случае а) в выражении для функции 1' вместо х подставим )х); в случае 6) будем рассматривать функцию Г: х г- гОховбп х.
Очевидно, при х > О функции Ф; х г е и Г: х 1 е Ой вбп х совпадают с данной функцией, а при х ( О первая из них является четным продолжением, вторая же — нечетным продолжениелг функции у', т, е. Ф( — х) = Ф(х), Ь'(-х) = — Ь'(х). Поскольку функции Ф п Г удовлетворяют условиям представимости их интегралом Фурье, то по соответствующилг формулам находим в 5. Интегральная формула Фурье 123.