Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 3. Kratnye i krivolinejnye integraly (2001)(ru)(T)(224s) (Антидемидович), страница 10

Г:х~ хе щ ~, о>0. И Как и в предыдущем примере, находим +оо ео ео Г(Л) = — э( Ге ' ЙГ = — Ге сов тЛ 41 —— -од~-ог 1 Г э/2т,/ э/2т,/ э/2л / + оо .БГ = — гг( — г ге яв 1ЛЙ 1е О~яп 1ЛЙ = и 8 оЛ в. (Л' + ол) э ' а Заметим, что последний интеграл можно получить дифференцированием интеграла Фурье из предыдущего примера по параметру Л (дифференцированне под знаком интеграла ес снравеДливо в силу равномерной сходимостн лнтеграла ( ге ' яп 1Л 41 относительно Л). ° . 0 124. Найти прямое синус-преооразование Фурье функции ( 1, 0<х<2, Г:х~ 3, 2<х<4, О, 4 < х < +ос.

Функция Г удовлетворяет условиям теоремы п.5.2, поэтому она допускает прямое синус- преобразование Фурье: + 2 э г(„, „, с/г,„„„у о о э 21 1 Г2 — — (1 — сов 2Л+ 3(сов 2Л вЂ” соз4Л)) = — 11 — (1+ 2 сов 2Л вЂ” 3 сов 4А). М тЛ вЂ” Л)(1. 125. Найти прямое косинус — преобразование Фурье функции х, 0<х<1. Г: х ьо ( ег, 1 < х < +ос. 4оо г Е оо Д(Л) = )( — э1 Х(х)совЛхг1х = — хсовЛхг1х+ е *созЛхНх Г2 Г 1 — * о э 1 2 /вгпЛ сов Л вЂ” 1 совЛ вЂ” Ляп ЛА (Л+ Л + Л+1 Применяя преобразования Фурье, решить следующие дифференциальные задачи: )( уо + шэу = гэ(х), 0 < х < +ос, 1 у(О) = О, у(+оо) = у'(+оо) = О, М Применим синус — преобразование Фурье.

Для этого умножим обе части уравнения на — яв Лх и проинтегрируем по х от 0 до +со: 2 2 à — у"(х) вщ Лх 4х + ш у,(Л) = Ээ,(Л). л / о М Функция Г является кусочно — гладкой на любом отрезке полуинтервала х > 0 и абсолютно интегрируемой на )О, +ос(, поэтому к ней можно применить косинус-преобразование Фурье.

По первой формуле (1), п,б.2, имеем бб Гл. 1. Интегралы, зависящие от параметра К интегралу применим интегрирование по частям и учтем при этом краевые условия: Л / у'(х) созАхЫх = а с +а г у(х) соя Ах + Л ( у(х) зш Лха1х = — Л~)( — у,(А). а 2 а у" (х) йв Лх а1х = у'(х) з1п Лх ) Т а Подставив это значение в (1) и решив полученное уравнение относительно у,(А).

найдем аз,(Л) ,„г Лг' Для восстановления функции у используем обратное синус — преобразование Фурье: у(х) — — згп Л х а1Л. ~ )/л / шг — Лг а уз+ у = аз(х), О <х С+со, у'(О) = О, у(+эо) = у'(+ос) = О, и = сопзг. — / у (х) соз Ах йх + ш~у,(Л) = ага(Л). а Учитывая краевые условия, преобразуем интеграл: у (х) сов Лх а1х = у (х) созЛх! + Л у (х)зш Лха1х = — Л зГу,(Л). а 1 Ъг' Л тогда иэ (1) аналогично проделанногчу выше получим у,(л) = р'( ),. ыг — Лг Применяя к функции у, обратное преобразование Фурье, приходим к решению данной задачи: у(х) = 1( — ~ ' соа Л х ~И. ~ Е Г р,(л) )/ / ' - л' а Уцраисиення для самостоятельной работы синус-преобразованне Фурье следующих функций: х, 0(х(1, ( созх, 0(х(т, 56.

У:х~ О, 1<х<+ . ~' ~ О, <х<+ х, 0(х(1, шах, 0<чх<2т, 55 г х~ О 1<х<2 О, 2з (х <+оо. е *, 2 < х с +оо. косинус-преобразование Фурье следующих функций: Найти прямое 55. у:х~ 57. г":х~ Найти прямое ц Приыениьг косинус — преобразование Фурье. Для этого умножнм обе части уравнения на ~ — сов Ах н проинтегрируем по х от 0 до +ош Глава 2 Кратные и криволинейные интегралы ~ 1. Интеграл Римана на компакте. Приведение кратных интегралов к повторным и их вычисление 1.1. Мера пг-мерного параллелепипеда. Если в евклцДовом пРостРанстве В~ заДана система вектоРов Уэ У = 1, го, построен ог †мерн параллелепипед У, то его мерой (обаелюлг) дУ = )У) будем число ~у-~~о„„„..., м ь и на ней называть где (Уг Уг) ° (Ул1 У ) (Уг Уг) .

(Уг. У ) (Уг Уг) (Уг Уг) 1(уг Уг Уп) О, если ] (6, —,,)', в силу чего равенство (1) принимает вид )У) =П'(ь, —,) Кролле бруса У рассматривают также открытый брусУ =)ог, Ьг[х]аг, Ьг[х ... х]а, Ьэ,[ и полуоткрытые брусы У = [аг, Ьг[х[аг, Ьг[х...

х [а„, Ьм[, .У =]ал, Ьл) х)аг, Ьг) х... х)а, Ь В каждом случае полагают р,г = ) г ) = )У). Если каждое ребро [а„Ь„), у = 1, пг, бруса У разбить на и, частей точками хе = аг < ОО хг'г « ... х„~, = Ьг и пРовести чеРез зги точки гипеРплоскости х, = хл~ . Ь = О, пю то получим так называемое сеточное разбиение П = (Уг, Уг,; Уэ) (и = пгпг ... и ) бруса У на элементарные брусы (ячейки) У„л = 1, и. В качестве ячеек моясио брать не только замкнутые брусы У„но и открытые брусы Я. Если П вЂ” сеточное разбиение бруса У, то э п иУ =.~~~ иУ, = ~~~, [У;) (4) (У УЗ) (У Уг) (У л У л) — определитель Грама от этих векторов, Параллелепипед У = [аг, 6г] х[аг, 6г) х... х [ало Ьм] называется т — яернылг брусом. Его ребра взаимно перпендикулярны, так как он построен на векторах у, = (6, — аг)ем у' = 1, т, где е, — векторы стандартного базиса пространства и'"', у которых г — я координата равна единице, а все остальные — нули.

Для скалярного пРоизвеДениЯ (У, Уь) имеем то Гл. 2. Кратные и крнволинейные интегралы Теорема. Если: 1) при а(П) — » О Зйтбп(7) = 7, то 7 б Я(7) и при этом 7(х) ах = Е 2) 7 б Я(У), то Э 1пп Яп(7) =э~7(х)йх. а<п1 в з Эта теорема устанавливает два эквивалентных определения интеграла Римана иа брусе. ~~, 1УЛ<' з=з Определение 2. Множество Е точек евклидова пространства И имеет иорданов у меру О, если зг > О существует»покое конечное покрытие 1у = (7; 7 = 1, и) (И» (,7»; 7 = 1, п)) этого множества брусами 7 (открытыми брусами .7з), меры которых )7»(, ч»ло ~17»1 < г. (2) Из определения 2 следует, что всякое множества жордаиовой меры О имеет лебегову меру О.

Теорема (Лебега). Пусть 7: 7 И вЂ” ограниченная на брусе. 7 функция и А С 7— множество ее точек разрыва. Функция 7 интегрирувма на брусе У тогда и только тогда, когда А — множество лсбсговой меры О. 1.4. Интегралы функций, заданных иа произвольных множествах точек евклидова пространства И Определение 1. Пусть Е С И и А Э Е. Функция хх: А И, где ( 1, если хбЕ, О, если хбА»гЕ, называется характеристической функцией мнолсества Е. Определение 2. Пусть Е С У С И, где У вЂ” некоторый брус, 7: У И ограниченная функция.

Полагаем 7(х) Нх = ( 7(х)т (х) йх, / если 7х . б В(7). При этом пажем 7 б Я(Е). Определение 3. Пусть Е С И~, 7: Е И вЂ” ограниченнал функция,7 Э Е произвольный брус. Продолжим функцию 7 в каждую точку множества 7 1 Е, образовав при энгом функцию Е: У И, где )( 7(х). если х б Е, ) О, если х б У 1Е. 1.3. Мера О Лебега и мера О Жордаиа. Определение 1. Множество Е точек евклидова пространства И имеет лсбсгову меру О, если Че > О существует такое сметное покрытие )у = (У: 1 б И) этого множества брусалт У (счспзнос покрытие И» = (7»: з б Щ открытыми брусами 7»), меры каторгах р,7„= р,7, = ~7» ~, что 72 Гл. 2.

Кратные и криволинейные интегралы если, кроме того, У б С(К), то найдется такая точка б б К, что У(х)д(х) Их = ГЯ / д(х) дх (б) (теорел)а о среднем). 1.б. Приведение кратного интеграла к повторному. Следующая теорема позволяет свести вычисление кратного интеграла к повторному интегрированию. Теорема (суубини). П)усть У) С Я",. Уг ч К вЂ” брусы е еек)идовых пространствах и )г ) У )д, У = У) х Уг — ингпегрируемоя на брусе У функиия. Обозначим р(х) = у~у"(х.

у) ду, у(х) = э~ У(х, у)ду, х й У,. тогда функиии )э и ь интегрируемы на брусе У) и при этол справедливы равенства Д(х, у) дх ду = / р(х) Их = / )Ь(х) дх, .т 71 где / Д(х, у) дх Ну — итпеграл Ранена функции Г на брусе У. 11нтегралы ] )э(х) дх. ] 6(х) дх называются псе)парными интегралами функции Г. л) д) Справедл)гвы также равенства (2) в которых интегралы называются повторными. взятыми е обратном порядке по сравнению с повторныл)и интегралами (1), Следствие У, Если функиия у ) г(х, у) интегрируема на брусе Уг, то при выполнении условий теоремы Фубини справедливо равенство (4) т.е.

повторные интегралы, взятые е обратном порядке по отношению друг к другу, ровны 4)ежду собой и кождыб из них равен кратному интегралу функиии У на брусе,7 = У) и Уг. В частности, формула (4) справедливо е случае, когда у' б С(У). Следствие Л, Пусть функция Г ) У ЬЬ интегрируема на брусе У =(ам Ь)] х (аг, Ьг] х х (а, Ь ]. а также на гондол) из брусов У, = (ам Ь)] х (аг, Ьг] х х (а„, г.

Ь -г] Уг = Если, кроме того, функция х ) У(х, у) интегрируемо на брусе Уз, то спраеедлоео равенство 6 1. Интеграл Римана на компакте. Приведение кратных интегралов к повторным 73 [а», 61) х . х [ат-з, 6 -з),, У»в — з = [а», 61) х [аг, 6г) и но сегментах [аг, 61], у = 2, п». Лрил»ение теорему Фубини т — 1 раз, получим ровенство ь, ь, ь л(х)дх / йх1 / Йхг ... / У(х» хг, ° . х )дх (5) посредством которого интегрирование по брусу У сводится к повторнол»у интегрированию. Лри атон все переменные. кроме»лой, по которой производи»пся интегрировоние„4иксиру- Ю»ЛСЯ, 1.7. Некоторые конкретные реализации интеграла Римана на компакте. Рассмотрим два важных сзучая.

1. Пусть К С м~ — коь»пакт с краем дК. Множество дК точек границы комцакга К является гладкой или кусочно-гладкой кривой класса С и поэтому имеет лебегову меру О, в 1 силу чего измеримо по Жордану. Если г": К П вЂ” интегрируемая по Риь»ану на множестве К функция, то ее интеграл / г"(х) дх к называется двойным интегралом и обозначается // у(~, у) д~ ду. к К = ((х, у) б )й : а < х < 6, у»(х) < у < уг(х)), (2) где у», уг — кусочно-гладкие функции. Согласно определению 3, п.1.4, и следствию 2 иэ теоремы Фубини, справедливо равенство (в предположении, что внутренний интеграл существует) ь зз») 1(х, у)дхду = дх у(х, у)ду, (3) з»» ) позволяющее вычислить двойной интеграл как повторный. Если множество К выпукло в направлении оси Ох, т.е. его можно представить в виде К = ((х, у) б Ь»: с < у < д, х»(у) < х < хг(у)), (4) где х», хг — кусочно-гладкие функции, и, кроме того, существует интеграл 1Ь) у(х, у)дх, л»Ь) то двойной интеграл выражается через повторный следующим образом: в *зЬ) О г (*, у) дх ду = / ду [' у(щ у) дх.

(5) »(ь) Предположим, что К вЂ” выпуклое в направлении оси Оу множество, т.е, что его можно представить в виде 74 Гл. 2. Кратные н криволинейные интегралы Если множество К выпукло, то при выполнении условий, сформулированных в следствии 2 из теоремы Фубини, справедливы одновременно равенства (3) и (Б): Уз( ) »з(у) / Г(х, У)дкдУ»» / Ых / У(х, У)дУ = з(' дУ / У(г, У)дк.