Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (Антидемидович), страница 66

163. По закону Торрпче.эли скорость вытекающей жидкости равна чз299Ь, где Ь вЂ” глубина отверстия под уролнеи жидкости. Определить время выгекания воды из конической воронки с вершиной внизу. имеющей площадь основания Р, высоту Ь и отверстие в вершине плошадью а. 164. Цияпндр радиуса 0,15м и высотой О,бм наполнен воздухом под давлением 9,5. !О Н!и . 1(экую работу пэдо совершить при изотермическом сжатии газа до объема в два г раза меньшего? 165. Точка движется по оси Ох, начинал от точки (1, О), так что скорость ее численно равна абсцпссе.

Где будет находиться точка через 10 с после начала движения? Гл. 4. Определенный интеграл ~ 8. Интеграл Стилтьеса 8.1. Верхний и нижний интегралы Стилтьеса. Критерий интегрируемостн. Пусть Х: 7 — Н, 7 = [а, Ь], — ограниченная на сегменте 3 функция, в: .1 Н вЂ” неубывающая на этом сегменте функция, П = (а = хь, хн ..., х„= 6) — — произвольное разбиение сегмента 7. Образуем верхнюю и нижнюю интегральные суммы Еп(Х, в) = ~~~ М. Ьвн .5п(Х, в) ж ~~~ т, гЬвц где М, = эвр (Х(х)), т, = !и! (Х(х)), ггв, = в(хьы) — в(х,), .,<л<л,ч1 ,цл<лыа н введем в рассмотрение числа Хбв = !в!(5п(Х, в)), / Хбв = звр(Яп(Х, в)), / / которые называются соответственно еерхним н нижним итлегралами Сглила~ьеса. Определение.

Если ] Хба = ] Хба, то общее значение ьсрхисго и иимисго иитегралое назовем интегралом С~яилтаьсса функции Х ао функции в (или опгносительио функции в) и обозначим его Х(х)б (х). Множество всех функций Х, интегрируемых по Стилтьесу относительно Функции в на сегменте [а, 6], обозначим Х б .5(в)[а, Ь]. Из этого определенгш следует, что прн в(х) = х интеграл Стилтьеса совпадает с интегралом Римана функции Х на сегменте 7 В общем случае функция в может быть разрывной на У Функцию в называют итиегрирующео функциеб, Теорегла (критерий ннтегрируемостн).

Х с .5(в)[а. Ь] се Ыг > О ЗП: О < 7!5п(Х, в) — 5п(Х, в) < г. 8.2. Интеграл Стилтьеса как предел интегральной суммы. Пусть П вЂ” произвольное разбиение сегмента,7, И(П) = шах гЬх,. На каждом сегменте ойьйь-1 [хн хс Ы] возьмем произвольную точку б; и образуем сумму Яп(Х, ) = Е Х(6) 1, =э которую назовем ииа1егральиой суммой Стилтьеса. Полагаем !!ш Еп(Х, в) ж Х, если г!и1-о Ые > О ЗЬ > О: ЫП Л И(П) < Ь <Э ]Ец(Х, в) — Х[ < с. Теорема. Если: 1) при Н(П) О Л !ца.5п(Х, в), то Х б.5(в)[а, Ь] и !пп Яп(Х, в) = Х(х) дв(х); г!и! с 3,3Т( э 8, Интеграл Стилтьеса ь 2) Х Е.')((е)[а, 6], а Е С[а, 6], л(о Э 1пп Яп(Х, а) = ] Х(х)да(х).

) ) ' ( щп)-о ',Эта теорема устанавливает два эквивалентных определения интеграла Стилтьеса.ьй 8.3. Основные свойства интеграла Стилтьеса. Теорема у. Если( 1) Х Е Я(е)[а, 6], д Е Я(е)[а, Ь], то (Х + д) Е Я(е)[а, Ь], сХ Е Я(а)[а, 6], с = сопвг, и при э Р г) о и ь ь ь ь ь (г,с)()Ы)=/Л.)г.(*)г/ ()г.(*), / Л)г.()- /г()г(); 1 а 2) Х, д Е Я(е)[а, 6], Х(х) ( д(х) эх Е У, то ь ь Х(х) да(х) (ж д(х) де(х)) 3) Х Е Я(а)[а, Ь] и если с Е ]а, Ь[, то Х Е Я(е)[а, с] г( Х Е Я(аНс, Ь] и при этом ь ь Х(х) де(х)+~Х(х) де( ) = ~Х(х) д (х); 4) Х Е,5(а)[а, 6] и если (Х(х)] ( М ()х Е У, то ( М(а(6) — а(а)); Х(х) да(х) 6) Х Е Я(е) )[а, 6] и Х Е Я((ег)[а, Ь], )по Х Е Я(е( + ег)[а, Ь] и при этом ь ь ь Х(х) д(е) + ег)(х) = /Х Х(х) даг(х) + э~ Х(х) даг(х); 8) Х Е .')(е)[а, Ь] и с — положил)сльное число, п(о Х Е Я(са)[а, Ь] и ь ь Х(л) д(се(х)) = с / Х(х) да(х). Следует отметить, что в случае интеграла Римана справедливо и обратное свойству 3) утверждение: если Х Е Я[а, с] и Х Е 26[с, 6], )по Х Е В[а, 6].

ь Для интеграла Стилтьеса из существования /Х(х) де(х) и / Х(х) На(х) не следует, вооб- с щс говоря, существование / Х(х) да(х). Теорема д, Пдсп(а Х Е Я(а)[а, Ь], А ( Х(х) ( В (гх Е [а, Ь], д) Е С[А, В] и д = д) о Х: [а, Ь] — е К. Тогда д Е Я(е)[а, Ь]. Теорема 3. Если Х Е Я(аЯа, 6] и д Е Я(еаза, 6], то) 1) Хд Е Я(е)[л, 6]; ь ь 2) $Х] Е 5(е)[а, Ь] и ] Х(х)де(х) (/ ]Х(х)]де(х), л () Кслп о раорывпа, то вооможои случай, что Х Е Я(е)(а, 6], а 1пп Яд(Х, а) ие существует (см.

л1п)-о пример 154). Гьь. 4. Опредедеииый интеграл 338 ь ь И ) дд( ) = 1( )д(х)['. — ~д(х)й(х) 8.4. Классы функций, интегрируемых по Стилтьесу. Теорема 1. Если функция 1' непрерывна на сегменте [а, 6], то з' Е Я(а)[а, 6]. Теорема 2. Если функция 1' монотонна на сггменпье [а, 6], а о Е С[а, 6], то 1' Е Я(о)[и, Ь]. Теорема д.

Если Х Е П[а, Ь], а о удав.пепьворягьп условию Липтииа на [а, Ь], ьпо Т Е Я(о)[а, Ь]. Пусть Ь: 7 К вЂ” функция ограниченной вариации на гсгмонте 7 = [а, Ь], Т ь .У В— произвольная функция. Согласно теореме 4, Ь 5, Функция Ь представима на 7 в виде где а и !3 — неубывающие на этом сегменте функции. Определение. Полагаем 1(х) д!ь(х) = з[ ((х) до(х) — / !(х) ИЯ(х), если Х Е Я(о)[а, 1ь], 1 Е Я(11)[а, 6], и при тиом будем писать ~ Е Я(6)[а, 6]. Теорема 4.

Егпи ~ Е П[а, 6], ьо Е Я[а, Ь], д(х) = ус + [ р(!) дз, а < х < 6, уз = соььэг, то У Е Я(д)[а, 6] и при этом ь ь Т(х) Йд(х) = [ У(х)ьэ(х) дх. (3) В.б, Вычисление иитеграла Стилтьеса. Теорема. Пуппь ~ Е б'[а. Ь], а функция д кусо ьно-ььгпрерььона на [а, Ь] и омегт инпьсь грируемую на этом сегмептг проиюодную д коптрая гутгшнвуень в камдой пьочк» непрерывносгпи функции д. Пусть зс — — а, гь, ..., х,„= Ь вЂ” точки разрыоа функции д и ев производной д . Тогда справедтго формула У(х) дд(х) = [[ Дх)д'(х) дх+ У(а)(д(ьь, + О) — д(а)) -/- — ь +1(6)(д(1ь) — д(6 — О)) + ~ /(хь)(д(хь(+ О) — д(хь — 0)).

(1) ь=ь В.й. Теорема о среднем и оценка интеграла Стилтьеса. Теорема г. Пусти ь ь [а, Ь] К, ш < )'(х) < М ьх Е [о. 6], д: [а, Ь] В не убываепь на [а, 6] и Х Е Я(д)[а, 6]. Тогди тьргьведливи форзьула ь У(х) дд(х) = р(д(6) — д(а)), где <р<М. Теорема 4 (формула интегрирования по частям). Пусьпь 1 ь [а, 6] 2, д: [а, 6] — Р. и сутеспьвуеш какой-либо из инпьвгралоо Стильпьеса [ Дх)дд(х), ] д(х)д1'(х). Тогда гутгспьвует и другой интеграл, причем справедлива формула Ь 8.

Иитетрап Стилтьеса 339 Оледеггвие.. Если Х б С[а, Ь], и!о Лб б [а, Ь]: 1(х) дд(х) = 1(с)(д(Ь) — д(а)). (2) Теорема к, Если 1' й !![а, Ь] и д; [а, Ь] И вЂ” функция ограниченной вариации на [а, Ь], еао справедлива оценка (3) (МЪ(д;а,б), Пх) дд(х) функции д. где ЛХ = гаах ]1"(х)/, И(д; а, Ь) — полная вариация «ь 149. Пусть функция о возрастает на [а, Ь], а < хь ( Ь, о непрерывна в точке хо, ь )'(хо) = 1 н 2'(х) = О, если х ф хо. Доказать, что 1 б Н(о)[а! Б] и Х(х) да(х) = О. и Из непрерывности грункции а в точке хз следует,что Че > 0 3 б > 0: гх е Е(ха, б) ~ [о(х) — о(хо)) < 2 Пусть П вЂ” такое разбиение сегмента [а, Ь], что д(П) < б.

Если точка хь принадлежит сегменту [г„х,ег] при некотором 0 < ! ( и — 1, то 5п(Х, а) = о(х;+!) — п(х;) = о(х,+!)— о(хо) + о(хо) — о(х,) < е,,эп(б, а) = О, следовательно, 0 ( 5п(1', о) —.5п(Х, о) < е и ~ к Н(о)[а, Ь]. Поскольку 5п(1, о) = 0 при любом разбиении П сегмента [а, Ь], то б г!о = зир[.5п(г', а)) = / г (х) до(х) = О. 1п1— 150. Функции дг! ! [ — 1, 1] И, у = 1, 2, 3, определены следующим образом: !дг(х) = О, 1 если х < О, д (*) = 1, если х > О, !Уг(О) = О, 19з(О) = 1, ггз(О) = —, '2 Пусть У .— ограниченная функция на [ — 1, 1].

а) доказать. что б б,5(11!)[ — 1, 1] Еэ ~(+0) = К(0) и что в этом случае ! !'(х) д(дг(х) = б(0). б) Сформулировать и доказать аналогичный результат для !дз. в) Доказать, что 2" б .5(дз)[ — 1, 1] ЕЭ у непрерывна в точке х = О. г) Пусть у непрерывна в точке х = О. Доказать, что г (х) дрг(х) = / ! (х) д(1г(х) = /,б(х) дРз(х) = гг(0). и а) Необходилгосогь.

Если 1" б .5(д!)[ — 1, 1], то, согласно свойству 3), теорема 1, п. 3.3, ! о ! ! г, (! Л-, ~ г, гг !!к ! )г!*! г !*! =/г(*!гг !*! г)гг! !г! ! !-)гг! ! г ! !. Гл. 4, Определенный интеграл так как ] у(х) 4(э'!(х) = О. -! ! Из существования ] !"(х) !1бг(х) следует, что !ге > О существует такое разбиение П сего мента [О, Ц, *по О < Зп(Х, б!) — Яп(Х, ~3!) < е. Поскольку бз(х,э!) — !э!(х,) = О, если ! ф О, и !Уз(х!) — б!(хо) = 1, то 0 < бп(Г„О!) —,Яп(у, ф!) = о!о < е, где о!о — колебание функции у' на сегменте [хо, х!] = [О, хз].

Тогда для любого разбиения П' такого, что 4(П') < !1(П), получим неравенство Зп. У, Ф!) — Вп*(У, Ф!) = ыо <., (О) нз которого, согласно критерию Бора, следует, гго функция 1 непрерывна справа в точ- кех=О: У(+О) = У(О). До<и!оп!очного!о. Пусть у(+0) = у(0), т. е. функция Х непрерывна справа в точке х =- О. Тогда !зе > О Зб > О: на интервале ]хо, хо + Я колебание ыу функции у удовлетворяет неравенство му < е. Возьмем произвольное разбиение П сегмента [ †, Ц, в которое входит точка х = О, такое, чтобы о1(П) < 6. Тогда О ( .уп(~, б!) — .Ьп(у",!О!) < о, следовательно, У б 5(б!)[ — 1, Ц. Поскольку при любои разбиении П сегмента [-1, Ц, содержащем точку х = О, выполняются неравенства < Г(х) б)уз(х) < Мз, -! где пг! = !п( (у(х)], М! = звр (1'(х)), и 1гп! оо! — — Гнп М! = у(0), то о«, о< < эо , +о ! Х(х) !10!(х) = ДО).

— ! б) Рассуждая аналогично, получаем Хб 5(Дэ)[ — 1, Ц:» Г( — О) =Х(0), ! и при этом / Х(х) Щ(х) = )(О). -! в) Пусть П вЂ” произвольное разбиение сегмента [ — 1, Ц и точка х = 0 не входит в П. Если 0 б]хэ, хэь![, то эп(У, (1з) —.Оп(у", 11з) = о!э, где ы! — колебание функции г" на сегменте [х, х эо]. Следователю!о, (ы! О при б(П) 0) оо (у(-0) = у(0) Ч у(+О) = [(О)'~ 1"( — 0) = = у(о) д Г(+о) = Г(о)). Если точка х = О входит в разбиение П и принадлежит сегменту [хэ, хээ!], то .5п(1, Дз)— Яп(У, 1уз) = -(!о] + о!) ), где и -- колебание функции Г на сегменте [хэ, О], о!1 (21 колебание функции у на сегменте [О, хэзо]. Следовательно, .Оп((, 1уз) — Яп((, Дз) 0 при б(П) 0 о; 1пп Г(х) = У(0), т.