Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (Антидемидович), страница 67

е. у непрерывна в точке х = О. Таким образом, (( б Я(!эз)[-1, Ц) ЕЭ (у" непрерывна в точке х = О, и при этом ! Дх) !111!(х) = Х(0)). — ! 18.Интеграл Стилтьеса г) Если г" непрерывна в точке х ее О, то одновременно выполняются все предыдущие случаи и при этом ! ! ! г"(х) ыбз(х) = / )(х) нДг(х) = / у(х) з1!3з(х) = )(0). н 151. Используя обозначения задачи 150, доказать, что бг б Я(б!)[-1, 1] несмотря на то, что 1по бзп(!Уг, б!) не существует. е1п> о и Интегрируемость функции 13г по функции б! следует нз случая а) примера 150, причем ! рог(х) !1ро! (х) = бг(0) = 1. — 1 Прп любом разбиении П сегмента [ — 1, 1] н произвольном выборе точек с; б [хн х,ез], ! = О, н — 1, имеем, если О б [хз, хзтз]! — ! 'У Р, А) = ~~'„)1 (6)(А(*+ ) — А( )) = ] 0" =о Следовательно, 1!и Вп(!3г, Д) не сузцествует. щп1-о , '!тот пример показывает, что условием а б сг[а, 6], о котором говорится в теорем«пункта 8.2, нельзя пренебрегать.

152. Показать, что 3([х]- х) = -„' 3 о и интегрирующая функция х !-! [х]-х, 0 ( х ( 3, представлена в виде разности неубывающей функции х ! [х], 0 ( х ( 3, и возрастающей функции х !-! х, 0 < х ( 3, следовательно, согласно определению интеграла Стнлтьеса ло интегрирующей функции ограниченной вариации, имеем 3 з з .[ х Й([х] — х) = / х д[х] — / х !1х. о о о Функция х !- [х], 0 < х ( 3, терпит разрывы первого рода в точках х = 1, х = 2 и х = 3, а функция 1" ! х !- х, 0 < х ~( 3, непрерывна в каждой точке сегмента [О, 3], поэтому, согласно решению примера 151, получаем з х !1[я] = Д1) + Д2) + Ц3) = б. о з Поскольку [ х Ых = —, то окончательно имеем г ' о з 9 3 х !з([х] — х) = б — — = —. е о 153.

Пусть р, — точки сегмента [а, 6] такие, что а = ро < р! « ... р„ж 6. Предположим, что функция д: [а, 6] К не убывает на сегменте [а, 6] и постоянна на каждом интервале ]р„реьз[, !' = О, л — 1. Пусть зе ! [а, 6] И, 1" б С[а, 6]. Вычислить ь Х(х) 30(х) Гл. 4. Определенный интеграл 342 < Функции у терпит разрывы первого рода в точках р„а функция у непрерывна на сегменте (а, 6]. На основании решении примера 151 можно утверждать, что д' б В(д)[а, 6], причем У(х) дд(х) =.Г(ро)(д(ро + 0) — у(ро)) + + ~ д(ул)((д(р, +О) — д(р ))+ (д(р ) — у(р, — О)))+((р.)(у(1ь,) — д(р. — О)) = ь=г = 1(а)(у(и + 0) — у(а)) + ~~~ Яр,)(у(р, + О) — д(р, — 0)) + 1(Ь)(д(6) — д(Ь вЂ” 0)). 154.

Пусть С(х) = й(х) -1- у(х), а ( х ( 6, где 1ь Е СО1[а, 6], й'(х) ) 0 Чх Е (и, 6], а д н 1 — функции, заданные в предыдущем примере. Вы ~испить / ХоЬС(х). М Поскольку С вЂ” неубывающая на сегменте [а, 6] функция, равная сумме двух неубывающих на этом сегменте функций, то, согласно Формуле (1), п. 8.5, имеем Х(х) ПС(х) = / 1(х) ьЫь(х) ~- / 1" (х) Ид(х).

Поскольку й б С~'1[и, 6), то [ Г(х) Нь(х) = [ 1(х)й'(х) Нх, следовательно, получаем ь ь Х(х) Н~(х) = / 1(х)1ь (х) ь1х + д~ Г(х) ьЬд(х), ь где [ 1(х) ид(х) вычисляется по формуле, полученной в предыдущем примере. 155. Пусть 1' Е С(а, 6], р Е К(и, 6], р(х) ) 0 ох Е (а, 6]. Доказать, что Г(х) о1Р(х) = / Г(х)р(х) дх, где Р(х) = р(1) Я, а < х < 6. м Рассмотрим произвольное разбиение П сегмента (а, 6] н составим интегральную сумму Стилтьеса Функции Х по функции Р: Ео .Уп(~, Р) = ~~ ~(6)(Р(хОО) — Р(х,)) = ~ У(5) / уо(х) Нх, 5 Е [х„хны]. =о =о Составим также риманову интегральную сумму интегрнруеьюй на сегменте (а, 6] функции Хр: » — 1 Яп((р) = ~~~ Я,)р(5) ьах, =о 1 8. Интеграл Стилтьеса 343 н рассмотрим разность о! ..!»г»-ь и »=2.»»»! ([1! и!»с- »»»о.;) =о (,'атласно нервов теореме о среднем, имеем р(х)»(х = и, Ьх., »и, (и, <М,, где ии = пй (р(х)), ЛХ, =- зар (р(х)).

Принимая во внимание оценку ]у(х)[ < М, *, <.«.,ч» ,< <,ч» а < х < 6, Л! = сопл(, неравенство [Л,-р(Е»)] < и»., где и», —. колебание функции р на сегменте [х„х,о»], а также интегрнруемость функции р, получаем, что о»е > О ВЛ > О: -! )дп(1, Р) — зп(Ур)[ < М~~» и» с»х» < о, =о для каждого разбиения П, для которого»((П) < Л. о Таким образом, В 1па Яп((, Р) = йт»»п(ур) = ] У(х)р(х)»(х.

Следовательно, а(п1-о а(п(-о Ь ь ( б,д(Р)[и, 5] и / ((х)»(Р(х) = ~Цх)р(х)»(х. 156. Вычислить ~ х»(д(х), где е н — 2« -1, если — 1 < х < О, еслиО<х<2. м »1»ункцня д имеет скачки, равные 1, в точках х = — 1 и х = О, а ее производная д' имеет вил ( 1, если — 2<с< — 1, д (х) = О, если — 1 <х < О, 2», еслиО<х<2. Применяя йюрмулу (1), и. 8.5, получаем 2 х »(д(х) = / х »(х -Ь 2 / хз »1х + ( — 1) 1 + О 1 = » г о х 2 з(з 17 — +-х ~ — 1= —.

» 3!о -б »(М ~~» х,( ЬФ(х,) = Яп(х, Ф), =о 157. Пусть на сегменте [и, 6] осн Ох расположены массы, непрерывно распределенные и сосредоточенные в точках х,, 1 = 1, и. Найти статический момент зтнк масс относительно начала координат. М Пусть г »- Ф(х), и < х < 6, — количество массы на сегменте [а, х] С [и, 6], причем Ф(и) = О. Тогда Ф вЂ” неубывающая функция. Пусть П вЂ” произвольное разбиение сегмента [и, Л] на и частен.

Тогда на сегменте [х,, х,ч»] содержится масса Ф(х,.>!) — Ф(х;) = »2Ф(х»). В частности, на сегменте [хо, х,] содержится масса Ф(х») — Ф(и) > О (в силу предположения Ф(и) = О). ('читая в каждом случае массу сосрецоточенной на правом конце сегмента [х„опо»], получим приближенное значение статического момента»(М всей массы относительна начала коорцинат в виде Гл. 4. Определенный интеграл 344 где Ьп(х, Ф) — интегральная сумма Стилтьеса функци~ х по функции Ф. Переходя к пределу при Л(П) — ~ О, получим для вычисления искомого статического момента И формулу ЛХ = х дф(х). Если х ь р(х) — линейнал плотность непрерывно распределенной массы, то Ф'(х) = д(х).

В точках хю у' = 1, гп, функция Ф разрывна и в каждой нз зтих точек ее скачок равен массе пз„. Применяя формулу (1), и. 8.5, для вычисления интеграла Стилтьеса, находим ь ж М = ~хр(х) лх+ ~ ~х з=! Упражнения для самостоятельной работы 166. Пусть у: х ~ ав х, 1з: х з хз — Зх+ 5, 0 <» < —. Вычислить / т(х) 31з(х). о 167. Пусть г": х н х~, О < х < 1, 1з: » ~ А, если — < х < — „, 1з(0) = О, А. = 1, и. 1 Вычислить / у(х) 3Ф(х). з ~. х,.

х,р ... [,'], О « * б. В ° «лить Х У( ~ ~~~ о 166. П у; х ° х', О < х < 1, с(х) = О если х б [' ! Вычислить / у(х) 3л(х) о 176. Пусть у': х ь хз, 0 < х < 1, зз(х) = 1, если х Е ]О, 1[, Ф(0) = Ф(1) = О. Вычислить 1 / »"( ) 3р(х). о з ( О, еслнх= — 1, 171. Вычислить / »Ну(х)> где зз(х) = 1, если — 1 < х < 2, -1 -1, если 2 < х < 3. з з г 172. Вычислить / »Нх(г), / х' 1 "(.»), / (ха+ 1) лзз(х) где ( х+2, если — 2<х< — 1, 1з(х)=~ 2, осли — 1<»<0, 3, если О < х < 2.

173. Пусть у' — функция ограниченной вариации на сегменте [О, 2я] и у(2т) = )(0). Показать, что каждый из интегралов у(х) з(п ях ох о / г(х) сохи» й», о не превосходит ' * по абсолютной величине. а Полученная формулапоказывает,что интеграл Стилтьеса позволяет объединить с помощью одной интегральной формулы разнородные случаи непрерывно распределенных и сосредоточеииык масс.

1 О. Приближенное вычисление определенных интегралов [[ 9. Приближенное вычисление определенных интегралов 1'. Формуза прямоугольников. Если Функция у(х) Е СО)[а, 6]; Л =:„; х, = о+ ьЛ (ь = О, 1,..., и); у(х,) = у„то у(х) ь)х = Л (уа + у! + ... + у — ) + Я , где )2„ ш ( †-)а у (б), и < 6 < Ь. 2'. Формула трапеций.

Если у = у(х) б Сь~)[а, 6), то прн тех же обозначениях имеем у(х)Ых = Л ( + у!+ уз+... + у„!) + А„, 2 Л у(х) ь)х = — ((уз + уг!) + 4(у! + уз+ . + угь — !) + 2 (уг+ у!+... + Уы-2))+ Я«, где А„ш — 1:;-«) — Уь )(ь'), а ~ (ь ~ (6. Примечание. Если имеет место формула [[з - 6[[, = ьп,т [., —;, [ < )ЬУЛ", гле Ь, — - прибтижеявос ззачсчве вош! поо .,: ы шсяевное по некоторой формуле, то говорят, что зта формула в некотором классе функций имеет «-й порядок точности (М Р О вЂ” постоянная, не зависящая от Л). таким образом, формула прямоугольников ямеет в классе у б с1 !) [а, ь) первый порялок точности, формула трапеппй в классе у б С12) [а, Ь[ имеет второй поряяок точности, формула парабол в классе у б С1!) [а, Ь[ имеет четвертый порядок точности. Часта вместо норльы Ц [[з берут другие спепнальные нормы, выбор которых зависит от характера решаемых зала"ь, В лальнейшем отрезок [з, Ь] с выделенными на нем точками х, — а + ьЛ (ь = О, 1,..., «) будем называть равномерной сеткой с шагом Л; точки веления х, называются узламн сетки.

158. Применяя формулу прямоугольников (гь = 12), приближенно вычислить 1 = г х яп х йг; н результат сравнить с точным ответом. о ч Рассмотрим равномерную сетку на отрезке [О, 2т) с шагом Л = е, тогда х; = ь- (! = з О, 1, 2,...,12). По формуле прямоугольников, имеем к = к ь! г 3 \ х ..3' т ч хявхь)х — — 22 ьтзш 6~ 6' 6 36 е =о =е г ь! ьт 3 \ ! яв — = — — ау соз ьх 6= 36 ь[2 =! ь! тг [ [6 выл бх яв г з— 36 [ ь! 2 2.2 !' сов бх яп — х ! — соз — х .

соз бх ! яп— ь! ь! ь . з г 2 ) 2+ яп— 2 яп 2 з 2 где )1„= -~— ," ' ув(!)), а < !) < 6, 3'. Формула парабол (формула Симпсона). Пусть у = у(х) б С1~)[а, 6). Полагая н = 26, можно получить формулу Симпсона ! л. 1. Определенный интеграл 1 . ° 11 — соз — соз Ох ып — х + 2 2 ' "' 2 Зли саз — з!п — 77) 11 12 12 7Н 11 хг ( — соз — хз(н 2 12 12 2 36 1 тйл 1г г, 11 гоз — ' з114 — „+ соз — зш 12 !" !2 с(5 —, = — —, (о + Л) = -6,.2961 х т' 12 6 г ып 12 (взяли з 3,14; 1/3 — 1,73).

Точное значение интеграла 1 = -22 = — 6,28. 1 59. (1 помощью формулы трапеций вычислить интеграл = [у(,::.0,2.4, !а=„ 4 о и оценить погрешность формулы. Построим на отрезке [О, —;) равномерную сетку с шагом А 1 = О, 1, 2, 3, 4, 5, 6) . По формуле трапеций Г,,=л —; 1г' 12 ' с 2+!/3 1 ч 7 ' . г 1 .г (2+ч73 31 ч — л + - ~ )/7+ сот 21 — = — -1- — ~ 7+ созл- 6) с +,/3 1 !/14+,/3 л/15 5— л/13 31/14 л/3 х 12 2+ 733+ 4/14т л/34 Л,"+ /14+ л/133+ Л/14- /.~~ = ( 48 3,142...,..., „3,142 22,422 — (3,732 + 3,966 з-'1,873 + 3,742 4 3,605 + 1,5!03),. †' ' 1,4677. Оценим погрешносп, формулы трапеп»ч; дгя та"о оценим К,„.