Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (Антидемидович), страница 68

Очевидно, [К„! 6. ы-(2) — !пах [/а(7!) !. «<Ог'Л а( В нашем случа~ шзх 4,1! — — ып х ) [ ( — 7 4 ' 14714' ( агс(х х 4(Х. х о < Построим равномернула сетку с шагам 5 = 0,1 (х, = 114; 1 = О, 1,..., 10) и вычислим приблигкенно С' по формулс ((пмпсш!а 1 О = — ((уо + 910) + 4(у! + Уз + ул -(- 97 -(- уо) + (92 + У4 + уа + уа)) . ,10 Вычисляя саответгтвующи4! значения функции с точностью цо пяти знаков после запятой, получаем Уо = 1', уш = 0,78540; уо + У1о = 1;78*40: ул = 0,99668; уг = 0,97152; ул = 0,92710; Таким образом, !К„! < —,„, „4 ы < 0,002 160.

(.' помошыа формулы ('нмпсона вычислить интеграл 1 (х 1= / — (6=2). / 14 г о 1! М Деля отрезок [О, 1) па четыре равных части (А = -), по формуле Симпсона имеем 1 12 ((Уо+ ул)+4(ул+ ул)+2уг) —,(1+0 5+376471+2 56+ 1 6) = 078539. 161. Принимая и, = 10, вычислить константу Каталана 1 э' 9.

Приближенное вычисление определенных интегралов 347 уэ = 0,87246; уэ = 0,81424; 4(уэ + уз -~- уэ -1- уг+ уэ) = 4 4,58220 = 18,3-880; уг = 0,98698; уэ = 0,95127; ув = 0,90070; ув = 0,84343; 2(уг+ уз + уз+ ув) = 2 3,68238 = 7,36476. Подставляя вычисленные значения, находим С вЂ” 1'78540 + 18'32880 + 7'36476 30 1 .х Т 3х в 162. Пользуясь формулой — = э —, вычислить число х с точностью до 10 4 / 1+хг' э 1 М Мы уже вычислили в задаче 160 интеграл ) ~~, с помощью формулы Симпсона, взяв 1+ э э 5 = 2 .

Оценим погрешность формулы. Поскольку (см. пример 77, гл. П) т1э1 (-1) "э 1 „'„, э)ээ ((н+ 1) агс18 х), .г) (1+ хг) г то ~( е э) < 4! при х Е [О, 1], следовательно, 00 ]В„[ < — — = — 5 10 4 180 4э 1920 Используя результат задачи 160, нахоцим х 4 0,78519 = 3,14156. Сравнивая полученный результат с табличным т = 3,141592..., видим, что все четыре цифры после залитой правильны. 163. Вычислить з[ е' йх с точностью до 0,001. э Г 11э1 М Вычислять интеграл будем по формуле Симпсона; поскольку 11в ) < 228 при х Е [О., 11, то шаг сетки выбираем из условия (оценивая погрешность формулы парабол) Ь~ < !э эв 8 )Π— 4 !э Деля огреюк [О, 1] на 10 равных частей, получаем 1 е' 3х = — ((уэ+ уээ) +4(уэ + уз + уз+ уэ+ уэ)+ 2(уз + уэ+ уз 4 ув)) 30 в Вычислим значения функции е в узлах сетки с точностью до 1О (можно вычислить, используя, например, формулу Тейлора).

Имеем уэ = 1, уш 2,71828, уэ 1,01004, уэ 1,09417, уэ 1,28733, уэ 1,61210, уэ 2,24789, уг 1,04081, ув 1,17351, д, = 1,41312, р, = 1, 89648, у. + ум = 3,71э828; 4(у, + д. + у, + д, + у,) = 4 7,27173 = 29,08692; 2(уг + Ув + Ув + дв) = 2 5е54412 = 11,08824; 1 1 43,89344 е' ~1э' — †(3,71828 + 29,08692 + 11,08824) = ' 1,46311. 30 30 э Полу шли т1эи верных цифры после запятой. 1 э 164.

Вьгшслить э (е — 1)1в — 4х с точностью до 10 э 1 М При х — 0 (е' — 1)1н — О, поэтому интеграл Римана существует. Производная четвертого порядка подынтегральиой функции имеет весьма сложный вид н оценить ее трудно; более того, уже первая производная подынтегральной функции неограничена на [О, 1]. В Гл.

4. Определенный интеграл 348 принципе мы можем воспользоваться формулой Симпсона, однако оценку погрешности произвести не сможем. Поэтому поступим следующим обрааом. Разложим по формуле Тейлора функцию 1 — е по степеням х; 1 — е = —:с + — + — + — + — -1- — 4. 77(х), 2 6 24 120 720 ] мз' где Л(х) = — „',, 0 < с < 1. Запишем подынтегральную функцию в виде г" (х) ж (! — е ) 1в х и обозначим через !о(х) функцию х х х х х' ~(*) = -! к+в 2 6 24 120 720 ] Очевидно, у(х) = !э(х) + 11~(х), гле 7(~(х) = 1в хЛ(х). Оценим [Л~(х)[ = [ь'; * ~ при х Е [О, 1].

Поскольку !!ш х'1вх = О; 1в1 = О, то функция [х[ = [хе1пх] достигает абсолютного -э максимума в некоторой внутренней точке отрезка [О, 1]. Дяфференцируя э(х), получаем 1 з'(х) = х + 7х 1в х, Приравнивая нулю х'(х), находим, что в точке х = е т функция /х(х)/ достигает абсолютного экстремума, равного 1,! 1 шах [х(х)] = [ — — е а< 42 ! 7 [ 7е Так как [Я(х)[ < — „', при х б [О, 1], получаем оценку [г(х) — р(х)[ = [77~(х)~ < — ',. Таким образом, (6(х) — !э(х)) Нх < [т(х) — !э(х)[бх « — 10 7 7! поэтому вместо интеграла функции 7(х) будем вычислять интеграл от функции !о(х).

Заданная точность будет обеспечена, если в процессе вычисления интеграла функции !э(х) погрешность вычислений пе превзойдет 10 Интегрируя функцию у(х) по частям, имеем Г /х У(х) 3х — ~ у(х) 3х = й(х)1и х~ + / [ — + — + — + — + — + — ] 4х = !а,/ ~,2 6 24 120 720 7! ] о о 1 1 1 1 1 1 4 18 96 600 6 6! 7 7!' где и й(х)!пх~ = й(1) 1в1 — 1пв р(х)!ах = О. о -о С точностью до 10 ~ имеем 1 1 1 1 — = 0,250000; — = 0,055556; — = 0,010417; — = 0,001667: — = 0,000231; 4 ' ' 18 ' ' 96 ' ' 600 ' ' 6 6! (1 — е*) 1в х Нх 0 250000+ 0055556+ О 010417+О 001667+ 0 000231 = 0317871 0 3179.

П о 2 а65. Вычислить с точностью до 0,001 интеграл вероятностей 1 = ~ е * бх. о 350 Гл. 4. Определенный интеграл Мы моглп бы поступить здесь, как и в предыдущей задаче 164: аппроксимировать функцию а з полиномом. Но в связи с тем, что промежуток интегрирования имеет длину 2,4, а степени (2,4)" расту~ довольно быстро, нам пришлось бы для обеспечения нужной точности ваять больше 15 членов разложения в формуле Тейлора. Интеграл ! будем вычислять по формуле Симпсона.

Найдом у! функции у = г Поскольку у!'! = 4у (3 — 12хг + 4х'), го [УНО(х)[ ( 4(З вЂ” 12 . 5 76 + 4 33 1776), х б (О; 2 4], так как [е ' < 1, а функция = = 3 — 12х +4х монотонно возрастает при х ) 4! —. Таким 2 4 Б образом, [уы!(х)[ -. 4 66,5904 = 26!6,.1616, 0 ( х < 2,4. Оценивая погрешногть 17 формулы Симпсона — — (с), а<6(5, (Л вЂ” е)Л4 130 находим для нашего случая 180 Из усаовия ]!1~ < 1О ' полъчаем 1О-' , 1О 3 , 10 )413,55148 )/ 3,5 ' )/3,5 Для получения заданной точности можем взять Л = 0,1. Рассмотрим сетку на отрезке (О; 2,4]: и1, = (х, = 0,11; ! = О, 1,...,24). Для обеспечения заданной точности значения подынтегральной функции в узлах сетки будем вычислять с пятью значащими цифрами после запятой. Имеем уа = 1; угз 0,00315; у! О!99005: уг — 0,96079; уз - 0,9!391; у! = 0,852!4; уз - 0,77880; уа = 0,69768; ут = 0,61263; уа 0,52729; уз 0,44486; у!а 0,36788; у!! 0,29820; ущ 0,23693; у!з 0,18452; уы 0,14066; у!1 0,10540; у!а 0,07731; у!! 0,05558; у!а сз 0,03916; у!з 0,02705; уга 0,01832; уг! 0,01216: угг 0.00791; угз 0,00504; уа + ум 1,00315; 1г 1! 4 ~ угг ! 4 4,42822 = 17,71288; 2 ) уг 2 .

3,92627 = 7,85254; 1=1 1=! ! ( к — з а ч ( 28,56857 — Уа + У!4 + 4~ Уг! — ! + 2 ~Уг! ' — 0,8856. 1=1 Рассмотрим точное значение 1 = и†= 0,3862..., а также ошибку Я = 1 — Х = 0,0006 = б 10 4. Полученная точность превысила заданную. ° 166. Приближенно найти длину эллипса, полуоси которого а = 10 и 5 = 6. М Параметрическими урвал~пнями эллипса являются х = 10соа1, у = 6зщ1, 0 ( ! < 2.г, а длина его дуги 5 г 1= 1',ЗВч ' !~ой! 2 = 1',/П4,, гь.з,.

а а Вычислим интеграл с помощью формулы (,1нмпсона, разделив отрезок [О, -] на 6 равных частей (л = — ). ГУдел! вы !исллгь !иачениз подннтсгРальпой фУнкции в Узлах сетки мь = 12) ' (!Л; 1 = О, 1, 2, 3, 4, 5. 6): уа = 5, уа = 3, У! =- Ъ217+ 4ъ'3 — Ъ12!3,928 4,892; Уг = ът 7+ 4 = ъ!2! 4,583, уз = ъгГ7 4,123; уз = ъ'!7 — 4 = ъ!!3 3,606; уз = ~/117 — 4ът3 ъ!ЙО 072 3,171; Уа + Уа = 8; 4 (У! + Уз + Уз) 48,756; 2 (Уг -!.

У4) 16,378. Подставляя получени! «. значения в формулу парабол, находим: 'т, 6,283 73,134 5 — — (3-1-48.756+ 16 378) = ' ' 51,056, !ь '! ' 9 3 9. Приближенное вычисление определенных интегралов 351 Гма 1 х у = / — гй (О С х ( 22), приняв 25х = —. -/ 3' а 2, 3, 4, 5, 6) . Значения функции у(х) в узлах 167. Построить по точкам график функции М Рассмотрим сетку а2й = (х, = —; 1 = О, 1 з ' сетки: з 2 2 1 сйпх — Ух; а Гвгпза Г згпх — - Ггз; Уг = — 1Ь; / х а а Уа = О гв 1 сбпх Уб / х з 1 гбпх Ув = — б(х,' з Гвг х уб = — Ух; а а а :Задача сводится к приближенному вычислению шогти интегралов. Рассмотрим на отрезке [О, 2т) сетку йгй = (х, = 1 —; 1 = О, 1,..., 24); очевидно, узлы сет- 12 ' ки мй являются узлами сетки й21,.

Вычислять интегралы будем по формуле Симпсона. у Находя значения функции дискретного аргумента у, = — '- в узлах сетки 221„получкм уа = 1!гп —." =— а 12 1 0,2618; уй 0,2590; уг = 0,25; уз и2 0,2359; ув 0,2165; Ув 0,1932; уб 0,1666; Уг 0,1380; ув 0,1083; ув 0,0785; Уга = 0,05; у» — 0,0235; У12 = О; угз -0,0199; У11 — 0,0357; Уы ж — 0,0471; уы вз -0,0541; уп Пг 2 з Т 1 — 0,0568; угв — 0,0555; угг — 0,0508; уга ж — 0,0433; уг1 -0,0336; угг — 0,0227; угз — 0,0112; угв = О.

Очевидно, У1 — (уа + Ув + 4(У1 + Уз) + 2уг) = †' 0,9860; 2.9579 3 3 — 1,6469; 4,9407 3 1 Уг 3 5,5570 — — ж 1,8523; 3 1 Уз 3 5,1635 3 1 Уз 3 1,5082; 4,5247 3 1 Уа 3 4,2568 3 ПРи х Е)0, гг[ У'(х) ) О, а пРи х Е]т, 21г[ У'(х) < 0; Уй(х) ( 0 пРи х Е ]О, з [. Таким образом, у(х) з интервале )О, т[ возрастает, а в интервале ]т,,в [ убывает; на интервале ] О, —, [ функция у(х) выпукла сверху. ГраФик функции изображен на рис.

72. 2в Упражнения для самостоятельной работы 1а 174. Вычислить 1п10 = / —, используя правило Симпсона при и = 10. Найти модуль гю а перехода от натуральных логарифмов к десятичным. Сразиить с табличным значением. с Уа + Ув + 4 ) Уы-1 1=1 Г Уа+ У + 4~~~~ с Уа + Угб + 4 ~ Угй-г 1 — -1 с 1а Уа + Уы + 4 ~~', Уы-1 1=1 с гг уа -1- уг4 + 4 ~~' Угй-1 +2> У 1=1 +2~ ~угй й=! 1 + ~~ У2й й=1 9 + 2 ~' угй й=1 » +2~ угй й=1 Ответы Глава 1 9.

а) Л О В = (х: — 4 < х (4), Л П В = (х . "0 < х < 1), А)В = (х; — 4 < я ( 0), 'В)А = (х:1<х<4), Л /Ь В = (х:( — 4<в(0)Л(1(х<4)); 6) А О В = (х: — 1 < х 6), А П В = (х:О(х<2), Л)В = (х: — 1<я<0), В)А = (я;2<х(6), А /З В (х: ( — 1 < х < О) ь< (2 ( (х < 6)); в) А О В = А, Л П В = В, А)В = (х: з = 2п, ьь Е Е), В)Л = о, Л,~З В = (х<хя2<ь<<ЕУ). 10.

а) А О В = В, А Г) В я А, А<)В о, В)Л = Л сь В = ((х, у); — 1 < х < 1,;~Т вЂ” хз < (у) < ) -)х)); 6) А О В = А, А гь В = В, В<<А = о, А(В = Л /ь В = ((х, у); — 1 ( к ( 1, 1 — /х/ < )у/ < 1); в) А О В = ( (х, у): ()х) + Ьу) < 2) Ч ((х — 2) + (у — 2) < 4) ), А П В = ((х, у): О < в < 2, 2— ь/4х — хз < у < 2 — х), Л')В = ((х, у): ( — 2 < х < О, 2 — к < у ( 2+ х) ц (О ( х < 2, — 2+ х < у < 2 — ь/4х — хз) ), В)Л = ((х, у): (О < х (2, 2 — х ( у < 2+ ь/4х — х ) ьь (2 < х < 4, ьу — 2( < ь/4х — хз) ), А <З В = (А)В) О (В)Л). 11. а) Множество точек прямоугольника, ограниченного прямыми х = — 2, х = 1, у = — 3, у = 1, причем стороны, лежащие на прямых х = -2, у = — 3, не принадлежат множеству А х В.