Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (Антидемидович), страница 65

Сегмент круга радиуса Я, соответствующий центральному углу 2п, вращается во- круг своей хорды. Определить обьем тела вращения. 130. Куб с ребром а вращается вокруг своей диагонали. Определить объем тела, полу- ченного в результате вращения одной из граней куба, 137. Ребро куба а. Определить объем тела, полученного в результате вращения одной из граней куба вокруг диагонали противоположной грани. 138. Кривая, заданная уравнением хо+уз зз 2ахуз, вращается вокруг оси Оу. Определить объем тела, ограниченный полученной поверхностью вращения.

Найти объемы тел, ограниченных поверхностями; 139. Ь" = ((х, у, з) Е Рз; то+ 4у и Оз, хо + 4у ж 1, з = О). 140. 5 = ((з, у, з) Е Ы~: уз = 2у(а — х), х — з = О, х — 2з = 0). 141. 5 = ((х, у, з) Е Я~: зз = (а — х — у)а, х = О, у = О, э = 0). 142.

Я = ((х, у, з) б зз~: зз = Ь(а — х), то + уз = ах). 143. 8 = ((з, у, з) Е й~: уз + зз = а ей~ — *, — Ь < х < 6) . 144. В прямой круговой цилиндр (стакан) радиуса г налита вода. Ось наклонена под углом о к горизонту. Часть дна, покрытая водой, является сегментом с центральным углом тоз. Найти объем воды. 145, Трн взаимно перпендикулярные прямые являются осями трех круговых цилиндров одинакового радиуса т. Определить объем общей части всех трех цилиндров. ззг Гл.

4. Определенный интеграл ~ 7. Общая схема применения определенного интеграла. Задачи из механики и физики 7.1. Аддитивная функция промежутка. Если всякому сегменту [а, Д], содержаиг*муся в фиксированном сегменте [а, Ь], отвечает значение определенной физической или геометрической величины Р([о, (у]), то Р называют функцией промежуглка. Определение. Фуикция Р: [а, д] |-о Р([о, й]), [а, Я] С [а, Ь], иазываеьнся аддиюивиой, если Чу Е ]о, д[ =.ь Р([о, й]) = Р([а, у]) + Р([т, Д]). Теорема.

Пусть Р: [а, Я ьо Р([о, Д]), [а, д] С [а, Ь], — аддипьивиая функция, а р; [а, 6] 66, р Е С[а, Ь], такая функция, чпьо Р([хо, х]) = р(х — хо) + о((х — хо)), х хо, эхо к [а, 6]. Тоада справедлива формула ь РЯа, б]) = ~р(х) Нх. 7.2. Вычисление статических моментов, моментов инерции, координат центра тяжести плоских кривых и фигур. Пусть (М (х, у )) — система материальных точек плоскости хОу с массами т,, 1' = 1, гь. Величины М,, = ) опоу„ о э 1 =~ па у„ ь=)го)л+7ог ., о=1'.*от г( г ., (о) а координаты ее центра тяжести С(Ь, у) вычисляются цо формулам Мо М где 1 — длина кривой у.

Предположим, что криволинейная трапеция Ф лежит по одну сторону оси Ох и что оиа однородна. статическими моментамн и моментами инерции этой трапеции относительно осей Ох и Оу называются соответственно величины ь 61о — зда 1(х) ~ х 1(х) дх, охват) / э,. 2 (4) 1, = — / 1 (х)[1(х)[обх, 1„= / х [3(х)[дх, а координаты ее центра тяжести С(6, у) вычисляются по формулам М„М Р' Р' называются соответственно спьаоьичвским момеипьом и моментом инерции этой системы точек относительно оси Ох. если на гладкой кривой т = ((х, у) е к~: у = Дх), а ( х ( 6) равномерно распределена масса с линейной плотностью д ы 1, то статическими моментами и моментами инерции кривой 7 относительно осей координат называются соответственно величины Гл. 4, Определенный интеграл гидростатики, согласно которому давление воды на полоску, погруженную в нее, равно площади полоски, умноженной на глубину погружения: Р((г, х+ Их)) — х1(х) Ых = 2х1гГаз — хз сХх.

Согласно формуле (1), и. 7.1, имеем О 2 з Р = 2у~ х,lа' — хэ Их = г(а — х )э = -а'. 3 3 о 147. Диск толщиной 6 и радиусом г состоит из вещества с плотностью б и совершает и оборотов в секунду. Какую работу нужно затратить, чтобы его затормозить? М Согласно теореме об изменении кинетической энергии, ее приращение за некоторый промежуток времени равно работе, совершенной приложенными к телу силами за тот же промежуток времени: Т вЂ” То =А. Здесь Т вЂ” кинетическая энергии в конечный момент, Та -- начальная кинетическая энергия тела, А — работа внешних спл. Поскольку тело абсолютно твердое, то работа внутренних сил равна нулю. В конце промежутка времени тело остановилось, значит, Т = О. Следовательно, Та = -А.

Знак минус соответствует затрачиваемой работе. При вычислении кинетической энергии выделим кольцевой цилиндр радиуса р, 0 ( р ~( г, толщина которого бр и высота 6. Его объем с точностью до бесконечно малых более высокого порядка, чем Ир, равен 2тбрбр, а масса бт равна 2лблрйр (рис. 70). бр Линейная скорость е точек диска, находящихся на расстоянии р от оси вращения, равна ыр, где ы — угловая скорость диска.

Так как диск совершает и оборотов в секунду, то ш = 2яи с '. Следовательно, е = 2хпр. Кинетическая энергия кольцевого цилиндра приближенно равна ,2 4Та = — йп = — ш д Игп = гбш (гд бр. э 2 3 3 2 2 1'огласно общой схеме применения интеграла, получаем То = ябб ~ыыр г(р = 4хзбнзб| рз бр = хзбя йг~. а о Рис. 70 Следовательно, А = -Тэ = — тзбпэбг 1 е, К 148. Электрические заряды отталкивают друг друга с си° р — ~ е~сз -Я Й. лой —, где гч и ез — величины зарядов, а г — расстояние гз между ними. Определить работу, необходимую для того, чтоРис.

71 бы приблизить заряд гэ = 1 к заряду е~ из бесконечности на расстояние, равное г(. М Элементарная работа йА равна произведению силы на элементарное перемещение и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения; 4А = Р сох п йг (рпс. 71). В рассматриваемом случае имеем ИА = 1'з Иг соз т = — Еэ Йг = — + бг, так как Рз = — '!, . Согласно общей схеме применения интеграла, находим и 14г с~ ~в е~ г К Упражнения для самостоятельной работы 146, Однородная прямоугольная пластина со сторонами а и 6 разбивается на две части параболой, пер~инна которой совпадает с одной из вершин прямоугольника и проходит через его противоположную верШину.

Найти центры тяжести верхней гй и нижНей Яз, частей прямоугольника. 'з 7. Применение определенного интеграла 335 147. Найти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной осями координат н параболой ,'г + угу =,/а. 148. Найти статический момент однородной фигуры, ограниченной графиками функций г з, ь- — — и я ь- я, х Е И, относительно оси Ох. !э 149. Нанти координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной графиком функции, заданной уравнением 9 = ах — х г з 150. Найти декартовы координаты центра тяжести однородной фигуры, ограниченной графиком правой петли лемннсхаты Бернулли р = а сов 2(э.

151. Найти я~картоны координаты центра тяжести части логарифмической спирали р = ис~, —,' < И < з. 152. Найшг момент инерции боковой поверхности конуса, радиус основания которого )( н высота Н, отлосптг льна его оси симметрии. 153. Найти положение центра тяжесгн однородного конуса. 154. Радиусы оснований усеченного прямого кругового конуса равны Я и г, высота Ь, плотность у.. (, 'какой силой действует он иа материальную точку массы т, помещенную в его вершине? 155. Капля с начальнон массой М падает под действием силы тяжести и равномерно испаряется, теряя ежесекундно массу, равную пг. Какая работа силы тяжести за время от начала движения до полного испарения капли? Сопротивлением воздуха пренебречь.

1об. Треугольлал пластинка, основание которой а = 0,4м, а высота Ь = 0,3 м, вращается вокруг своего основания с постоягзг<ой угловой скоростью ш = бх с '. Найти кинетическую энергию пластпнки, если толщина ее а = 0,002 и, а плотность материала, из которого она изготовлена, и = 2200кг )м з 157. Пластинка в форме треугольника погружена вертикально в воду так, что ее основание лежит на поверхности воды. Основание пластинки а, высота Ь.

а) Вычпсюгш, сплу давления воды на каждую из сторон пластинки. б) Во сколько раз увеличится давление, если перевернуть пластинку так, что на поверхности окажется вершина, а основание будет параллельно поверхности воды? 156. ( !тержепь длиной ! вращается вокруг своего конца, совершая з оборотов в секунду. Определить вели гину натяжения в точке прикрепления, если вес единицы длины стержня равен а. а центробежная сила для массы т, движущейся по окружности радиуса г с угловой скоростью ш, равна пггш г 159. Под действием нагрузки 1 проволока цлиной ! с поперечным сечением с" и модулем )Онга Е получает уцзпнение Ы равное —, Определить удлинение этой проволоки под денев ' с танем сво~й тяжести, если оиа висит вертикально. Удельный вес вещества проволоки равен д.

160. От нагрузки в 9,8 Н проволока растягивается на 0,01 и. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть ее на 0,04м? 161. 1(экуго работу надо затратить, чтобы насыпать кучу песка конической формы радиусом 1,2 и и высотой 1 и, если плотность песка 2000 кг)м ? 162. По закону Джоузш количество тепла, выделяемого постоянным током, равно Яс г (,' г где с =- Ои! — — посгояиная, Н вЂ” сопротивление, ! — число секунд, г — сила тока. Найти выделяемое ~епэо для переменного тока г = а соя Ь!.