Максимов - Теория вероятностей, детализированный конспект (Все учебники), страница 9

распределения У~т,о). Нормальный закон широко распространен в природе. Им описываются ошибки измерений, координаты точки попадания снаряда, величина шума в радиоприемном устройстве, линейные размеры и многие параметры деталей при массовом производстве и т. д. Для нормального распределения У(т,а) справедлива формула Р~Х вЂ” т! <).а) = 2Фос)с) .

е Р)) Х вЂ” л~ < )а) = Р ~-),а < Х вЂ” т < )а) = Р ст — ).а < Х < т ~- ).а) = Гт+ Хсг — т1 Гт — Ха — т~ Ех(т+ Ха) — Гх(',т — М) = 0.5+ Фо ) — 05 — Фо~ о ) ~ о = ФоР) — Фо( — 7ь) = 2ФоР) При частных значениях Х из формулы (8.10), используя таблицу значений функции Фо(х), получаем РОХ вЂ” т~ се) = 2Фо~1) ~ 0.6827; Р 0Х вЂ” т~ с 2а) = 2Фо(2) ~ 09545; РОХ вЂ” т) с За) = 2Фо(5) ~ 09975.

Эги результаты означают, что б8.27 % (грубо — две трети) значений нормальной случайной величины попадают в промежуток (и — о, т+ а), 95.45% — в промежуток (и — 2о, т+ 2о) и 99.73 % — в промежуток (и — Зо,т+ Зо) . Во многих вопросах инженерной практики считают допустимым пренебрегать вероятностями меньшими, чем 1 — 0.9973 = 0.0027 ж 0.003. Определение 8.1. Событие называется нрактически неаозможным, если оно имеет столь малую вероятность, которой в рассматриваемых вонросах можно нренебречь.

Событие, лротивоноложное практически невозможному, называется нракти чески достоверным. Правило трех сигм. Практически достоверно, что асе значения нормальной случайной величины находятся в нромежутке (т — Зсг,т+За), и. е. отстоят от иентра не более чем на Зо. Для сравнения распределений, близких к нормальному Ж(т,о), вводится числовая характеристика, называемая эксцесс. е~ — — — — 3. (8.11) 4 Здесь р4 — четвертый центральный момент Ро = ~(х — тх)~7х(х) й. Для нормального распределения непосредственно проверяется, что р4 = За, а потому ех ††-О. Пусть сравниваемое с нормальным Ж(в,о) распределение — симметричное, одномодальное, имеет те же математическое ожидание т и дисперсию о и, кроме того, визуально является близким к нормальному (точный смысл этого требования выходит за рамки курса).

Тогда можно утверждать, что, если е~ > О, то вершина сравниваемой кривой плотности лежит выше вершины нормальной кривой; если же ех < О, то ниже (рис. 8.4). 50 Рис. 3.4. Иллюстрация роли эксцесса в характеристике «островерыинностизз кривой плотности вблизи моды в сравнении со стандартной нормальной кривой (Гаусса т=О, о'=1) О, х<0; ~(х) = з ' (Х >О). График плотности ~(х) приведен на рис.

8.5. Функция распределения для показательного закона выражается формулой О, х<0; Г(х) = (8.1З) График Р(х) изображен на рис. 8.5. (8.12) 51 В силу этого свойства эксцесс называется показателем «островершинности» кривой плотности в сравнении с соответствующей нормальной кривой. По близости асимметрии ах и эксцесса ех к нулю для произвольного рас пределения можно сделать суждение о некоторой близости его к нормальному распределению. Пример 8.1. Параметр детали Х при массовом производстве распределен нормально с т) —— 2 и о.х — — 0,1. Найти процент деталей, отклоняющихся от щ по модулю не более, чем на 1% от т)~.

> Применим Формулу с3.10): Р(!Х вЂ” и! < 3.о) = ЗФоПс) . Здесь Хо=- Х 0.1= 0.01.2 = 0.0 . Отсюда 1 =0.02/0.1 = 0.2. По таблице находим 2Фо(Х) = 2Фо(02) = 2.0.0792б = 0.1 5852 ж 15.9,4. 4 2'. Показательное распределение. Плотность вероятности показательного закона распределения определяется формулой Показательное распределение применяется для описания распределения реальных случайных величин, таких как длительность работы прибора до первого отказа, длительность времени обслуживания в системе массового обслуживания, длительность жизни атома радиоактивного вещества и других.

Пример 8.2. Средняя длительность Х телефонного разговора равна 5 мин. Найти вероятность, что произвольный телефонный разговор будет продолжаться от 5 до 10 мин. Ь Дано т ~ — — 5. Тогда Х = 1/т)~ — — 1/5; Р(5 < Х <10) = Р~. (10) — Р~. (5) = = (1 — е ~~~~) — (1 — е ~~) = е — е ж 0.368 — 0.135 = 0233 в 0.23.

3 . Равномерное распределение. Случайная величина Х называется равномерно распределенной на отрезке ~а, Ь1, если ее плотность вероятности задана формулой 1 ~( )= Ь- (8.16) О, х ~~а,Ь1. График плотности вероятности изображен на рис. 8.6. Рнс. 8.6. Графики для равномерного закона на отрезке ~а, Ь1: а — плотности; о — функции распределения Функция распределения Г(х) для равномерного закона на отрезке ~а,Ь| выражается формулой О, х<0; Е(х) = —, а < х < Ь; Ь вЂ” а' х >1. Ее график изображен на рис. 8.6, б.

Доказательство формулы ~8. 1 7). х Ь Если х < а,то Гтх) = ) ОМ =О. Если а с х <а, то И Х 1 х — а К<х) = /Ои~+ „~ — Шс = —. х>Ь,то 53 +сю Ь 2 Ь т» —— ) »Д»)И»=) х сй= 1 1 х Ь -а а+Ь 2(Ь-а) 2 г( )= Гоа+ — о+1оы =о+)+о=). ~ 1 Ь вЂ” а -ос и ь Числовые характеристики равномерного распределения на ~а, Ь]: а+Ь тл- =Ме= 7 (Ь вЂ” а) 1~х = — —— 12 Доказательство формул (8. 18~, (8. 19~.

ь (8.18) Ь 2 3 2 2 2 ~ г 1 ~а+Ь1 х (а+Ь) а й 3(Ь вЂ” а) 4 3 4 12 12 -,4 ЬЗ вЂ” а (а+Ь) Ьг+аЬ+а а +2аЬ+Ьг Ьг — 2аЬ+а (Ь вЂ” а) Равномерное распределение применяется для описания ошибок округления, ошибок отсчета по приборам стрелочного типа.

Равномерное распределение на отрезке 10, Ц является стандартным. Оно заложено в компьютерах, микрокалькуляторах, которые по специальным программам производят псевдослучайные числа, распределенные равномерно на 10,Ц (приближенно). Имеются формулы, программы, преобразующие равномерный закон распределения в другие законы. Существуют и таблицы случайных чисел, распределенных равномерно на 10, Ц 11], Пример 8.3. Случайная величина Х распределена равномерно на отрезке 1а, Ь].

Найти вероятность попадания Х в отрезок 1и, р] с: 1а, Ь] . Р Р Р(Х ~[с~ Щ)=) ) (»)~й =) —; — ~Й = — = Этот результат показывает, что возможность применения геометрического определения вероятности (гл. 2) означает, что соответствующая случайная точка Х распределена равномерно на отрезке 1а, Ь]. 4 ГЛАВА 6. ДВУМЕРНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА В главе рассматривается новый вопрос о зависимости между случайными величинами. ~1. Двумерная случайная величина, ее функция распределения Определение 1.1. Двумерной случайной величиной называется унорядоченная нара (Х,У) одномерных случайных величин Х и У. При зтом предполагаются онределенными вероятности нроизведения событий Х < х и 1'<у для любых вещественных х,у. Одномерные случайные величины Х,г называются комлонентами двумернои случаиной величины (Х,У).

Двумерную случайную величину называют также случайным двумерным вектором, случайной двумерной точкой, системой двух случайных величин, Примеры реальных двумерных случайных величин. 1. Два размера детали в массовом производстве. 2. Величина сигнала в управляющем устройстве в два момента времени. 3. Абсцисса и ордината точки попадания снаряда. 4.

Количество бракованных деталей в двух выборках из партии деталей. Определение 1.2. Функцией раснределения Р~~(х,у) двумерной случайной величины (Х,1') называется вероятность произведения двух событий Х < х, У < у, онределенная для любых вещественных х, у: Р~г(х, у) = Р(Х < х, У < у) . (1.1) Здесь произведение событий под знаком вероятности обозначено через запятую. Функцию Е~т(х,у) для краткости будем называть двумерной функцией распределения. Свойства двумерной функции распределения.

1. Р~~.( — о,у) =О; Г г(х,— о) = О, так как Х < — со и У <- о — невозможные события и совмещение (произведение) невозможного события с любым другим событием есть также невозможное событие. 2. Р'ху(+ оо, + сс) = 1 (1.2) так как оба события Х < + Оо, 1' <+ со являются достоверными. 3. 1 х~ (х,+ со) = Г (х); Г~~(+ ж,у) = Г (у), (1.3) так как 1'<+со — достоверное событие; его совмещение с событием Х < х есть это же событие Х < х; Р~(х, + оо) = Р(Х «х, У < + со) = Р(Х < х) = Р~(х) .

ны. ~2. Дискретная двумерная случайная величина, ее таблица распределения Определение 2.1. Двумерная случайная величина называется дискретной, если множество ее значений (х,у) — конечное или счетное. Примеры реальных дискретных двумерных случайных величин. 1. (Х,К), где Х вЂ” число деталей, изготовленных за смену на первом станке, à — на втором. 2. (Х,У), где Х вЂ” число клиентов, поступивших за врем.я Т в первую систему массового обслуживания, К вЂ” во вторую. % Закон распределения вероятностей двумерной дискретной случайной величины (Х, У) можно задать формулой Р(Х = х,, У = у~) = р,~ (~ =1,..., т; к =1,..., и) .

(2.1) Это вероятности совмещения событий Х =- х;, У = у~. Так как события, означающие одновременное выполнение равенств Х =х;, У=у~ (~ =1,...,т; к =1,..., л ) являются попарно несовместными и образуют полную группу, то т п (2.2) г=1 й=-1 Формулу (2.1) в случае конечности чисел т и л можно оформить в виде табли- цы распределения: 4, Г~(х,у) не убывает по каждому из своих аргументов при фиксированном другом аргументе, что доказывается так же, как и для одномерной случайной величины. Замечание 1.1.

Формулы (1.3) называются формулами согласованности (общего вида). Они означают, что из функции распределения двумерной случайной величины (Х,Г) можно получить функции распределения ее одномерных компонент Х и У, устремив один из аргументов к +оо. Обратное неверно, т. е. из одномерных функций распределения компонент в общем случае нельзя получить функцию распределения двумерной случайной величины. Таким образом, двумерная функция распределения несет существенно больше информации, чем две одномерные функции распределения компонент Х и У. Рассматривая случайные величины Х,У порознь, а не в системе, нельзя получить сведения о их зависимости.

Будем различать дискретные и непрерывные двумерные случайные величи- Формулы согласованности для дискретной случайной величины имеют вид: и Р)п рй* 1=1 (2.3) рп,(б = Рй. !=1 Здесь р;, = Р(Х = х ), )( = 1,..., т; р,~ —— Р(У = у~ ), й = 1,..., п — одномерные законы распределения компонент случайной величины. Формулы согласованности (2.3) позволяют из закона распределения двумерной случайной величины получить одномерные законы распределения ее компонент, которые, таким образом, не произвольные, а согласованы друг с другом.