Максимов - Теория вероятностей, детализированный конспект (Все учебники)

УДК 519.21 (075.8) ББК 22.171 Максимов ЮД. Математика. Выпуск 9. Теория вероятностей. Детализированный конспект. Справочник по одномерным непрерывным распределениям. СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2002. 93 с. Пособие соответствует государственному образовательному стандарту и действующим программам дисциплины «Математика» бакалаврской подготовки всех общетехнических и экономических направлений. Представляет собой детализированный конспект лекций по теории вероятностей, в основном соответствующий опорному конспекту (выпуск 7 серии опорных конспектов по математике, выпущенных издательством СПбГТУ). В отличие от опорного конспекта здесь приведены доказательства теорем и выводы формул, опущенные в опорном конспекте, и дан справочник по одномерным непрерывным распределениям.

Пособие предназначено для студентов второго курса общетехнических факультетов и экономических специальностей. Может быть использовано также для направления «Техническая физика». Табл. 1, Ил. 33. Библиогр.: 16 назв. Печатается по решению редакционно-издательского совета Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. О Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, 2002 Предисловие Издательство СПбГПУ выпустило серию учебных пособий по вероятностным разделам математики: Выпуск 6. Математика. Теория вероятностей.

Контрольные задания с образцами решений. Тесты. Конспект-справочник. 2000. 96 с. Авторы— Ю.Д. Максимов, Б.А. Куклин, Ю.А, Хватов. Выпуск 7. Математика. Теория вероятностей. Опорный конспект. 2000. 76 с. Автор — Ю.Д. Максимов. Выпуск 8. Математика. Математическая статистика. Опорный конспект. 2000. 96 с. Автор — Ю.Д. Максимов. Настоящее учебное пособие, составляющее выпуск 9, продолжает и дополняет эту серию. В нем представлены доказательства теорем и выводы формул, опущенные в опорном конспекте (выпуск 7) и дано более полное и детальное изложение ряда тем, лишь слегка там затронутых.

Это, в первую очередь, темы об л-мерной случайной величине и о предельных теоремах. Учебное пособие состоит из 8 глав, дополнения и двух приложений. В дополнении дано доказательство центральной предельной теоремы для случая одинаково распределенных слагаемых, а в приложениях содержится таблица значений нормированной функции Лапласа и справочные сведения по одномерным непрерывным распределениям, Все теоретические положения проиллюстрированы примерами, в основном, практического содержания. В списке литературы указаны учебники ~4, 6, 8, 91 для углубленного изучения теории. Нумерация теорем, определений, формул, примеров, рисунков — в каждой главе своя„двухпозиционная, отражающая номер параграфа и порядковый номер внутри параграфа.

Она соответствует нумерации, принятой в опорном конспекте ~выпуск 7). Благодаря этому, пользователь опорного конспекта может легко расширить свои знания с помощью детализированного конспекта. Ссылки на другие главы — крайне редки и тогда дополнительно сопровождаются указаниями номера главы. Знаками ~ и 4 отмечены начало и конец доказательства или решения примера, ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Теория вероятностей является базовым разделом, обеспечивающим приложения в естественных и гуманитарных науках, технике, математической статистике.

В разделе вводятся и изучаются фундаментальные понятия — случайное событие, вероятность, случайная величина, а также функциональные, графические, числовые характеристики случайных величин. ГЛАВА 1. АЛГЕБРА СОБЫТИЙ $1. Предмет теории вероятностей Задача науки — выявление закономерностей, описывающих явления природы и общества. Эги закономерности могут быть выражены с помощью моделей в виде описаний, классификаций, алгоритмов, уравнений, функций детерминистским или вероятностным способом, Детерминистская математическая модель, применяемая для выражения закономерностей, дает однозначный вывод при задании всех переменных, входящих в модель.

Таков, например, закон Ома для участка цепи ~ = и/А, связывающий ток ~, напряжение и и сопротивление Я. Вероятностная, иначе — стохастическая модель — это модель, которая не дает достоверного прогноза о развитии изучаемого явления. Ее выводы носят лишь оценочный„вероятностный характер. Например, невозможно точно указать, сколько будет наводнений в Санкт-Петербурге в текущем году.

Однако с помощью теории вероятностей, на основе имеющихся статистических данных можно сделать предсказание о количестве и величине наводнений с определенной вероятностью. Наводнения относятся к разряду случайных явлений, поведение которых достоверно предсказать невозможно. Определение. Теорией вероятностей называется наука, изучающая математические мадли случайных явлений. Создание теории вероятностей относится к началу ХУ11 в., когда стали возникать задачи, требующие статистических исследований в области страхового дела, демографии, производства. Большое влияние на теорию вероятностей оказали азартные игры, которые дают наиболее простые модели случайных явлений.

Поэтому и в настоящем курсе иногда приводятся примеры из азартных игр. Среди ученых, развивавших теорию вероятностей, встречаются такие имена, как П. Ферма (фр., 1601 — 1665), Я. Бернулли (швейц., 1654 — 1705), П. Лаплас (фр., 1749 — 1827), С.Д. Пуассон (фр., 1781 — 1840), К.Ф. Гаусс (нем., 1777 — 1855), известные из общих курсов математики и физики. Большую роль в теории вероятностей сыграла российская математическая школа в лице П.Л. Чебышева (1821 — 1894), А.А. Маркова (1856 — 1922), А.М. Ляпунова (1857 — 1918), С.Н. Бернштейна (1880 — 1968), А.Н.

Колмогорова (1903 — 1987) и других. ~2. Классификация событий Для изучения и описания реальных событий, характеризующих различные случайные явления, рассмотрим математическую схему абстрактных событий и классифицируем эти события. Рассматривается эксперимент (опыт, испытание, наблюдение). Предполагается, что его можно проводить неоднократно. В результате эксперимента могут появляться различные события„составляющие некоторое множество Р. Сам эксперимент обозначают буквой Е .

Наблюдаемые события разделяются на три вида: достоверное, невозможное, случайное. Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет в результате проведения эксперимента Е . Его будем обозначать буквой 1 (или й). Невозможным называется событие, которое заведомо не произойдет в результате проведения эксперимента Е. Оно обозначается символом пустого множества Я. Случайным называется событие, которое может произойти или не произойти в результате эксперимента Е. Случайные события обозначаются первыми большими буквами латинского алфавита: А, В, С, ....

Пример 2.1. Š— эксперимент, означающий бросание игральной кости. Пусть Х вЂ” число выпавших очков. Тогда Х ~ 7 — невозможное событие, Х < 6 — достоверное событие, Х вЂ” число четное — случайное событие. Доиолнительным, иначе — иротивололожным собьгппо А называется событие, обозначаемое А, которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А.

Пример 2.2. Š— выстрел из орудия. Событие А — попадание в цель. Тогда А — промах. Элементарным событием а называется непосредственный исход эксперимента Е. Множество всех элементарных событий называется пространством элементарных событий и обозначается й. Пример 2.3. Б — бросание игральной кости. Здесь 6 элементарных событий а1, ..., в6. Событие в~б означает, что в результате бросания выпало Й очков, ~'1 (о~! ". ®61. Событи~ множно нагл~д~~ иллюстри- А ровать с помощью диаграмм Венка (англ., 1832 — 1923).

Достоверное событие А изображается квадратом; случайное событие А — областью внутри квадрата„ дополнительное событие А — областью внутри квадрата вне области, изобраРис. 2.1. ДиагРаммы Вениа жающей событие А ~рис. 2 1) для событий А и А Для того, чтобы диаграммы Бенка не представлялись слишком абстрактными, можно представить себе эксперимент Е как стрельбу по мишени, являющейся квадратом, с условием, что выпущенный снаряд обязательно попадет в мишень.

Тогда А есть событие, означающее попадание в заданную область. $3. Действия над событиями Над событиями можно производить действия, подобные алгебраическим— складывать и перемножать. Определение 3.1. Суммой (или объединением) событий называется событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из данных событий. Сумма событий обозначается несколькими способами. Алгебраические обозначения. А + В, А+ В+С, ~ Аа. Теоретико-мномеотееннме обозначения: А 0 В, А Ы В 0 С, Д Аа .

й Логические обозначения: А или В, А или В или С. Пример З.Х. Š— бросание игральной кости. Событие А означает выпадение 1 или 2, а событие  — выпадение 2 или 3. Тогда событие А+ В означает выпадение 1 или 2 или 3. На диаграмме Венна сумма событий А+ В изображается областью, которая накрывается областями, изображающими события А и В (рис. 3.1). Определение 3.2. Произведением (или совмещением, пересечением) событий называется событие, происходящее тогда и толью тогда, когда все данные события происходят вместе (одновременно). Произведение событий также обозначается несколькими способами. Рис. 3.2. Изображение произведения событий АВ Рнс.

3.1. Изображение суммы событий А+ В Алгебраические обозначения: АВ, АВС, П А» . Теоретико-множественные обозначения: А й В, А П В П С, ПА» . Логические обозначения: А и В, А и В и С. На диаграмме Венна произведение событий АВ изображается общей частью областей, изображающих события А и В (рис. 3.2). Пример 3.2. Š— стрельба по мишени — квадрату, изображающему событие 1 (рис. 3.2). Событие АВ состоит в попадании в пересечение областей, изображающих соответственно события А и В. Свойства операций сложения, умножения, дополнения событий выражают правила действий над событиями. Приведем их.